ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Метод Рунга-Кута 3-го порядку

1.

2.

Приклад

Метод Рунга-Кута 4-го порядку

1.

 

2.

Методи розв’язання лінійних рівнянь та їх систем

 

Нехай задана функція яка може бути як трансцендентною функцією так і многочленом n –го степеня і потрібно розв’язати рівняння (1), тобто знайти корені.

Розв’язання рівняння (1) відбувається в два етапи:

1. Вивчається розміщення коренів рівняння, а також відбувається відокремлення коренів рівняння. Під відокремленням ми будемо розуміти такий проміжок невеликої довжини на якому міститься тільки один корінь.

2. На другому етапі уточнюється корінь В уточненні коренів використовується деяке початкове наближення для того щоб уточнити його з деякою точністю за допомогою загального многочлена.

Відокремлення степенів можна проводити двома способами:

1. Графічний, треба побудувати графік функції

() – наближені значення коренів

 

 


2. Аналітичний спосіб за допомогою знака функції в критичній точці.

Якщо функція є неперервною на [a,b] то для відокремлення коренів можна користуватися наступними твердженнями.

Твердження 1.

Якщо є аналітичною на [a,b] і на кінцях свого проміжку [a,b] функція приймає різні знаки то функція містить непарну кількість коренів , якщо однакові – то парна кількість коренів або ж рівняння на заданому проміжку немає зовсім коренів.

Твердження 1.

Якщо функція на кінцях деякого проміжку є непарна і на кінцях свого проміжку приймає значення різних знаків, а також то між a і b міститься існує лише один єдиний корінь

Для того щоб знайти всі параметри на яких міститься один корінь ми виберемо розбиття і будемо перевіряти умови

У випадку якщо функція є алгебраїчний многочлен n-го степеня ми можемо знайти множину всіх коренів, а також методи для знаходження проміжків на якому міститься по одному кореню.

Представимо функцію у вигляді

Тоді можемо записати Формула Маклорена для знаходження верхньої межі коренів.

Нехай , якщо не існує відємних коефіцієнтів то і рівняння не має додатніх коренів

Теорема

Всі корені рівняння (2) будуть міститися на проміжку ,

Доведення

Розглянемо випадок коли Тоді

Розглянемо випадок коли

тоді функція буде більше за нуль у випадку коли

тоді тоді права частина останньої нерівності являє собою верхню межу коренів

тоді який задавільняє (4) функція , а це означає що всі коефіцієнти рівняння (2) лежать у межах нерівності (3).

 

Приклад

Якщо є верхня межа коренів рівняння , а є верхня межа коренів рівняння тоді всі корні рівняння (1) містяться в межах

Корені :

Зауважимо що ця оцінка є достатньо грубою, так як коренями цього рівняння є

 

Метод Ньютона для відшукання верхньої межі коренів

Розглянемо рівняння виду , де рівняня з дійсними коефіцієнтами , то ді буде справедлива теорема

Теорема

Якщо для виконується тоді число є верхньою межею коренів рівняння.

Знаходити число можна наступним чином

тоді є зростаючою функцією аргумента Тоді знайдеться деяке число , що при . Тоді є зростаючою функцією аргумента , Тоді знайдеться деяке число , що при і так далі …… є зростаючою функцією . може бути верхньою межею коренів рівняння

Приклад

Метод Штурма

 

Розглянемо рівняння виду , з коефіцієнтами, яке не має кратних коренів. Складемо систему функцій Штурма де остача від ділення взята з протилежним знаком

остача від ділення взята з протилежним знаком

Система функцій виду (5), а також будь-яка інша отримана з (5) шляхом множення на деякий додатній коефіцієнт називається системою функцій Штурма

система функцій Штурма збігається з (5) з точністю до сталого додатного множника.

Нехай всі корені виду (2) містяться на проміжку .

кількість перемін знаком у системі функцій (7)

кількість перемін знаком у системі функцій (8)

Теорема

Якщо рівняння виду немає кратних коренів і не є коренями цього рівняння, то і кількості коренів які розташовані на проміжку .

 

Приклад. Відокремити корені рівняння .

Знаходимо межі коренів рівняння: верхня межа, по Маклорена

Нижня межа

-4

 

 

-4
-3
-2,1
-1
0,1

 

 

Методи уточнення коренів. Ітераційні методи розв’язання алгебраїчних та рівнянь

 

Нехай нам потрібно розв’язати алгебраїчне рівняння .

Нехай відомо достатньо малий проміжок на якому міститься один корінь виберемо деяке початкове наближення на цьому проміжку і за допомогою деякого рекурентного співвідношення будуємо послідовність точок що буде збігатися до розвязку

Збіжність послідовності забезпечуємо вибором функції . Зазвичай у нас використовується залежність він є одночасно розв’язком рівняння (1)і(3). Будемо підбирати і будувати інтерполяційний процес за формулою

 

Метод простої ітерації

 

Нехай маємо , на якому міститься один корінь і маємо початкове наближення дане рівняня перепишемо у вигляді .

Від (1) до (2) ми можемо перейти різними способами де функцію можемо вибирати як

,

деяка функція яка зберігає свій знак на проміжку , дана функція може бути вибрана як константа.

Покажемо що при такому виборі рівняння (1)і(2) були еквівалентними

Нехай є коренями рівняння

Припустимо що є розв’язком рівняння (2) ; маючи початкове наближення, згідно методу простої ітерації, кожне наступне наближення буде вибиратися

Згідно методу простої ітерації

Умова завершення ітераційного процесу

Збіжність методу простої ітерації буде визначатися нерівністю

Збіжність методу буде з того боку з якого виберемо початкове наближення

Розглянемо односторонню збіжність

S(x)

 

Метод хорд

 

Нехай маємо фунцію .і на має єдиний корінь

І нехай функція є неперервною на цьому проміжку, а також для неї існують неперервні похідні 1-го та 2-го порядку, які на цьому проміжку не змінюють знак і не перетворюються в нуль. Виберемо деяке початкове наближення і замінимо функцію хордою, яка проходить через точки і за наступне наближення значення кореня приймемо точку перетину хорд з віссю ОХ. Позначимо цю точку через

)

 

-хорда буде перетинати вісь ОХ. Тоді можемо записати

ітераційний метод Хорд

Побудова буде виконуватись до тих пір поки

Коли ітераційний процес можна записати у вигляді

Деколи метод хорд називають методом лінійної інтерполяції

Геометрична інтерпретація

b=x0
a
X1
f(x1)
a=x0
x1
b
f(x1)
a
b=x0
x1
f(x1)
a=x0
b
f(x1)
x1

Метод Ньютона

 

Розглянемо рівняння виду ., де на міститься єдиний корінь. Функція є неперервною і існують похідні 1-го та 2-го порядку які не змінюють знак на . Виберемо початкове наближення або щоб виконувалась умова .

Метод Ньютона полягає у наближенні кривої дотичною проведеною до кривої в точці . І за наступне наближення значення кореня приймемо абсцису точки перетину дотичної з віссю Ох

ітераційний метод Ньютона, або метод Дотичнихітераційний метод буде виконуватись до тих пір, поки

Для того щоб значення у (3) не перетворювалося в нуль використовуємо модифікований метод Ньютона

Недоліком є те що початкове наближення треба вибирати досить близько до розв’язку.

X*
X1
X1

 

У методі Ньютона можливе зациклення. В такому випадку вибираємо середню точку між точками зациклення.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти