![]() |
Метод Рунга-Кута 3-го порядку
1. 2. Приклад
Метод Рунга-Кута 4-го порядку 1.
2.
Методи розв’язання лінійних рівнянь та їх систем
Нехай задана функція Розв’язання рівняння (1) відбувається в два етапи: 1. Вивчається розміщення коренів рівняння, а також відбувається відокремлення коренів рівняння. Під відокремленням ми будемо розуміти такий проміжок невеликої довжини на якому міститься тільки один корінь. 2. На другому етапі уточнюється корінь В уточненні коренів використовується деяке початкове наближення для того щоб уточнити його з деякою точністю за допомогою загального многочлена. Відокремлення степенів можна проводити двома способами: 1. Графічний, треба побудувати графік функції
2. Аналітичний спосіб за допомогою знака функції в критичній точці. Якщо функція Твердження 1. Якщо Твердження 1. Якщо функція на кінцях деякого проміжку є непарна і на кінцях свого проміжку приймає значення різних знаків, а також Для того щоб знайти всі параметри на яких міститься один корінь ми виберемо розбиття
У випадку якщо функція є алгебраїчний многочлен n-го степеня ми можемо знайти множину всіх коренів, а також методи для знаходження проміжків на якому міститься по одному кореню. Представимо функцію у вигляді Тоді можемо записати Формула Маклорена для знаходження верхньої межі коренів. Нехай Теорема Всі корені рівняння (2) будуть міститися на проміжку Доведення Розглянемо випадок коли Розглянемо випадок коли
тоді тоді
Приклад
Якщо
Корені : Зауважимо що ця оцінка є достатньо грубою, так як коренями цього рівняння є
Метод Ньютона для відшукання верхньої межі коренів Розглянемо рівняння виду Теорема Якщо для Знаходити число
Приклад
Метод Штурма
Розглянемо рівняння виду
Система функцій виду (5), а також будь-яка інша отримана з (5) шляхом множення на деякий додатній коефіцієнт називається системою функцій Штурма
Нехай всі корені виду (2) містяться на проміжку
Теорема Якщо рівняння виду
Приклад. Відокремити корені рівняння Знаходимо межі коренів рівняння: Нижня межа
Методи уточнення коренів. Ітераційні методи розв’язання алгебраїчних та рівнянь
Нехай нам потрібно розв’язати алгебраїчне рівняння Нехай відомо достатньо малий проміжок на якому міститься один корінь Збіжність послідовності
Метод простої ітерації
Нехай маємо Від (1) до (2) ми можемо перейти різними способами де функцію можемо вибирати як
Покажемо що при такому виборі рівняння (1)і(2) були еквівалентними Нехай Припустимо що Згідно методу простої ітерації Умова завершення ітераційного процесу
Збіжність методу простої ітерації буде визначатися нерівністю Збіжність методу буде з того боку з якого виберемо початкове наближення
Розглянемо односторонню збіжність
Метод хорд
Нехай маємо фунцію І нехай функція є неперервною на цьому проміжку, а також для неї існують неперервні похідні 1-го та 2-го порядку, які на цьому проміжку не змінюють знак і не перетворюються в нуль. Виберемо деяке початкове наближення
Побудова буде виконуватись до тих пір поки Коли Деколи метод хорд називають методом лінійної інтерполяції Геометрична інтерпретація Метод Ньютона
Розглянемо рівняння виду Метод Ньютона полягає у наближенні кривої дотичною проведеною до кривої в точці
Для того щоб значення у (3) не перетворювалося в нуль використовуємо модифікований метод Ньютона
Недоліком є те що початкове наближення треба вибирати досить близько до розв’язку.
У методі Ньютона можливе зациклення. В такому випадку вибираємо середню точку між точками зациклення. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|