![]() |
Метод Ейлера для розв’язування задач Коші
Нехай потрібно розв’язати задачу (1-2) тоді при чисельному розв’язанні задачі (1) задача ставитиметься в наступному вигляді. В точцах
Проінтегруємо ліву і праву частину рівняння (1) на кожному із проміжка [ При дуже малому кроці сітки
![]()
Ми замінюємо інтегральну криву прямолінійним відрізком який виходить із точки
Вдосконалений метод Ейлера
Для побудови даного методу ми будемо обчислювати значення в деякій проміжній точці Знайдемо значення функції Тоді удосконалений метод Ейлера буде виглядати
Удосконалений метод Ейлера полягає в побудові Ламаної Ейлера, де на кожній ділянці [
Метод Ейлера-Коші В методі Ейлера-Коші замість
тоді одержимо формулу
Збіжність методу Ейлера При розгляді чисельних методів головним питанням є питання збіжності. Стосовно різницевих методів, до яких відноситься метод Ейлера, важливим є поняття збіжності при Кажуть, що метод має
Будемо говорити, що різницевий метод апроксимує дане диференціальне рівняння, якщо похибка прямує до нуля при Знайдемо оцінку похибки. Припустимо і задовольняє умову Ліпшеца з сталою
Також виконується
тоді розглянемо диференціальне рівняння Тоді позначимо похибку
У рівнянні (6) враховуючи (4), можемо продовжити У (7) про інтегруємо другий доданок по частинах
Підставимо одержаний вираз у (7) тоді
Врахувавши обмеження (2), а також умову Ліпшеца(1)
Врахувавши (5):
Розглянемо рівність (6):
Врахувавши (8’) Таким чином (9) представляє собою рекурентну оцінку похибки на
Тоді можемо записати
Використаємо рівність
Ми одержимо похибку Як бачимо з формули оцінки похибки, Метод Ейлора має 1-й порядок апроксимації із зменшенням кроку Дослідимо метод Ейлера на стійкість. Не завжди початкове наближення буде одержане точно, тобто замість
Знайдемо абсолютну похибку враховуючи що функція задовольняє умову Ліпшица
…. …. ….
Тоді
…. .… .….
Із останньої нерівності випливає що похибка початкових даних не накопичується, тобто метод Ейлера має обчислювальну стійкість Можемо сказати що похибка початкових даних не накопичується в методі Ейлера і метод має обчислювальну стійкість. Методи Рунге-Кутта Від метода Ейлера вони відрізняються порядком точності, а також тим, що в методі Ейлера не допускається обмеження правих частин Нехай Взявши
Із (4): Формула (4’) визначає розвязок в точці Обчислення коефіцієнта (4) представляє собою великий об’єм обчислень. Тоді Рунге запропонував обчислювати замість коефіцієнта
Тодірозвязок буде представлений
Сума коефіцієнтів !Зауважимо, що метод Рунга-Кута не використовується при При При
Розглянемо рівняння яке задовольняє похибка методу Ейлера
Праву частину рівняння (8) можна представити у вигляді суми двох доданків
Де функція Якщо Розглянемо різницевий метод (7) і підставимо коефіцієнти
Тоді за означенням похибки апроксимації або нев’язкою методу (7) будем називати функцію Вираз (11) одержується заміною у (10) наближеного розв’язку точним розв’язком. Знайдемо порядок апроксимації із припущення що функція
Розпишемо
Формула (12) представляє собою нев’язку методу (7) і при 1)
|
||||||
|