Метод Рунга-Кута 3-го порядку

1.

2.

Приклад

Метод Рунга-Кута 4-го порядку

1.

2.

Методи розв’язання лінійних рівнянь та їх систем

Нехай задана функція яка може бути як трансцендентною функцією так і многочленом n –го степеня і потрібно розв’язати рівняння (1), тобто знайти корені.

Розв’язання рівняння (1) відбувається в два етапи:

1. Вивчається розміщення коренів рівняння, а також відбувається відокремлення коренів рівняння. Під відокремленням ми будемо розуміти такий проміжок невеликої довжини на якому міститься тільки один корінь.

2. На другому етапі уточнюється корінь В уточненні коренів використовується деяке початкове наближення для того щоб уточнити його з деякою точністю за допомогою загального многочлена.

Відокремлення степенів можна проводити двома способами:

1. Графічний, треба побудувати графік функції

2. Аналітичний спосіб за допомогою знака функції в критичній точці.

Якщо функція є неперервною на [a,b] то для відокремлення коренів можна користуватися наступними твердженнями.

Твердження 1.

Якщо є аналітичною на [a,b] і на кінцях свого проміжку [a,b] функція приймає різні знаки то функція містить непарну кількість коренів , якщо однакові – то парна кількість коренів або ж рівняння на заданому проміжку немає зовсім коренів.

Твердження 1.

Якщо функція на кінцях деякого проміжку є непарна і на кінцях свого проміжку приймає значення різних знаків, а також то між a і b міститься існує лише один єдиний корінь

Для того щоб знайти всі параметри на яких міститься один корінь ми виберемо розбиття і будемо перевіряти умови

У випадку якщо функція є алгебраїчний многочлен n-го степеня ми можемо знайти множину всіх коренів, а також методи для знаходження проміжків на якому міститься по одному кореню.

Представимо функцію у вигляді

Тоді можемо записати Формула Маклорена для знаходження верхньої межі коренів.

Нехай , якщо не існує відємних коефіцієнтів то і рівняння не має додатніх коренів

Теорема

Всі корені рівняння (2) будуть міститися на проміжку ,

Доведення

Розглянемо випадок коли Тоді

Розглянемо випадок коли

тоді функція буде більше за нуль у випадку коли

тоді тоді права частина останньої нерівності являє собою верхню межу коренів

тоді який задавільняє (4) функція , а це означає що всі коефіцієнти рівняння (2) лежать у межах нерівності (3).

Приклад

Якщо є верхня межа коренів рівняння , а є верхня межа коренів рівняння тоді всі корні рівняння (1) містяться в межах

Корені :

Зауважимо що ця оцінка є достатньо грубою, так як коренями цього рівняння є

Метод Ньютона для відшукання верхньої межі коренів

Розглянемо рівняння виду , де рівняня з дійсними коефіцієнтами , то ді буде справедлива теорема

Теорема

Якщо для виконується тоді число є верхньою межею коренів рівняння.

Знаходити число можна наступним чином

тоді є зростаючою функцією аргумента Тоді знайдеться деяке число , що при . Тоді є зростаючою функцією аргумента , Тоді знайдеться деяке число , що при і так далі …… є зростаючою функцією . може бути верхньою межею коренів рівняння

Приклад

Метод Штурма

Розглянемо рівняння виду , з коефіцієнтами, яке не має кратних коренів. Складемо систему функцій Штурма де остача від ділення взята з протилежним знаком

остача від ділення взята з протилежним знаком

Система функцій виду (5), а також будь-яка інша отримана з (5) шляхом множення на деякий додатній коефіцієнт називається системою функцій Штурма

система функцій Штурма збігається з (5) з точністю до сталого додатного множника.

Нехай всі корені виду (2) містяться на проміжку .

кількість перемін знаком у системі функцій (7)

кількість перемін знаком у системі функцій (8)

Теорема

Якщо рівняння виду немає кратних коренів і не є коренями цього рівняння, то і кількості коренів які розташовані на проміжку .

Приклад. Відокремити корені рівняння .

Знаходимо межі коренів рівняння: верхня межа, по Маклорена

Нижня межа

-4

-4
-3
-2,1
-1
0,1

Методи уточнення коренів. Ітераційні методи розв’язання алгебраїчних та рівнянь

Нехай нам потрібно розв’язати алгебраїчне рівняння .

Нехай відомо достатньо малий проміжок на якому міститься один корінь виберемо деяке початкове наближення на цьому проміжку і за допомогою деякого рекурентного співвідношення будуємо послідовність точок що буде збігатися до розвязку

Збіжність послідовності забезпечуємо вибором функції . Зазвичай у нас використовується залежність він є одночасно розв’язком рівняння (1)і(3). Будемо підбирати і будувати інтерполяційний процес за формулою

Метод простої ітерації

Нехай маємо , на якому міститься один корінь і маємо початкове наближення дане рівняня перепишемо у вигляді .

Від (1) до (2) ми можемо перейти різними способами де функцію можемо вибирати як

,

деяка функція яка зберігає свій знак на проміжку , дана функція може бути вибрана як константа.

Покажемо що при такому виборі рівняння (1)і(2) були еквівалентними

Нехай є коренями рівняння

Припустимо що є розв’язком рівняння (2) ; маючи початкове наближення, згідно методу простої ітерації, кожне наступне наближення буде вибиратися

Згідно методу простої ітерації

Умова завершення ітераційного процесу

Збіжність методу простої ітерації буде визначатися нерівністю

Збіжність методу буде з того боку з якого виберемо початкове наближення

Розглянемо односторонню збіжність

Метод хорд

Нехай маємо фунцію .і на має єдиний корінь

І нехай функція є неперервною на цьому проміжку, а також для неї існують неперервні похідні 1-го та 2-го порядку, які на цьому проміжку не змінюють знак і не перетворюються в нуль. Виберемо деяке початкове наближення і замінимо функцію хордою, яка проходить через точки і за наступне наближення значення кореня приймемо точку перетину хорд з віссю ОХ. Позначимо цю точку через

)

-хорда буде перетинати вісь ОХ. Тоді можемо записати

ітераційний метод Хорд

Побудова буде виконуватись до тих пір поки

Коли ітераційний процес можна записати у вигляді

Деколи метод хорд називають методом лінійної інтерполяції

Геометрична інтерпретація

a

X1

f(x1)

a=x0

x1

b

f(x1)

a

b=x0

x1

f(x1)

a=x0

b

f(x1)

x1

Метод Ньютона

Розглянемо рівняння виду ., де на міститься єдиний корінь. Функція є неперервною і існують похідні 1-го та 2-го порядку які не змінюють знак на . Виберемо початкове наближення або щоб виконувалась умова .

Метод Ньютона полягає у наближенні кривої дотичною проведеною до кривої в точці . І за наступне наближення значення кореня приймемо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох

– ітераційний метод Ньютона, або метод Дотичнихітераційний метод буде виконуватись до тих пір, поки

Для того щоб значення у (3) не перетворювалося в нуль використовуємо модифікований метод Ньютона

Недоліком є те що початкове наближення треба вибирати досить близько до розв’язку.

У методі Ньютона можливе зациклення. В такому випадку вибираємо середню точку між точками зациклення.