ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Розв’язування типового варіанта

Приклад 2.1 Вершини піраміди знаходяться у точках , , , .

Обчислити:

а) площу грані АВС;

б) площу перерізу, який проходить через середини ребер AB, AC, AD;

в) об’єм піраміди ABCD.

Розв’язання:

а) Відомо, що . Знаходимо: , , .

Остаточно маємо: (кв. од.)

б) Середини ребер AB, AC, AD знаходяться відповідно у точках , , .

Знаходимо координати цих точок.

Координати точок та знаходимо аналогічно. , .

Далі маємо: , , .

в) Об’єм піраміди знаходимо за формулою .

, . Таким чином .


Варіанти завдань до теми 2 “Вектори на площині та у просторі”

Задача № 3. Вершини піраміди знаходяться у точках А, В, С та D.

Обчислити:

а) площу вказаній у Вашому варіанті грані;

б) об’єм піраміди.

A(3; 4; 5), B(1; 2; 1), C(-2; -3; 6), D(3; -6; -3), грань ACD
A(-7; -5; 6), B(-2; 5; -3), C(3; -2; 4), D(1; 2; 2), грань BCD
A(1; 3; 1), B(-1; 4; 6), C(-2; -3; 4), D(3; 4; -4), грань ACD
A(2; 4; 1), B(-3; -2; 4), C(3; 5; -2), D(4; 2; -3), грань ABD
A(-5; -3; -4), B(1; 4; 6), C(3; 2; -2), D(8; -2; 4), грань ACD
A(3; 4; 2), B(-2; 3; -5), C(4; -3; 6), D(6; -5; 3), грань ABD
A(-4; 6; 3), B(3; -5; 1), C(2; 6; -4), D(2; 4; -5), грань ACD
A(7; 5; 8), B(-4; -5; 3), C(2; -3; 5), D(5; 1; -4), грань BCD
A(3; -2; 6), B(-6; -2; 3), C(1; 1; 4), D(4; 6; -7), грань ABD
A(-5; -4; -3), B(7; 3; -1), C(6; -2; 0), D(3; 2; -7), грань BCD

 


Тема 3 “Криві та поверхні другого порядку”

Теоретичні питання

Крива другого порядку може бути задана рівнянням

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Існує система координат, в якій дане рівняння може бути представлене в одному з виглядів, які наведені нижче.

— рівняння еліпса.

— рівняння гіперболи.

a2x2 – c2y2 = 0 – рівняння двох прямих які перетинаються.

y2 = 2px – рівняння параболи.

y2 – a2 = 0 – рівняння двох паралельних прямих.

y2 = 0 – пара прямих, які співпадають.

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 – рівняння кола.

 

I. КОЛО   У колі (x – х0)2 + (y – y0)2 = R2 центр має координати (x0; y0). Приклад, (x +1)2 + (y - 2)2 = 9.    
ІІ Еліпс   В еліпсі центр має координати (x0; y0), а — більша піввісь, b — менша піввісь. Приклад,
ІІІ ГІПЕРБОЛА   В гіперболі , центр симетрії має координати (x0; y0), а — більша піввісь, b — менша піввісь. Приклад,
ІV ПАРОБОЛА   В параболі (y—y0)2 = 2p(x—x0), вершина має координати (x0; y0), p — параметр параболи. Приклад, y2 = 16x.

При певному виборі прямокутної декартової системи координат у просторі рівняння поверхні другого порядку можна привести до одного з наступних видів:

 

Еліпсоїд Однополосний гіперболоїд

Двуполосний гіперболоїд Конус

Еліптичний параболоїд Гіперболічний параболоїд

Еліптичний циліндр Гіперболічний циліндр

Параболічний циліндр

Розв’язування типового варіанта

Приклад 3.1 Побудувати лінію за даним рівнянням , попередньо звівши його до нормального вигляду.

Отримали рівняння еліпса. З рівняння видно, що центр еліпса зсунуто вздовж вісі Ох на 1/2 праворуч, більша піввісь a дорівнює 3/2, менша піввісь b дорівнює .


Варіанти завдань до теми 3 «Криві та поверхні другого порядку»

Задача № 4. Побудувати лінію за даним рівнянням, попередньо звівши його до нормального вигляду.

 

31. 9х2-4y2+54x-8y+113=0
32. 49х2+16y2+294x-64y-279=0
33. 2х2+8x-10y-27=0
34. 25х2-9y2-150x+36y-36=0
35. 25х2+64y2-200x+128y-1136=0
36. 4х2-9y2+32x-36y-116=0
37. 4х2+36x+12y-3=0
38. 36х2+9y2+288x+90y+477=0
39. 9х2-16y2+36x+128y-364=0
40. 4y2+16x-20y-31=0

 

Задача № 5. Побудувати поверхні другого порядку.

 

41. x2+2y2-6z2=0
42. 3x2+2y2-4z2+12=0
43. 4x2+y2=9
44. 3x2-4y2+24z=0
45. x2+4y2+8z2-16=0
46. z2=4y-1
47. z=4-x2-y2
48. 3x2+2y2+4z2-12=0
49. x2+4y2-8z2-16=0
50. 4x2-y2=9

 


Тема 4 “Обчислення похідних”

Зміст питання

Обчислення похідних, застосування правил обчислення похідної неявної функції та функції заданої у параметричному вигляді.

1. Знайдемо похідну функції y = uv. Логарифмуючи, отримаємо:

lny = vlnu

2. Нехай:

Розв’язування типового варіанта

 

Приклад 4.1 Знайти похідну функції .

 

За отриманою раніше формулою отримаємо:

Похідні цих функцій:

Остаточно:

Приклад 4.2 Знайти похідну функції заданої параметрично:

Тому

Приклад 4.3.Знайти похідну функції заданої в неявному вигляді

Знайдемо похідну лівої та правої частини (похідна правої частини, дорівнює 0). Маємо:

Доданки, які містять , залишимо ліворуч, а інші перенесемо праворуч:

Звідки

 

Варіанти завдань до теми 4 «Обчислення похідних»

Задача № 6. Знайти похідні даних функцій:

51. a) ; b) ; c) .   52. a) ; b) ; c) .  
53. a) ; b) ; c) .     54. a) ; b) ; c) .
55. a) ; b) ; c) . 56. a) ; b) ; c) .
57. a) ; b) ; c) . 58. a) ; b) ; c) .  
59. a) ; b) ; c) .   60. a) ; b) ; c) .

Тема 5 «Похідна за напрямом. Градієнт»

 

Розв’язування типового варіанта

Приклад 5.1 Обчислити похідну функції z = x2 + y2x у точці А(1, 2) за напрямом вектора . В (3, 0).

Розв'язання

.Насамперед необхідно визначити координати вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 .

Далі визначаємо модуль цього вектора:

=

Знаходимо частинні похідні функції z у загальному виді:

Значення цих величин у точці А :

Для знаходження направляючих косинусів вектора робимо наступні перетворення:

=

За величину приймається довільний вектор, спрямований уздовж заданого вектора, тобто визначаємо напрям диференціювання.

Звідси одержуємо значення направляючих косинусів вектора :

cosa = ; cosb = -

Остаточно одержуємо: - значення похідної заданої функції за напрямом вектора .

Приклад 5.2 Знайдемо градієнт функції для прикладу 1.

Визначення: Якщо в деякій області D задана функція u = u(x, y, z) і деякий вектор, проекції якого на координатні вісі дорівнюють значенням частинних похідних функції u у відповідній точці А

,

то цей вектор називається градієнтом функції u в т. А.

При цьому говорять, що в області D задане поле градієнтів.

Виходячи з визначення:

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти