1. В вершині куба прикладено три сили, різні за величиною 1, 2 і 3 і напрямлені по діагоналях граней куба. Визначити величину рівнодійної. (відповідь: 5).

2. Вектори і визначені координатами своїх кінців: ; ; ; .

Знайти а) векторний добуток ;

б) його модуль;

в) напрямні косинуси векторного добутку

(Відповідь: а) ,

б) ,

в) ).

3. Знайти площу трикутника, координати вершин якого відомі ; ; .

(Відповідь: кв.од.).

4. Знайти об’єм піраміди за відомими координатами її вершин: , ; ; .

(Відповідь: куб.од.).

5. Дано вектори , , . Вектори і не колінеарні. Нехай – проекція точки на площину . Найти вектор .

(Відповідь: ).

6. Знайти скалярний добуток векторів та у випадку

1) | |=| |=1, ( ,^ )=135^0;

2) | |=3, | |=1 а в.

( Відповідь: 1) - ; 2) -3) ).

7. В трикутнику АВС дано довжини його сторін ВС=5, СА=6, АВ=7, Знайти скалярний добуток векторів і

( Відповідь -19 ).

8. Який кут утворюють одиничні вектори та , якщо відомо, що вектори = +2 і =5 -4 взаємно –перпендикулярні.

(Відповідь: ).

9. Знайти числову величину проекції вектора ( 7;-4) на вісь, паралельну вектору (-8;6).

( Відповідь: -8 )

10. Дано три вектори =(3;-2;4), =(5;1;6), =(-3;0;2). Знайти вектор , що задовольняє одночасно трьом рівнянням ·=4, =35, =0.

(Відповідь: =(2;7;3) ).

11. Дано два вектора =(11;10;2) та =( 4;0;3). Знайти вектор , перпендикулярний до векторів та рівний 1 і напрямлений так, щоб трійка векторів , , була орієнтована так як трійка одиничних векторів ортонормованого базису.

(Відповідь: ( ; - ; - ) ).

12. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах =(8;4;1), =(2;-2;1).

(Відповідь: 18 ).

13. Дано вектори =(3;1;2), =(2;7;4), =(1;2;1).

Знайти: 1) ; 2) ( [ ] с); 3) ( [ ] ).

(Відповідь: 1) -7; 2) (-46,29,-12); 3) (-7,7,7)).

14. Визначити кут λ між векторами та , що задані своїми координатами: 1) =(4,3), =(1;7); 2) =(6;-8), =(12;9), 3) =(2;5), =(3,-7).

(Відповідь: 1) 45⁰, 2) 90⁰, 3)135⁰).

ЗМодуль 2. Пряма та площина.

Рівняння прямої на координатній площині.

Основні задачі геометрії прямих на координатній площині.

1. Знайти віддаль між прямими і .

2. Скласти рівняння бісектриси внутрішнього кута A трикутника , якщо .

3. Скласти рівняння прямої, нахилом до осі Ох під кутом 150⁰, яка відтинає на осі Оу відрізок, рівний - . Знайти точку перетину прямої з віссю абсцис.

(Відповідь: х + 3у+1=0, ( - ;0) ).

4. Дано трикутник АВС: А(-2,3), В(4;1), С(6,-5). Написати рівняння медіани цього трикутника, проведеної із вершини А. Система координат афінна

(Відповідь: 5х+7у-11=0).

5. Написати рівняння прямої, що паралельна до прямої 2х+5у=0 і утворює разом з осями координат трикутник, площа якого дорівнює 5.

(Відповідь: 2х+5у 10=0).

6. Скласти параметричне рівняння прямої, що походить через А(-6;-4) і має кутовий коефіцієнт =- . С.к.а.

(Відповідь: х=-6+7t, y=-4-3t).

7. Через М(2;5) провести пряму, рівновіддалену від точок Р(-1;2) і Q(5;4). С.к.а.

(Відповідь: х-2=0, х-3у+13=0).

8. Знаючи рівняння двох сторін паралелограма х-3у=0 і 2х+5у+6=0 та одну із його вершин С(4;-1) скласти рівняння двох інших сторін паралелограма. С.к.а.

(Відповідь: х-3у-7=0, 2х+5у-3=0).

9. В трикутнику АВС відомі; сторона АВ: 4х+у-12=0, висота ВН: 5х-4у-15=0 і висота АН:2х+2у-9=0. Написати рівняння двох інших сторін і третьої висоти.

(Відповідь: (ВС):х-у-3=0; (АС)4х+5у-20=0; (СН):3х-12у-1=0).

10. Через початок координат провести прямі, що утворюють з прямою 5х-6у+2=0 кути, тангенси яких рівні .

(Відповідь: 72х-у=0: 12х+71у=0).

11. Дано дві точки А(3;3), В(0;2). На прямій х+у-4=0 знайти точку із якої відрізок АВ видно під кутом 45⁰ .

(Відповідь: М₁(4;0), М₂(-1;5) ).

12. Через точку перетину прямих 3х-5у+2=0, 5х-2у+4=0 провести пряму, паралельну прямій 2х-у+4=0. С.к.а.

(Відповідь: 38х-19у+30=0.)

13. Через точку перетину прямих 3х-у=0, х+4у-2=0 провести пряму, перпендикулярну до прямої 2х+7у=0.

(Відповідь: 91х-26у-2=0).

14. Визначити відстань від точок (1;0) і (-1,2) до прямої 3х-у+4=0

(Відповідь: , ).

15. На прямій х-3у+13=0 знайти точки, що відстоять від прямої х+2у+3=0 на відстані .

(Відповідь: (-10;1), (-4;3) ).

16. Скласти рівняння бісектриси того кута між прямими х+у-3=0, 7х-у+4=0, в якому лежить точка (-1;5).

(Відповідь: 12х+4у-11=0).

17. На прямій 7х+3у-14=0 знайти точки, сума відстаней кожної із яких до двох точок (2;3) і (-1;4) рівна 8.

(Відповідь: (2;0)і (-1;7) ).

18. Скласти рівняння сторін трикутника , знаючи одну із його вершин

А(3;-4) і рівняння двох висот: 7х-2у-1=0, 2х-7у-6=0.

(Відповідь: 2х+7у+22=0, 7х+2у-13=0, x-y+2=0).

19. Написати рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих: 7х-у+3=0 і 3х+5у-4=0, і через точку А(2;-1). С.к.а.

(Відповідь: 25х+29у-21=0).

20. Дано дві вершини трикутника А (-6;2), В(2;-2), і точка Н(1;2) перетину його висот. Знайти координати вершини С.

(Відповідь: С (2;4) ).

21. Через точку (3;1) провести прямі, що нахилені до прямої 2х+3у-1=0 під кутом 45⁰.

(Відповідь: 5х+у-16=0, х-5у+2=0).

Площина і пряма у координатному просторі,

Найпростіші задачі.

1. Знайти віддаль від точки до прямої :

2. Записати рівняння спільного перпендикуляра для двох мимобіжних прямих, заданих канонічними рівняннями.

3. Знайти найкоротшу віддаль між мимобіжними прямими, заданими канонічними рівняннями.

4. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і через точки М₁(2;1;1) і М₂(-3;0;4). С.к.а. (Відповідь: 4х-11у+3z=0)

5. Скласти рівняння площини, що проходить через точку (3;7;2) і паралельно двом векторам (4;1;2) і (5;3;1). С.к.а.

(Відповідь: 5х-6у-7 z + 41=0 )

6. Дано вершини тетраедра А(5;1;3), В(1;6;2), С(5;0;4), D(4;0;6). Написати рівняння площини, що проходить через ребро АВ паралельно ребру СD.

(Відповідь: 10х+9у+5 z -74=0 ).

7. Скласти рівняння площини, що проходить через точку (3;-5;-1) і паралельно площині х-2у+4 z=0.С.к.а.

(Відповідь х-2у+4z-17=0 ).

8. Дано рівняння трьох граней паралелепіпеда 2х+3у+4z-12=0, х+3у-6=0, z+5=0, і одна з його вершин ( 6;-5;1). Скласти рівняння трьох інших граней паралелепіпеда.

9. (Відповідь: 2х+3у+4 z-1=0, х+3у+9=0, z-1=0 ).

10.Через початок координат провести площину, перпендикулярну до площини 5х-2у+5z-10=0 і утворює з площиною х-4у-8z+12=0 кут 45⁰

(Відповідь: х+20у+7z=0 і х-z=0 ).

11. Знайти основу перпендикуляра, опущеного із точки (1;3;5) на пряму, по якій перетинаються площини 2х+у+z-1=0, 3х+у+2z-3=0

(Відповідь: (-2;1;4) ).

12. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат, через точку (1,2,3) і перпендикулярна до площини х-у+2z-4=0.

(Відповідь: 7х+у-3z=0 ).

13. Скласти рівняння площини, що проходить через точку (-3;1;0) і через пряму х+2у-z+4=0, 3х-у+2z-1=0. С.к.а.

(Відповідь: 20х+19у-5z+41=0 ).

14. В жмутку, що визначаються площинами 2х+у-3z+2=0 і 5х+5у-4z+3=0, знайти дві перпендикулярні між собою площини, із яких одна проходить через точку (4,-3,1).

(Відповідь: 3х+4у-z+1=0 і х-2у-5z+3=0).

15. Дано вершини тетраедра А(0;0;2), В(3;0;5), С(1;1;0), D(4;1;2). Знайти довжину висоти опущеної із вершини D на грань АВС.

(Відповідь: ).

16. Скласти рівняння площини, що паралельна площині 2х+у-4z+5=0 і яка віддалена від точки (1;2;0) на відстань .

(Відповідь: 2х+у-4z+17=0, 2х+у-4z-25=0 ).

17. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат і через пряму х=3-2t, y=1+ t, z=t С.к.а.

(Відповідь: х-3у+5z=0 ).

18. Визначити кут між двома прямими

3х-4у-2z=0 4х+у-6z-2=0

2х-у-2z=0 і у-3z+2=0

(Відповідь: cosλ = ).

19. Знайти кут між прямою х=5+6t, у=1-3t , z=2+t, та площиною 7х+2у-3z+5=0.

(Відповідь: arcsin ).

20. Скласти рівняння проекції прямої х=3+5t, у=-1+t, z=4+t на площину 2х-2у+3z-5=0.

(Відповідь: 5х-13y-2z+20=0, 2x-2у+3z-5=0 ).

21. Знайти відстань від точки (1,3,5) до прямої, по якій перетинаються площини 2х+у+z-1=0, 3х+у+2z-3=0.

(Відповідь: ).

1 234