ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Зведення квадратичної функції до канонічного вигляду

 

 

Нехай - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , - фіксований базис простору, в якому квадратична функція задається деякою квадратичною формою

.

Квадратична форма називається канонічною, якщо в ній присутні лише квадрати змінних, тобто,

.

Задача зведення полягає в тому, що, користуючись даним базисом простору, знаходиться такий базис простору , у якому квадратична функція задається канонічною квадратичною формою. Зрозуміло, що в такому базисі матриця квадратичної функції є діагональною. Звідси - матричне формулювання задачі. Користуючись матрицею квадратичної функції в даному базисі знайти

невироджену матрицю , таку, що матриця діагональна. Тоді - матриця переходу до нового базису.

Згадаємо деякі факти. Нехай - базиси векторного простору , - матриця переходу від базису до базису . Якщо довільний вектор у базисі задається координатами , а в базисі - координатами , то

 

або

.

 

Навпаки, якщо для деякої квадратної матриці виконується:

 

 

,

 

то - матриця переходу від базису . Дійсно, зафіксуємо індекс і, оскільки рівність виконується для будь-якого , покладемо . Тоді вектор в базисі задається такими координатами: , а в базисі - координатами: , де координата 1 знаходиться на -му місці. Тоді

 

 

 

Це означає, що вектор-стовпчик

 

співпадає з -м стовпчиком матриці . Тобто, матриця складається з координат

векторів у базисі . Отже, матриця є матрицею переходу від базису

.

 

 

Метод Лагранжа (метод виділення повних квадратів)

 

 

Метод Лагранжа є методом зведення квадратичної функції до канонічного вигляду. Він полягає в послідовних виділеннях повних квадратів та замінах змінних. Кожна заміна змінних означає перехід до нового базису.

Нехай квадратична функція на скінченновимірному просторі у базисі задається квадратичною формою:

,

і припустимо, що . В дужках збираємо всі доданки, що містять змінну

,

де - деяка квадратична форма від змінних . У дужках виділяємо повний квадрат:

,

де - сума всіх доданків, які не містять змінну . Тоді

,

де - квадратична форма від змінних . Зробимо заміну змінних:

.

Або, в матричному вигляді,

 

Позначимо

 

 

 

Матриця невироджена, оскільки .

З’ясуємо зміст цієї заміни. Заміна змінних означає перехід до нового базису , причому, якщо вектор у базисі задається координатами , а в базисі - координатами , то

 

,

або

 

.

Таким чином, - матриця переходу від базису до базису .

У новому базисі квадратична функція задається квадратичною формою:

.

Далі застосовуємо аналогічні міркування для квадратичної форми .

Припустимо, що в початковій квадратичній формі , але для деякого .Тоді використовуємо аналогічні міркування для змінної .

Окремо розглянемо випадок, коли в початковій квадратичній формі немає квадратів змінних, тобто,

.

Тоді форма складається лише з мішаних добутків змінних і для деякої пари індексів . Припустимо для визначеності, що , і зробимо заміну змінних:

.

У матричному вигляді:

.

Позначимо

 

 

Заміна змінних означає перехід від початкового базису до нового базису , причому, якщо вектор у базисі задається координатами: , а в базисі координатами: , то

Тобто, - матриця переходу від базису до базису .

У новому базисі квадратична функція задається квадратичною формою:

,

де квадратична форма складається лише з мішаних добутків змінних.

Продовжуючи цей процес далі, через кроків приходимо до базису простору , у якому квадратична функція задається канонічною квадратичною формою:

Кожний крок алгоритму означає перехід до нового базису. Нехай

- відповідні матриці переходу. Тоді для початкових та заключних змінних виконується рівність:

Це означає, що матриця є матрицею переходу від початкового базису

до заключного базису .

 

 

Метод Якобі

Нехай - квадратна матриця порядку . Кутовим мінором порядку матриці називається мінор , побудований на перших рядках та стовпчиках матриці .

Наприклад,

 

 

,

 

тоді

 

, , .

 

Будемо казати, що матриця задовольняє умову Якобі, якщо всі її кутові мінори не дорівнюють нулю.

 

Теорема Якобі (критерій Якобі).Нехай квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі у деякому базисі задається матрицею , яка задовольняє умову Якобі. Тоді в просторі існує базис, у якому функції відповідає квадратична форма:

,

де - всі кутові мінори матриці .

 

Доведення. Припустимо, що в базисі простору квадратичній

функції відповідає матриця

,

яка задовольняє умову Якобі . Через позначимо полярну симетричну білінійну функцію, яка породжує квадратичну функцію . Новий базис простору будемо шукати у вигляді

.

Для знаходження коефіцієнтів припустимо, що вектори задовольняють умови

Знайдемо спочатку вектор

Оскільки , то а тому

.

Припустимо тепер, що вже знайдено вектори , і знайдемо вектор скориставшись умовами

.

Це означає, що

 

Оскільки то ці рівності можна переписати так:

 

Ми одержали систему лінійних рівнянь відносно невідомих . Система квадратна, її головний визначник співпадає з кутовим мінором матриці . Тобто, , за умовою теореми. Система має єдиний розв’язок, за теоремою Крамера, - , ці значення визначають вектор . Знайдемо за формулою Крамера:

,

де - визначник, який одержується з визначника заміною -го стовпчика на

 

стовпчик вільних членів. Але

 

 

,

 

тоді

 

 

 

Тому

.

Доведемо тепер, що вектори утворюють базис простору. Оскільки кількість векторів у цій системі співпадає з розмірністю простору, то достатньо довести лінійну незалежність цієї системи. Припустимо супротивне. Тобто, нехай ці вектори лінійно залежні. Оскільки

,

це означає, що деякий вектор лінійно виражається через попередні вектори системи , тобто,

.

Але для кожного індексу вектор лінійно виражається лише через вектори , тоді вектор можна лінійно виразити через вектори :

для деяких . Отже,

Тоді

Оскільки

,

то з останньої рівності вектор можна лінійно виразити через вектори . Цього бути не може, оскільки вектори утворюють базис простору. Таким чином, припущення було не вірним, а тому вектори лінійно незалежні і також утворюють базис простору.

Знайдемо матрицю квадратичної функції у базисі . Припустимо спочатку, що , і, враховуючи принцип побудови векторів , одержуємо:

.

Оскільки матриця симетрична, звідси випливає, що всі її елементи, що стоять поза головною діагоналлю, дорівнюють нулю. Тобто, матриця діагональна.

Знайдемо тепер діагональні елементи:

Таким чином,

.

Тобто, матриця має такий вигляд:

 

.

 

Якщо довільний вектор у базисі задається такими координатами: , то

 

.

Тобто, в базисі квадратична функція задається такою канонічною квадратичною формою:

 

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти