ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Чисельні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь

Чисельні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь

 

M
Розв’язком задачі коші є інтегральна крива, яка проходить через задану точку . Припускаємо що є неперервною по змінних x і y в деякій області . Із неперервності функції буде випливати її обмеженість, тобто . А також задовільнює умову Ліпшеца по змінній .

Якщо виконується вказані припущення то розвязок існує і він єдиний. При подальшому припускатимемо, що розвязок задачі Кші існує і він єдиний і задовольняє певним умовам гладкості.

 

Метод Ейлера для розв’язування задач Коші

 

Нехай потрібно розв’язати задачу (1-2) тоді при чисельному розв’язанні задачі (1) задача ставитиметься в наступному вигляді.

В точцах потрібно знайти наближення для точного значення , де - наближення, – точне

-крок сітки

.

Проінтегруємо ліву і праву частину рівняння (1) на кожному із проміжка

[ ] : .

При дуже малому кроці сітки вважатимемо значення функції на кожному із проміжків сталою тоді (4) запишемо як

(6) – метод Ейлора

Ми замінюємо інтегральну криву прямолінійним відрізком який виходить із точки . Геометрично метод полягає в заміні інтегральної кривої ламаною і кожна ланка цієї ламаної є прямолінійна і вона виходить з точки з кутовим коефіцієнтом . Таку ламану ще називають «Ламаною Ейлера». Недоліком є мала точність і систематичне накопичення похибки.

 

 

Вдосконалений метод Ейлера

 

Для побудови даного методу ми будемо обчислювати значення в деякій проміжній точці

Знайдемо значення функції

Тоді удосконалений метод Ейлера буде виглядати

Удосконалений метод Ейлера полягає в побудові Ламаної Ейлера, де на кожній ділянці [ ] ми заміняємо прямолінійним відрізком, який виходить із точки з кутовим коефіцієнтом

 

Метод Ейлера-Коші

В методі Ейлера-Коші замість ми будемо обраховувати середнє арифметичне

тоді одержимо формулу

метод Ейлера-Коші

Збіжність методу Ейлера

При розгляді чисельних методів головним питанням є питання збіжності. Стосовно різницевих методів, до яких відноситься метод Ейлера, важливим є поняття збіжності при . Для доведення збіжності ми будуємо послідовність сіток таких що при . Будемо говорити що метод Ейлера збігається в точці , якщо тоді ж метод збігається на проміжку, якщо він збігається в кожній точці цього проміжку.

Кажуть, що метод має тий порядок точності, якщо , що виконується

.

Будемо говорити, що різницевий метод апроксимує дане диференціальне рівняння, якщо похибка прямує до нуля при .,також метод має -ий порядок апроксимації якщо похибка нескінченно мала того порядку.

Знайдемо оцінку похибки.

Припустимо є неперервною в області

і задовольняє умову Ліпшеца з сталою .

Також виконується

тоді розглянемо диференціальне рівняння тоді звичайний метод Ейлера буде виглядати:

Тоді позначимо похибку це похибка наближення до точного значення . Тоді за допомогою рівнянь виду (5) можемо записати рівняння для приросту похибки для рівняння

У рівнянні (6) враховуючи (4), можемо продовжити

У (7) про інтегруємо другий доданок по частинах

Підставимо одержаний вираз у (7) тоді

Врахувавши обмеження (2), а також умову Ліпшеца(1)

\

Врахувавши (5):

Розглянемо рівність (6):

Врахувавши (8’)

Таким чином (9) представляє собою рекурентну оцінку похибки на кроці через -тий крок. Розглянемо оцінку на –товім кроці.

Тоді можемо записати

Використаємо рівність

Ми одержимо похибку де -величина проміжку а.

Як бачимо з формули оцінки похибки, Метод Ейлора має 1-й порядок апроксимації із зменшенням кроку похибка зменшується. Тому можемо зробити висновок, що на довільнім скінченнім проміжку при метод є збіжний, але недоліком цього методу є повільна збіжність.

Дослідимо метод Ейлера на стійкість.

Не завжди початкове наближення буде одержане точно, тобто замість ми будемо враховувати . - абсолютна похибка між точними і наближеними значеннями.

, тоді врахувавши метод Ейлера (4) можемо записати

Знайдемо абсолютну похибку враховуючи що функція задовольняє умову Ліпшица

…. …. ….

Тоді

…. .… .….

Із останньої нерівності випливає що похибка початкових даних не накопичується, тобто метод Ейлера має обчислювальну стійкість

Можемо сказати що похибка початкових даних не накопичується в методі Ейлера і метод має обчислювальну стійкість.

Методи Рунге-Кутта

Від метода Ейлера вони відрізняються порядком точності, а також тим, що в методі Ейлера не допускається обмеження правих частин не тільки в точках сітки, а і в деяких проміжних точках. Розглядається задача (1)-(2)

Нехай є шуканий розвязок задачі (1)-(2). Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки

Взявши

Із (4):

Формула (4’) визначає розвязок в точці . де може бути визначене з рівняння (1) при

Обчислення коефіцієнта (4) представляє собою великий об’єм обчислень. Тоді Рунге запропонував обчислювати замість коефіцієнта суму

.

Тодірозвязок буде представлений і тоді з формули (5) шукатимемо наступне наближення . Будемо вважати що коефіцієнт будуть вибиратися від досягнення потрібної точності.

Сума коефіцієнтів .

!Зауважимо, що метод Рунга-Кута не використовується при

При - одержимо простий метод Ейлера

При

(

Розглянемо рівняння яке задовольняє похибка методу Ейлера

Праву частину рівняння (8) можна представити у вигляді суми двох доданків

Де функція називається нев`язковою або похибкою апроксимації рівняння (6) на розвязку задачі (1), (2). Нев’язка являє собою результат підставки точного розв’язку у різницеве рівняння

Якщо співпадатиме з точним розв’язком то нев’язка = 0. Тоді будемо говорити, що різницевий метод апроксимує початкове диференціальне рівняння (1). Якщо і різницевий метод буде мати тий порядок точності якщо .

Розглянемо різницевий метод (7) і підставимо коефіцієнти

Тоді за означенням похибки апроксимації або нев’язкою методу (7) будем називати функцію

Вираз (11) одержується заміною у (10) наближеного розв’язку точним розв’язком. Знайдемо порядок апроксимації із припущення що функція є достатньо гладкою. Для цього розкладемо праві доданки в (11) в околі точки в ряд Тейлора.

Розпишемо . Ці всі вирази підставимо у нев’язку

.

.

Формула (12) представляє собою нев’язку методу (7) і при метод буде мати перший порядок апроксимації, якщо ж додатково вимагати, що то ми одержимо метод другого порядку точності. Тим самим ми одержимо сім’ю методів Рунге-Кутта другого порядку і ці методи можуть бути записані у вигляді

1)

- метод Рунга-Кута 2-го порядку

 

Метод Штурма

 

Розглянемо рівняння виду , з коефіцієнтами, яке не має кратних коренів. Складемо систему функцій Штурма де остача від ділення взята з протилежним знаком

остача від ділення взята з протилежним знаком

Система функцій виду (5), а також будь-яка інша отримана з (5) шляхом множення на деякий додатній коефіцієнт називається системою функцій Штурма

система функцій Штурма збігається з (5) з точністю до сталого додатного множника.

Нехай всі корені виду (2) містяться на проміжку .

кількість перемін знаком у системі функцій (7)

кількість перемін знаком у системі функцій (8)

Теорема

Якщо рівняння виду немає кратних коренів і не є коренями цього рівняння, то і кількості коренів які розташовані на проміжку .

 

Приклад. Відокремити корені рівняння .

Знаходимо межі коренів рівняння: верхня межа, по Маклорена

Нижня межа

-4

 

 

-4
-3
-2,1
-1
0,1

 

 

Методи уточнення коренів. Ітераційні методи розв’язання алгебраїчних та рівнянь

 

Нехай нам потрібно розв’язати алгебраїчне рівняння .

Нехай відомо достатньо малий проміжок на якому міститься один корінь виберемо деяке початкове наближення на цьому проміжку і за допомогою деякого рекурентного співвідношення будуємо послідовність точок що буде збігатися до розвязку

Збіжність послідовності забезпечуємо вибором функції . Зазвичай у нас використовується залежність він є одночасно розв’язком рівняння (1)і(3). Будемо підбирати і будувати інтерполяційний процес за формулою

 

Метод простої ітерації

 

Нехай маємо , на якому міститься один корінь і маємо початкове наближення дане рівняня перепишемо у вигляді .

Від (1) до (2) ми можемо перейти різними способами де функцію можемо вибирати як

,

деяка функція яка зберігає свій знак на проміжку , дана функція може бути вибрана як константа.

Покажемо що при такому виборі рівняння (1)і(2) були еквівалентними

Нехай є коренями рівняння

Припустимо що є розв’язком рівняння (2) ; маючи початкове наближення, згідно методу простої ітерації, кожне наступне наближення буде вибиратися

Згідно методу простої ітерації

Умова завершення ітераційного процесу

Збіжність методу простої ітерації буде визначатися нерівністю

Збіжність методу буде з того боку з якого виберемо початкове наближення

Розглянемо односторонню збіжність

S(x)

 

Метод хорд

 

Нехай маємо фунцію .і на має єдиний корінь

І нехай функція є неперервною на цьому проміжку, а також для неї існують неперервні похідні 1-го та 2-го порядку, які на цьому проміжку не змінюють знак і не перетворюються в нуль. Виберемо деяке початкове наближення і замінимо функцію хордою, яка проходить через точки і за наступне наближення значення кореня приймемо точку перетину хорд з віссю ОХ. Позначимо цю точку через

)

 

-хорда буде перетинати вісь ОХ. Тоді можемо записати

ітераційний метод Хорд

Побудова буде виконуватись до тих пір поки

Коли ітераційний процес можна записати у вигляді

Деколи метод хорд називають методом лінійної інтерполяції

Геометрична інтерпретація

b=x0
a
X1
f(x1)
a=x0
x1
b
f(x1)
a
b=x0
x1
f(x1)
a=x0
b
f(x1)
x1

Метод Ньютона

 

Розглянемо рівняння виду ., де на міститься єдиний корінь. Функція є неперервною і існують похідні 1-го та 2-го порядку які не змінюють знак на . Виберемо початкове наближення або щоб виконувалась умова .

Метод Ньютона полягає у наближенні кривої дотичною проведеною до кривої в точці . І за наступне наближення значення кореня приймемо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох

ітераційний метод Ньютона, або метод Дотичнихітераційний метод буде виконуватись до тих пір, поки

Для того щоб значення у (3) не перетворювалося в нуль використовуємо модифікований метод Ньютона

Недоліком є те що початкове наближення треба вибирати досить близько до розв’язку.

X*
X1
X1

 

У методі Ньютона можливе зациклення. В такому випадку вибираємо середню точку між точками зациклення.

Метод січних

Розглянемо рівняння виду ., де на міститься єдиний корінь. Функція є неперервною і існують похідні 1-го та 2-го порядку які не змінюють знак на .

Метод січнх може бути одержаний з методу Ньютона замінивши її різницевим еквівалентом:

При чому - це деякі задані початкові наближення

Цей метод є двокроковим методом так як він на кожному кроці використовує два попередні наближення.

 

Геометрична інтерпретація

Метод січних використовується у випадку коли вираз похідної є громістким або його неможливо знайти. Метод Ньютона є швидшим ніж мето д січних, який є різницевим аналогом методу Ньютона.

Приклад

  Ньютона Січних
2,5 2,5
2,05 1,875
2,0006 1,9836
2,0000001 2,006

 

Збіжність методу Ньютона

 

Розглянемо рівняння виду ., де на міститься єдиний корінь.

початкове наближення.

Виберемо довільне початкове наближення в околі нашого розвязку. Розглянемо рівняння

 

Якщо то

В околі розвязку буде виконуватись умова (3). Тоді при належному виборі початкового наближення метод Ньютона буде збіжним. Метод ньютона має квадратичну збіжність

 

Метод релаксації

 

Ми покладаємо що метод є явний і стаціонарний і можемо записати

початкове наближення.

, де

Даний метод буде збігатися, якщо якобян(матриця)

Метод Пікара

В методі Пікараоператорне рівняння може бути представлене

(якщо можна)

де матриця ( )

Тоді в методі Пікара ітерації будуть визначатися наступним чином

.

При то метод Пікара представим записаний в канонічній формі (3) ітераційний метод для розвязку системи нелінійних рівнянь.

Метод Ньютона

 

Розкладемо функцію розкладемо за формулою Тейлора в точці

Якщо відкинути величину 2-го порядку малості тоді система (1) запишеться у виді

Система (6)є лінійною відносно і тоді розв’язок системи (6) ми приймемо за наступне наближення

Ітераційний метод Ньютона для системи нелінійних рівнянь (1)можна записати :

Система (7) може бути записаний у виді операторного рівняння.

початкове наближення k=0,1,… матриця Якобі. Цей метод може бути одержаний із канонічної форми де //

Зауважимо що для реалізації методу Ньютона необхідно щоб існувала обернена матриця до

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти