Нехай - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі над полем . Тоді в будь-якому базисі простору вона задається деякою квадратичною формою. Квадратичну функцію можна звести до канонічного вигляду. Це означає, що шукається базис, у якому функція задається канонічною квадратичною формою. Але цей базис можна знайти різними способами. Тому для даної квадратичної функції існує багато таких базисів і багато канонічних квадратичних форм. Але для всіх цих форм виконується закон інерції квадратичних форм.

Теорема (закон інерції квадратичних форм). Незалежно від способу зведення квадратичної функції на скінченновимірному просторі до канонічного вигляду у відповідних канонічних квадратичних формах число додатних коефіцієнтів, число від’ємних коефіцієнтів, а тому і число ненульових є величинами сталими.

Доведення. Нехай - квадратична функція на скінченновимірному просторі , - базиси простору, в яких функція задається канонічними квадратичними формами. Припустимо, що в базисі функції відповідає квадратична форма:

У базисі функції відповідає квадратична форма:

Доведемо, що

Покажемо спочатку, що Оскільки в базисі квадратична функція задається канонічною квадратичною формою, то в цьому базисі матриця квадратичної функції діагональна. На діагоналі матриці стоять коефіцієнти при квадратах змінних у квадратичній формі. Тобто, ранг цієї матриці дорівнює . Аналогічно, в базисі квадратичній функції відповідає діагональна матриця, ранг якої дорівнює . Вище було показано, що ранг матриці білінійної функції не залежить від вибору базису, тому

Покажемо тепер, що . Доведемо це від супротивного. Припустимо, що і, для визначеності, покладемо, що . Визначимо підпростори:

Тоді

але

а тому

Тобто, існує ненульовий вектор

Оскільки , то вектор лінійно виражається через вектори :

тобто, в базисі простору вектор задається такими координатами:

А тому

Оскільки , то серед координат існує принаймні одна ненульова і, враховуючи, що одержуємо, що . Оскільки , то вектор лінійно виражається через вектори :

Тобто, в базисі вектору відповідають такі координати:

Тоді

оскільки . Приходимо до суперечності:

Отже, і, оскільки, за доведеним, , то .

Зауваження. Під рангом квадратичної функції розуміється ранг її полярної білінійної функції. Ранг білінійної функції дорівнює рангу її матриці в будь-якому базисі. Якщо квадратична функція зводиться до канонічного вигляду, то знаходиться базис, у якому квадратичній функції відповідає діагональна матриця і канонічна квадратична форма. На діагоналі матриці стоять коефіцієнти при квадратах змінних у квадратичній формі. Звідси випливає, що ранг квадратичної функції співпадає з числом ненульових коефіцієнтів у канонічній квадратичній формі, яка відповідає цій квадратичній функції.

Додатні квадратичні функції

Означення. Квадратична функція на векторному просторі над полем називається додатною, якщо для тоді і тільки тоді, коли .

Нехай - полярна симетрична білінійна функція, що породжує додатну квадратичну функцію , тоді задає на просторі скалярний добуток.

Дійсно, перевіримо виконання умов скалярного добутку:

1. .

Це випливає з симетричності білінійної функції

Виконання цих умов випливає з лінійності функції за першим аргументом.

4. тоді і тільки тоді, коли .

Умова виконується, оскільки - додатна квадратична функція.

Критерій Сильвестера

Будемо казати, що матриця з дійсними елементами задовольняє умову Сильвестера, якщо всі її кутові мінори додатні.

Тобто, якщо - порядок матриці, а - всі кутові мінори матриці, то

Теорема (критерій Сильвестера). Квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі додатна тоді і тільки тоді, коли в деякому базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера.

Доведення.Необхідність. Нехай - додатна квадратична функція на скінченновимірному просторі . Покажемо, що в будь-якому базисі простору матриця квадратичної функції

задовольняє умову Сильвестера.

Доведемо це індукцією за розмірністю простору.

Нехай спочатку , ненульовий вектор утворює базис . Тоді в цьому базисі квадратична функція задається квадратичною формою:

Припустимо, що . Тоді для деякого , причому ; і, оскільки - додатна квадратична функція, то . Але , тому

Припустимо тепер, що твердження виконується для всіх просторів розмірності менше , тобто, будь-яка квадратична функція в будь-якому базисі такого простору задається матрицею, яка задовольняє умову Сильвестера. І нехай , - деяка квадратична функція на , - фіксований базис простору, в якому функції відповідає матриця

Покажемо, що де - всі кутові мінори матриці . У цьому базисі квадратична функція задається такою квадратичною формою:

Цю квадратичну форму можна переписати так:

Визначимо підпростір і нехай

Тоді - квадратична форма від змінних , яка при фіксованому базисі підпростору задає на цьому підпросторі деяку квадратичну функцію причому . Тому, оскільки функція додатна, то і функція додатна. Але

тому, за припущенням індукції, матриця квадратичної функції на підпросторі у базисі задовольняє умову Сильвестера. Ця матриця співпадає з матрицею кутового мінору матриці .

Залишається показати, що . Зводимо квадратичну функцію до канонічного вигляду. При цьому знаходимо базис простору , у якому функції відповідає діагональна матриця:

Зрозуміло, що

і, оскільки

то

Якщо - матриця переходу від базису то

причому . Тоді

і, оскільки

то

Достатність. Припустимо, що - квадратична функція на скінченновимірному векторному просторі , і в базисі простору її матриця задовольняє умову Сильвестера. Тоді ця матриця задовольняє і умову Якобі, а тому існує базис простору, в якому функція задається канонічною квадратичною формою:

де - всі кутові мінори матриці . За умовою теореми, всі коефіцієнти цієї квадратичної форми додатні. Припустимо, що -довільний вектор, який у базисі задається такими координатами: . Тоді

Якщо , то серед координат є ненульові, а тому , тобто, функція додатна.

Зауваження. В процесі доведення останньої теореми фактично було показано, що матриця додатної квадратичної функції на скінченновимірному просторі в будь-якому базисі задовольняє умову Сильвестера.

1 234