ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Розв’язання диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів

 

За допомогою степеневих рядів можливо інтегрувати диференціальні рівняння.

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння виду:

 

. (4.4)

 

Якщо всі коефіцієнти й права частина цього рівняння розкладаються в збіжні в деякому інтервалі степеневі ряди, то існує розв’язок цього рівняння в деякому малому околі нульової точки, що задовольняє початковим умовам.

Цей розв’язок можна представити степеневим рядом:

 

 

Для знаходження розв’язку залишається визначити невідомі постійні ci.

Ця задача вирішується методом порівняння невизначених коефіцієнтів. Записаний вираз для шуканої функції підставляємо у вихідне диференціальне рівняння, виконуючи при цьому всі необхідні дії зі степеневими рядами (диференціювання, додавання, віднімання, множення й ін.)

Потім прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х у лівій і правій частинах рівняння. У результаті з врахуванням початкових умов одержимо систему рівнянь, з якої послідовно визначаємо коефіцієнти ci.

Відзначимо, що цей метод застосовується й до нелінійних диференціальних рівнянь.

Приклад 8.1Знайти розв’язок рівняння з початковими умовами , .

Розв’язання:

Розв’язок рівняння будемо шукати у вигляді:

Підставляємо отримані вирази у вихідне рівняння:

Звідси одержуємо:

………………

Одержуємо, підставивши початкові умови у вираз для шуканої функції і її першої похідної:

Остаточно:

Разом:

Існує й інший метод розв’язання диференціальних рівнянь за допомогою рядів. Він називається методом послідовного диференціювання.

Розглянемо той же приклад. Розв’язок диференціального рівняння шукатимемо у вигляді розкладання невідомої функції в ряд Маклорена. (Якщо ,то використовуємо ряд Тейлора):

Якщо задані початкові умови , підставити в дане диференціальне рівняння, то отримаємо

Далі запишемо диференціальне рівняння у вигляді та будемо поступово диференціювати його по х.

Після підстановки отриманих значень:

 

Застосування степеневих рядів для обчислення визначених інтегралів

Приклад 8.2Обчислити з точністю до 0,001.

Розв’язання:

Замінивши у підінтегральному виразі його розкладом у степеневий ряд, отримаємо:

.

 

Варіанти завдань до теми 8 «Застосування степеневих рядів»

 

Задача 10. Представити інтеграли у вигляді рядів і обчислити їх з точністю а:

91. 92.

93. 94.

95. 96.

97. 98.

99. 100.

Задача 11Знайти перших п’ять членів розкладу в ряди розв’язків диференціальних рівнянь, що задовольняють початковим умовам:

101. .

102. .

103. .

104. .

105. .

106. .

107. .

108.

109. .

110. .


Таблиця вибору варіанту

Номер варіанту за списком

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти