ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Міністерство аграрної політики України

Міністерство аграрної політики України

ЖИТОМИРСЬКИЙ АГРОТЕХНІЧНИЙ КОЛЕДЖ

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ РОЗРАХУНКОВИХ ЗАВДАНЬ

З «ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ»

 

 

Номінація: навчально-методичний матеріал для забезпечення самостійної роботи студентів з дисципліни «Теорія ймовірності та математична статистика»

 


 

Автор: Можаровський Сергій Володимирович, викладач Житомирського агротехнічного коледжу, спеціаліст II категорії.

 

Рецензенти: М.Г.Шумко (викладач ЖДУ ім.І.Я.Франко),

Т.І. Бондарчук (викладач ЖАТК, спеціаліст вищої категорії), М.М.Кухарець (пошукач ДАУ),

С.В.Чирчик (кандидат фізико-математичних наук).

 

Анотація:

 

 


ЗМІСТ

 

1. Навчальна програма з теорії ймовірності 4

 

1.1. Основні поняття та формули теорії ймовірності . . . . . . . . . . . 4

1.2. Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі . . . . . . . . 4

1.3. Випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.4. Числові характеристики випадкових величин та їх властивості . . .4

1.5. Закони великих чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1.6. Випадкові процеси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

 

2. Вказівки до самостійного виконання контрольних завдань з

теорії ймовірності 5

 

2.1. Короткі рекомендації, щодо оформлення розв’язку задачі . . . . . 5

2.2. Приклад розв’язку задачі з теорії ймовірності . . . . . . . . . . . . 6

 

3. Основні означення, закони, формули і приклади розв’язків задач з

теорії ймовірності 7

 

3.1. Події, класифікація та операції над ними . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2. Елементи комбінаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3. Поняття ймовірності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4. Залежні та незалежні події . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.5. Формули повної ймовірності та Байєса . . . . . . . . . . . . . . . .13

3.6. Формула Бернуллі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7. Наближені формули обчислення ймовірностей . . . . . . . . . . . 15

3.8. Дискретні випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.9. Неперервні випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

3.10. Операції над випадковими величинами . . . . . . . . . . . . . . .25

3.11. Числові характеристики випадкових величин . . . . . . . . . . . 26

3.12. Двовимірні випадкові величини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.13. Нерівність Чебишева, теорема Чебишева та Бернуллі . . . . . . .34

3.14. Випадкові процеси. Марковські процеси . . . . . . . . . . . . . .37

 

4. Таблиця варіантів та контрольні завдання . . . . . . . . . . . . . . . . 43

 

5. Додатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

 

6. Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

 


Навчальна програма з теорії ймовірності

 

Основні поняття та формули теорії ймовірності

 

Поняття «випробування» та «подія». Класифікація подій.

Геометрична інтерпретація подій за допомогою діаграм Венна.

Операції над подіями.

 

Перестановки. Розміщення. Комбінації.

 

Класичне означення ймовірності. Геометрична ймовірність.

Відносна частота та статистичне означення ймовірності.

 

Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність. Ймовірність появи події

принаймні один раз при nнезалежних випробуваннях.

 

Обчислення ймовірностей настання складних подій.

Формули повної ймовірності. Формула Байєса.

 

Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі

 

Формула Бернуллі. Найбільш ймовірне число настання подій.

 

Наближені формули обчислення ймовірностей. Формула Пуассона.

Локальна та інтегральна формули Мавра-Лапласа.

Формула обчислення ймовірності відхилення відносної частоти від заданої ймовірності в незалежних випробуваннях.

 

Випадкові величини

 

Класифікація випадкових величин. Закони розподілу дискретних випадкових величин. Приклади дискретних випадкових величин. Біноміальний закон. Закон Пуассона. Гіпергеометричний закон.

 

Функції розподілу неперервних випадкових величин та їх властивості.

Інтегральна функція розподілу. Емпірична функція розподілу.

Диференціальна функція розподілу.

 

Приклади неперервних випадкових величин. Рівномірний розподіл.

Показниковий розподіл. Нормальний розподіл. Операції над випадковими величинами. Геометричне зображення випадкових величин.

 

 


Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

 

Математичне сподівання. Моменти та інші числові характеристики випадкових величин. Дисперсія. Стандартне середнє квадратичне відхилення. Нормальний закон розподілу та його характеристики. Використання випадкових величин при обчисленні характеристик ризику.

 

Двовимірні випадкові величини. Числові характеристики двовимірних випадкових величин. Коефіцієнти варіації та кореляції. Функції розподілу двовимірних випадкових величин.

 

Закони великих чисел

 

Нерівність Чебишева. Теорема Чебишева. Теорема Бернуллі.

Теорема Ляпунова.

 

Випадкові процеси

 

Випадкові процеси. Марковські процеси. Рівняння Колмогорова.

 

 

Вказівки до самостійного виконання контрольних завдань з

Теорії ймовірності

 

2.1. Короткі рекомендації, щодо оформлення розв’язку задачі

 

Кожна задача повинна бути оформлена акуратно і включати всі необхідні пояснення, що демонструють глибину розуміння студентом відповідного розділу теорії ймовірності.

При розв’язку задачі слід дотримуватись такого плану:

 

1. Розв’язок кожної задачі слід розпочинати з нової сторінки. Для зауважень викладача після розв’язку задачі необхідно залишити вільну сторінку.

 

2. Умови задач вносяться в текст контрольної роботи без скорочень.

 

3. У тексті контрольної роботи, у випадках необхідності, приводяться пояснюючі рисунки та діаграми.

 

4. Для розв’язку задачі виписуються основні формули теорії ймовірності, пояснюються всі символи, що ходять у формулу.

 

5. На початку розв’язку чітко позначити події та гіпотези, якщо це потрібно.

 


6. Значення обчисленої ймовірності округлювати до 0,0001. При необхідності точність можна і збільшувати.

 

7. Зробити оцінку, де це можливо, правильності отриманого результату. Наприклад, ймовірність не може бути більшою одиниці.

 

8. У кінці кожної задачі потрібно написати Відповідь. Привести символьне та розраховане числове значення.

 

Основні означення, закони, формули і приклади розв’язків задач з

Теорії ймовірності

 

Елементи комбінаторики

 

Перестановкою з n різних елементів називається об'єкт, який

складається з n цих елементів, і відрізняється від інших місцем розташування.

Кількість перестановок позначають символом Рn і розраховують за формулою: Рn =n!. (1)

 

Розміщенням з n елементів по к називають об'єкт, що складається з к елементів, вибраних з n і розташованих у певному порядку.

Два розміщення, що складаються з однакових елементів, але відрізняються місцем їх розташування, вважаються різними.

Число розміщень з n елементів по k будемо позначати символом A .

Має місце формула для підрахунку числа розміщень:

A = n(n-1)...[(n- k+1)], (2)

 

Комбінацією з n елементів по k будемо називати такі розміщення з n елементів по k, які відрізняються хоча б одним елементом.

Зауважимо, що комбінації, які відрізняються лише місцем

розташування елементів, вважаються однаковими: {1; 2} і {2; 1}.

Позначимо число комбінацій з n елементів по k символом С .

Для обчислення числа комбінацій використовується формула

 

С = або С = . (3)

Число комбінацій позначають також символом Ньютона:

(читають «число комбінацій з n по k).

Приклад 2.

Скількома способами можна посадити за одним столом 5 студентів?

 


Наслідок 1. Якщо події А і В протилежні, то

р(В) = 1 - р(А), або р( ) = 1 - р(А). (5)

 

Наслідок 2. Якщо події Е1 і Е2 є несумісними, то

р(Е1 Е2) = р(Е1) + р(Е2). (6)

Формула (6) може бути узагальнена на довільне число взаємовиключаючих одна одну подій Е1, ... , Еk.

р(Е1 Е2 Еk) = р(Е1) + р(Е2) + ... + р(Еk). (7)

 

Геометрична ймовірність - ймовірність попадання точки в задану область (відрізок, частину площини, тощо), яка має вигляд:

Р(А)=S(А)/S(U), (8)

де S(U) - площа універсальної множини U , а S(А) - площа підмножини А.

 

Якщо події А і В є сумісними, то справедлива формула

р(А В) = р(А) + р(В) – р(А В). (9)

 

Відносною частотою події називають відношення числа випробовувань, в яких подія з'явилась, до загального числа проведених випробовувань.

Формулою це записується так :

w(А) = m/n, (10)

де m — число випробувань, в яких подія А спостерігалася,

n - загальне число випробовувань,

m також називають частотою появи події А.

 

Статистичною ймовірністю події А будемо називати відносну

частоту появи події А або число, достатньо близьке до неї.

 

Приклад 5. Набираючи номер телефону, абонент забув одну

цифру і набрав її навмання. Знайти ймовірність того, що набрана цифра — правильна.

• Випробування в даній задачі полягає в тому, що ми навмання

набираємо одну цифру з 10. Позначимо через А подію набору

потрібної цифри і використаємо формулу р(А) = m/n.

Множина елементарних подій U складається з подій, що

набрано цифри 0, 1,..., 9. m( ) = 10, m = 1 (потрібна цифра лише одна). Р(А)=0,1.

 

Приклад 6. Президент фірми хоче створити команду дизайнерів

для розробки нової моделі товару у складі трьох інженерів і двох спе-

ціалістів з дослідження ринку. Яка ймовірність, що команда такого

складу буде створена, якщо з групи 10 інженерів і 5 спеціалістів з

проблем ринку вибирати навмання п'ять осіб?

 


• Випробування полягає в тому, що президент вибирає п'ять чоловік. Позначимо через А подію, що навмання відібрана команда з 5 осіб складається з трьох інженерів і двох спеціалістів з проблем ринку.

Шукану ймовірність будемо обчислювати за формулою (4).

У нашому випадку число всіх елементарних подій збігається з числом комбінацій по 5 елементів з 15. n = C = = 3003.

Визначимо число сприятливих подій. Три інженери можна взяти

довільним способом із наявних десяти. Число таких підгруп у групі з

5 чоловік буде збігатися з числом комбінацій з 10 елементів по 3. Останні дві особи повинні бути спеціалістами з ринку. Їх можна взяти С способами.

Вибір інженерів і спеціалістів по ринку здійснюється незалежно:

m = C ∙ С = = 1200.

Шукана ймовірність буде обчислюватись як відношення m/n:

р(А) =

Приклад 7. Задача вибору.

Інвестиційна компанія АBС має k пакетів акцій, серед яких є r пакетів цукрових заводів. Визначити ймовірність того, що серед навмання вибраних m пакетів акції є рівно l пакетів цукрових заводів.

• Оскільки випробування полягає в тому, що ми k пакетів ак-

цій навмання вибираємо m, то це можна зробити С способами.

Сприятлива подія (серед навмання взятих m пакетів акцій є l пакетів

цукрових заводів) може бути реалізована С ∙С способами.

Дійсно, з r пакетів акцій цукрових заводів вибирається рівно l, способів буде С . Інші пакети, а їх буде m - l будуть вибиратися з k- r, тобто їх буде С . Звідси р = С ∙ С : С .

 

Приклад 8. Дана множина U = {0 ≤ х ≤ 1; 0 ≤ у ≤ 1 }. Яка ймовірність, того, що навмання взята точка з координатами (х, у) буде знаходитися в області А, обмеженою кривими у = х2 і у = х ?

• Обчислимо площу фігури А за допомогою означеного інтегралу

 
 


у

 

     
 
 
    х

S(А) = (кв. од), р(А) = 1/6.

 


Залежні та незалежні події.

Дві події А і В будемо називати незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від появи чи непояви іншої.

 

У протилежному випадку вони називатимуться залежними.

 

Умовною ймовірністю рА(В) називають ймовірність події В, обчислену за умови того, що подія А вже наступила.

рА(В) = р(А В)/р(А). (11)

Згідно з (11) отримаємо для ймовірності добутку залежних подій:

р(А В)=р(А)∙рА(В) (12)

або

р(А В)=р(В) ∙рВ(А). (13)

Формула добутку для n залежних подій А1,...,Аn матиме вигляд:

р(А1 ... Аn ) =р(Аn)∙ рAn1 ... Аn-1). (14)

Формула (14) методом математичної індукції може бути розписана на ймовірності окремих подій. Наприклад, для трьох залежних подій

А123: р(А1 А2 А3) = р(Аз) ∙рА32)∙рА2 А31).

Якщо події А і В незалежні, то умовна ймовірність стає «безумовною»:

рВ(А) = р(А).

У випадку коли події А і В незалежні, то формули (12-14) мають

простіший вигляд, а саме: р(А В) = р(А)∙р(В) (15)

або р(А1 ... Аn ) = р(А1)∙...∙р(Аn), (16)

для попарно незалежних подій.

 

Випробування називаються незалежними, якщо їхні наслідки незалежні в сукупності.

Формула для обчислення ймовірності появи принаймні однієї з n незалежних випадкових подій А, має вигляд:

р(С) = 1 – q1q2 … qn. (17)

 

ІІриклад 9. В урні є 3 білі і 3 чорні кульки. 3 неї два рази виймають навмання по одній кульці, не повертаючи їх назад. Знайти імовірність витягування спочатку білої, а потім чорної кульок.

• Позначимо через А подію, що буде витягнута біла кулька, а

В— чорна. Оскільки витягування спочатку білої, а потім чорної

кульок є перетин С = А В, то за формулою (13)

Р(А В) = Р(А)∙РА(В).

За класичним означенням ймовірності Р(А) = 3/6 = 1/2. Після першого випробування в урні залишилось 5 кульок, з них, згідно з

умовою задачі, 2 білі і 3 чорні. Тому за формулою (4) РА(В) = 3/5.

Звідси Р(А В) = 0,5 • (3/5) = 0,3. •

 


Приклад 10.

Ймовірність появи деякої випадкової події у першому випробуванні дорівнює 0,9 у другому — 0,8, у третьому — 0,7. Яка ймовірність того, що при трьох випробуваннях подія з'явиться принаймні один раз?

 

• Позначимо появу події в і-му випробуванні Аі.

За умовою задачі р(А1) = р1 = 0,9; р(А2) = р2 = 0,8; р(Аз) = р3 = 0,7.

Тоді q1 = 0,1; q2 = 0,2; q3 = 0,3. Використаємо формулу (17):

р(С) = 1 - 0,1 • 0,2 • 0,3 = 1 - 0,006 = 0,994. •

 

Формула Бернуллі.

Ймовірність, що протягом n випробувань будемо спостерігати подію А рівно k разів — рn(k) або (А) будемо обчислювати за формулою

рn(k) = ∙pk ∙ qn-k = .∙pk ∙ qn-k= ∙pk ∙ qn-k (20)

Число k для якого ймовірність рn(k) є найбільшою називають

найімовірнішим числом настання подій (найбільшою частотою, модою).

Найімовірніше число настання подій kо задовольняє нерівностям

nр - q < kо ≤ nр + р. (21)

Враховуючи, що число kо є цілим числом обраховуючи праву і ліву частини нерівностей (21) взнаємо яким воно є.

——(——————ч——————)—————

nр - q k0 nр + q

Зазвичай число k0 єдине, проте бувають випадки, коли k приймає два сусідні значення. Це буде у випадку, коли

nр - q + 1 = nр + р. (22)

 

Приклад 13. Митний пост дає статистичну оцінку того, що 20% усіх осіб, що повертаються з-за кордону, не декларує весь товар, на який накладається податок. Якщо випадково відібрати 5 осіб, то яка ймовірність того, що 3 з них не задекларували весь товар?

• Позначимо через А подію, що навмання вибрана особа не задекларувала весь товар, р(А)= 0,2. Задача задовольняє умовам формули Бернуллі:

n = 5, k = 3, р = 0,2:

(А)= ∙0,23∙ (1 - 0,2)2 = ∙0,23 ∙0,82 =10∙0,008∙0,64 = 0,0512. •

 


Приклад 14. Бізнесмен, вивчивши попит ринку на нові спортивні

автомобІлі, вирішив продати пробну партію з дев'яти таких автомобілів. Ймовірність отримати високий прибуток за рахунок кожної

машини оцінена в 0,8 і вважається успіхом, якщо за день їх буде продано не менше семи. Яка ймовірність успіху, якщо протягом дня продаж машин відбувається незалежно?

 

• Продаж кожної автомашини є випробуванням. Позначимо через А подію, що за рахунок продажу автомобіля бізнесменом отримано високий прибуток: р = р(А) = 0,8, тоді q = р( ) = 0,2. Успіхом для бізнесмена буде той випадок, коли число k проданих за день автомобілів буде задовольняти нерівності: 7 ≤ k ≤ 9. Для кожного k ймовірність обчислюємо за формулою Бернуллі 0,302;

0,302; 0,1342;

+ 0,302 +0,302+0,1342= 0,7382. •

 

Приклад 15. Встановлено, що 90% висіяних у ґрунт зерен насіння

огірків проростає. Визначити найімовірніше число зернин, що проростуть, якщо в пакеті 70 зернин.

• Використаємо нерівності (21)

70 - 0,9 - 0,1 < kо < 70 - 0,9 + 0,9 або 62,9 < k0 < 63,9.

Оскільки kо є цілим числом, то на інтервалі (62,9; 63,9) є тільки

таке число — 63. Отже, kо = 63. •

 

Теорема Бернуллі.

Для довільного Р{ при n . (67)

Зміст цього твердження полягає в тому, що введене нами визначення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти.

 

Посилений закон великих чисел.

 

Послідовність випадкових величин { ,n }- збігається з ймовірністю 1 до величини , якщо ймовірність всіх тих точок , для яких не існує,

або , дорівнює нулю, тобто якщо Р{ }.

 

Розглянемо послідовність випадкових величин kз скінченими математичними сподіваннями. Теореми, які стверджують, що різниця збігається з ймовірністю 1 до нуля, називається посиленим законом великих чисел. Нижче приводиться дві теореми про посилений закон великих чисел, обидві вони доведені А.М.Колмогоровим.

 

Теорема 1. Нехай n – послідовність незалежних випадкових величин, для яких М , D визначені. Якщо

, то Р { - )=0}=1. (68)

Наслідок ( теорема Бореля ). Припустимо, що розглядається послідовність незалежних випробувань, в кожному з яких з’являеться успіх У з ймовірністю р або невдача Н з ймовірністью q=1-p. Нехай -число успіхів при n випробуваннях. Тоді Р{ }=1. (69)

Це випливає з того, що = , де k- послідовність незалежних випадкових величин введених при доведенні теореми Бернуллі.

Теорема 2.Нехай -послідовністьнезалежних одинаково розподілених величин з скінченимматематичним сподіванням М =а. Тоді

Р { =а}=1. (70)

 

Центральна гранична теорема.

Теорема. Нехай 1, 2 ,…, n,…- послідовність незалежних випадкових величин з скінченною дисперсією ( і .

Тоді при n для довільного x

(71)

( де = ).

 

Це один з самих видатних результатів теорії ймовірностей: при широких припущеннях відносно суми великої кількості незалежних малих випадкових доданків має місце розподіл, який близький до нормального ( гаусівського).

 

 


Приклад 35. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює . Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події А змінюється в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробовувань.

▪ Знайдемо математичне сподівання та дисперсію дискретної випадкової величини - числа появ події А в100 незалежних випробовуваннях.

; =25.

Знайдемо максимальну різницю між заданим числом появ події та математичним сподіванням М =50: =60 – 50 = 10.

Скористаємося нерівністю Чебишова в формі

.

 

Підставляючи М =50, D =25, =10, одержимо

 

Приклад 36.Дисперсія кожної з 4500 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 5. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0,04.

▪ Так як n=4500 –велике і випадкові величини незалежні, одинаково розподілені та мають скінчену дисперсію, то можна застосувати центральну граничну теорему.

Таким чином,

 

Р{ }=

= , де

 

Таблиця варіантів та контрольні завдання.

Номер варіанту співпадає із номером по списку в журналі.

 

пп Номери задач

 

 


У задачах 1-20 опишіть і де це можливо зобразіть графічно вказані множини (події):

1. В = {b : b — додатне ціле число, менше ніж 9}.

 

2. А = {а : а — від'ємне непарне ціле число, більше -10}.

 

3. С = {с : с— назва місяців року}.

 

4. Μ = {т : т — третя степінь додатного цілого числа, меншого ніж 6}.

 

5. Визначте , якщо U = {1,..., 10} і В = {b : b додатне непарне ціле число, менше ніж 9}.

 

6. Визначте Ρ , якщо U множина студентів вашої академгрупи, а Р — підмножина студентів, які отримали задовільні оцінки за першу атестацію.

 

7. Визначте S, якщо U={x: х - ціле число, не менше ніж 6 і менше 18},а = {8; 9; 11; 14; 17}.

 

8. Визначте Т, якщо U — множина, що складається з усіх додатних цілих чисел, а — множина додатних непарних чисел.

 

9. U={x: х -додатне ціле число, менше 30}, А = {3; 5; 9;17;23; 29},

В = {b: b — додатне непарне ціле число, менше 17}, С= {с: с — додатне непарне ціле число, менше 30}. Визначте підмножини, що можна утворити за допомогою попарного перетину цих множин.

 

10. U= {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18;20;22}; А = {4; 6; 8; 20}, В = {4; 8; 16}. На­рисуйте діаграму Венна і покажіть на ній ці підмножини.

 

11. U= {х: х -від'ємне ціле число більше -13}, А = {а: а — від'ємне непарне ціле число більше -10}, В= {b:b - від'ємне ціле число більше -7}. Нарисуйте діаграму Венна, що показує ці підмножини.

 

12. Задано такі множини: А ={5,-2}; В = {х : (х- 5)∙(х+ 2)=0}; С = {х : х3–3х2–10х =0}; D={0, 5, -2}. а) Які з них є рівними?

б) Визначте усі співвідношення між множинами А, В, С і D.

 

13. Задано такі множини: А = {0; 2;-2}; В={b: b3 – 4b= 0}; С={2; 0;-2};
D = {d: d∙(d – 2)∙(d + 2)=0}. а) Які з них є рівними?

б) Визначте усі співвідношення між множинами А, В, С і D.

 


14. За даними задачі 12 знайдіть:
а) А В; б) A D; в) А ;г) B D.

 

15. Для множин із задачі 10 знайти: A B; U; A ; . Результати дій зобразіть графічно за допомогою діаграм Венна.

 

16. Знайдіть A B, якщо А = {1; 2; 3; 4; 5; 9} і В = {1;3;6;7;9; 10}.

 

17. Дано U = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}, А = {4;8;12;16;20}, В= {2; 4; 6; 8; 22}. Визначте А В, А U, В U,A В.

 

18. Множина U складається з різних всеможливих сум очок при ки­данні пари гральних кубиків, a В = {4,8 і 9}, то визначте .

Якщо універсальна множина U складається з усіх від'ємних чисел,
більших за -15, А - {-11;-10;-9;-8}, В — від'ємні числа, більші
за -20, що діляться націло на 4, С — парні від'ємні числа, більші
за -20, то визначте всі зв'язки підмножин, що можна утворити за
допомогою операцій об'єднання і перетину.

 

19. Задано множини: А={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}, В={1;4;8}, С={8;4;1}. Визначте, чи є серед них рівні. Побудуйте A В, А С, Α В.

 

20. Дано множини А = {-1;-2;-3;-4;-5;-7}, В = {-1;-2;-3;-4;-5; 5; -7;-8; 9}, С = {-2;-4;-6;-8}. Знайдіть A В, А С, Α В, С В, В С.

 

21. Задано множини: А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, В = {1;4;7;8;12;}, С = {8; 4; 1}, U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20}.

Знайдіть , A В, А С, Α В, В, , .

 

22. Задано множини: А = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}, С={6;4;1}, В = {1;7;8;12;15},

U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20}

Знайдіть , A В, А С, Α В, В, , .

 

23. Задано множини: А = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, В = {1;4;7;8}, С = {8; 4; 1}, U = {1;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти