ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Умови задач, рекомендованих для індивідуального розв’язання з курсу «Аналітична геометрія».

Умови задач, рекомендованих для індивідуального розв’язання з курсу «Аналітична геометрія».

ЗМодуль 1. Системи координат. Векторна алгебра.

Декартові системи координат на прямій,

На площині та у просторі. Основні задачі координатної геометрії.

 

1. Знайти координати x і y центра ваги трикутника АВС з вершинами , та .

(Відповідь: ), .)

2. Знайти в площині точку рівновіддалену від трьох точок . (Відповідь: )

3. Дві вершини трикутника знаходяться в точках (5, 1) і (–2, 2); третя вершина лежить на осі . Знайти координати третьої вершини, знаючи, що площа трикутника дорівнює 10.

(Відповідь: (32, 0) і (–8, 0))

4. Обчислити площу трикутника, вершини якого А(r1, φ1), В(r2, φ2), задано полярними координатами (φ12).

(Відповідь: )

5. Дано дві суміжні вершини паралелограма А(-1;3), В( 2;-1 ). Знайти дві інші вершини при умові, що діагоналі паралелограма паралельні осям координат. (Відповідь: С( 5,3 ), D( 2,7 ) або С(-1;-5), D (-4;-1))

6. На осях координат знайти точки, кожна з яких рівновіддалена від точок (1,1) та ( 3;7 ). (Відповідь: (14,0) і (0; ) )

7. Знаючи дві протилежні вершини ромба А( 8;-3 ) і С ( 10,11 ), знайти дві інші його вершини при умові, що довжина сторони ромба дорівнює 10. ( Відповідь: В(2;5), D(16;3) ).

8. Дано три послідовні вершини трапеції А(-2;-3 ), В(1,4), С(3,1). Знайти четверту його вершину D при умові, що основа АD в п’ять разів більша за основу ВС . ( Відповідь: D(8;-18) )

9. Дано трикутник АВС: А(4;1), В(7;5), С(-4;7 ). Знайти довжину бісектриси АD кута А. ( Відповідь: )

10. Знайти центр ваги дротяного трикутника, довжина сторін якого 3, 4 і 5см. (Відповідь: якщо направити вісь абсцис по меншому із катетів, а вісь ординат по більшому, то для координат центр ваги трикутника отримаємо числа х=1 , у = .)

11. Площа трикутника S=3, дві його вершини точки А(3;1) і В(1;-3), центр ваги цього трикутник лежить на осі Ох. Визначити координати третьої вершини С. ( Відповідь: (5;2) або(2;2) )

12. Знайти відстань між двома даними точками:

1) А(2; ) і В (1; ) ;

2) С(4; ) і D (6; ) ;

3) Е (3; ) і F (4; ). (Відповідь: 1) АВ= ; 2)СD=10; 3)EF=5. )

13. Знайти площу трикутника, одна із вершин якого розташована в полюсі, а дві інші мають полярні координати (4; ), (1; ). (Відповідь: S=1.)

14. Знайти прямокутні координати точок, що задані своїми полярними координатами: А(2, ), В( , ), С(5, ), D(3, - ), причому вісь абсцис співпадає з полярною віссю, а початок координат – з полюсом. ( Відповідь: А (1; ); В (-1;1); С(0;5); D ( ; - ) ).

15. Знайти полярні координати точки М, знаючи її декартові координати х = 8, у = -6. ( Відповідь: = 10, cosφ = , sin φ = - .)

16. Дано полярні координати точок А(8; - ) і В (6; ). Знайти полярні координати середини відрізка АВ. ( Відповідь: (1;- ) ).

17. Знайти площу п’ятикутника вершинами якого є точки А(-2;0), В(0;-1), С(2;0), D(3,2) та Е(-1:3). ( Відповідь: 12,5 )

18. В трикутнику АВС: А(5;-4), В(-1;2), С(5;1) проведена медіана АD. Знайти її довжину. ( Відповідь АD = ).

19. Знайти дві точки А та В, знаючи що точка С(-5;4) ділить відрізок АВ у відношенні , а точка D(6;-5) - у відношенні . (Відповідь: А(160;-131), В(-225;184) ).

20. Дано дві точки А (-4;2), В(8;-7). Знайти точки С і D, які ділять відрізок АВ на три рівні частини.

( Відповідь: С(0;-1), D(4;-4) ).

 

Вектори.Лінійні операції над векторами.

Скалярне, векторне та мішане множення векторів.

1. В вершині куба прикладено три сили, різні за величиною 1, 2 і 3 і напрямлені по діагоналях граней куба. Визначити величину рівнодійної. (відповідь: 5).

2. Вектори і визначені координатами своїх кінців: ; ; ; .

Знайти а) векторний добуток ;

б) його модуль;

в) напрямні косинуси векторного добутку

(Відповідь: а) ,

б) ,

в) ).

3. Знайти площу трикутника, координати вершин якого відомі ; ; .

(Відповідь: кв.од.).

4. Знайти об’єм піраміди за відомими координатами її вершин: , ; ; .

(Відповідь: куб.од.).

5. Дано вектори , , . Вектори і не колінеарні. Нехай – проекція точки на площину . Найти вектор .

(Відповідь: ).

 

 

6. Знайти скалярний добуток векторів та у випадку

1) | |=| |=1, ( ,^ )=1350;

2) | |=3, | |=1 а в.

( Відповідь: 1) - ; 2) -3) ).

7. В трикутнику АВС дано довжини його сторін ВС=5, СА=6, АВ=7, Знайти скалярний добуток векторів і

( Відповідь -19 ).

8. Який кут утворюють одиничні вектори та , якщо відомо, що вектори = +2 і =5 -4 взаємно –перпендикулярні.

(Відповідь: ).

9. Знайти числову величину проекції вектора ( 7;-4) на вісь, паралельну вектору (-8;6).

( Відповідь: -8 )

10. Дано три вектори =(3;-2;4), =(5;1;6), =(-3;0;2). Знайти вектор , що задовольняє одночасно трьом рівнянням ·=4, =35, =0.

(Відповідь: =(2;7;3) ).

11. Дано два вектора =(11;10;2) та =( 4;0;3). Знайти вектор , перпендикулярний до векторів та рівний 1 і напрямлений так, щоб трійка векторів , , була орієнтована так як трійка одиничних векторів ортонормованого базису.

(Відповідь: ( ; - ; - ) ).

12. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах =(8;4;1), =(2;-2;1).

(Відповідь: 18 ).

13. Дано вектори =(3;1;2), =(2;7;4), =(1;2;1).

Знайти: 1) ; 2) ( [ ] с); 3) ( [ ] ).

(Відповідь: 1) -7; 2) (-46,29,-12); 3) (-7,7,7)).

14. Визначити кут λ між векторами та , що задані своїми координатами: 1) =(4,3), =(1;7); 2) =(6;-8), =(12;9), 3) =(2;5), =(3,-7).

(Відповідь: 1) 450, 2) 900, 3)1350).

 

Найпростіші задачі.

1. Знайти віддаль від точки до прямої :

.

2. Записати рівняння спільного перпендикуляра для двох мимобіжних прямих, заданих канонічними рівняннями.

3. Знайти найкоротшу віддаль між мимобіжними прямими, заданими канонічними рівняннями.

4. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і через точки М1(2;1;1) і М2(-3;0;4). С.к.а. (Відповідь: 4х-11у+3z=0)

5. Скласти рівняння площини, що проходить через точку (3;7;2) і паралельно двом векторам (4;1;2) і (5;3;1). С.к.а.

(Відповідь: 5х-6у-7 z + 41=0 )

6. Дано вершини тетраедра А(5;1;3), В(1;6;2), С(5;0;4), D(4;0;6). Написати рівняння площини, що проходить через ребро АВ паралельно ребру СD.

(Відповідь: 10х+9у+5 z -74=0 ).

7. Скласти рівняння площини, що проходить через точку (3;-5;-1) і паралельно площині х-2у+4 z=0.С.к.а.

(Відповідь х-2у+4z-17=0 ).

 

8. Дано рівняння трьох граней паралелепіпеда 2х+3у+4z-12=0, х+3у-6=0, z+5=0, і одна з його вершин ( 6;-5;1). Скласти рівняння трьох інших граней паралелепіпеда.

9. (Відповідь: 2х+3у+4 z-1=0, х+3у+9=0, z-1=0 ).

 

10.Через початок координат провести площину, перпендикулярну до площини 5х-2у+5z-10=0 і утворює з площиною х-4у-8z+12=0 кут 450

(Відповідь: х+20у+7z=0 і х-z=0 ).

11. Знайти основу перпендикуляра, опущеного із точки (1;3;5) на пряму, по якій перетинаються площини 2х+у+z-1=0, 3х+у+2z-3=0

(Відповідь: (-2;1;4) ).

12. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат, через точку (1,2,3) і перпендикулярна до площини х-у+2z-4=0.

(Відповідь: 7х+у-3z=0 ).

13. Скласти рівняння площини, що проходить через точку (-3;1;0) і через пряму х+2у-z+4=0, 3х-у+2z-1=0. С.к.а.

(Відповідь: 20х+19у-5z+41=0 ).

14. В жмутку, що визначаються площинами 2х+у-3z+2=0 і 5х+5у-4z+3=0, знайти дві перпендикулярні між собою площини, із яких одна проходить через точку (4,-3,1).

(Відповідь: 3х+4у-z+1=0 і х-2у-5z+3=0).

15. Дано вершини тетраедра А(0;0;2), В(3;0;5), С(1;1;0), D(4;1;2). Знайти довжину висоти опущеної із вершини D на грань АВС.

(Відповідь: ).

16. Скласти рівняння площини, що паралельна площині 2х+у-4z+5=0 і яка віддалена від точки (1;2;0) на відстань .

(Відповідь: 2х+у-4z+17=0, 2х+у-4z-25=0 ).

17. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і через пряму х=3-2t, y=1+ t, z=t С.к.а.

(Відповідь: х-3у+5z=0 ).

 

18. Визначити кут між двома прямими

3х-4у-2z=0 4х+у-6z-2=0

2х-у-2z=0 і у-3z+2=0

(Відповідь: cosλ = ).

 

19. Знайти кут між прямою х=5+6t, у=1-3t , z=2+t, та площиною 7х+2у-3z+5=0.

(Відповідь: arcsin ).

20. Скласти рівняння проекції прямої х=3+5t, у=-1+t, z=4+t на площину 2х-2у+3z-5=0.

(Відповідь: 5х-13y-2z+20=0, 2x-2у+3z-5=0 ).

21. Знайти відстань від точки (1,3,5) до прямої, по якій перетинаються площини 2х+у+z-1=0, 3х+у+2z-3=0.

(Відповідь: ).

Умови задач, рекомендованих для індивідуального розв’язання з курсу «Аналітична геометрія».

ЗМодуль 1. Системи координат. Векторна алгебра.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти