ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Приклад розв’язку задачі з теорії ймовірності

 

Умова задачі.

Схожість насіння певного сорту рослини оцінюється ймовірністю р.

Знайти ймовірність того, що : а) з n1 насінин зійде k1;

б) з n2 насінин зійде k2;

в) з n2 насінин зійде від k2 до k3;

г) відносна частота насінин, які зійдуть, відхилиться по абсолютній величині від її ймовірності на величину, не більше за ε при n2.

р=0,8, g=1-р=0,2, n1=8, n2=100, k1=7, k2=80, k3=90, ε=0,01.

Розв’язування.

а)Так як n1=8 мале число , то ймовірність того, що із 8-ми насінин зійде рівно 7 обчислимо за формулою Бернуллі Рn(k)= ∙рk ∙gn-k , де =

Р7(5)= ∙ 0,87 ∙ 0,21 0,3355.

б)Так як n2=100 велике число, то скористаємось локальною теоремою Лапласа Рn(k)=φ(х) ∕ , де х=(k – n ∙ p ) ∕

х=(80 - 100∙0,8) ∕ ≈ 0.

Значення φ(0)=0,3989 знаходимо із таблиці значень функції

φ(х) =

Тоді Р100(80)=0,3989/ ≈ 0,0997.

в) Для знаходження ймовірності того, що із n2=100 насінин зійде від k2=80 до k3=90 скористаємось інтегральною теоремою Лапласа Рn(k2;k3)=Ф(х′′) – Ф(х′), де Ф(х)= –функція Лапласа,

х′=(k2− n ∙ p)/ , х′′=(k3−n ∙p) / .

х′=(80− 100×0,8)/ ≈ 0,

х′′=(90−100×0,8)/ ≈ 2,5.

 


По таблиці знаходимо Ф(0) = 0; Ф(2,5) = 0,4938.

Тоді Р100(80;90)= 0,4938 − 0 = 0,4938.

г) Ймовірність того, що відносна частота насінин, які зійдуть, відхилиться по абсолютній величині від її ймовірності на величину, не більше за ε=0,01 при n2=100, приблизно дорівнює подвоєній функції Лапласа при х= ε : Р( )≈2Ф(ε ).

Тоді Р( 0,01) = 2Ф(0,01 ) = 2Ф(0,25)=2 ∙ 0,0987= 0,1974.

Значення Ф(0,25)= 0,0987 знайшли по таблиці Ф(х).

Відповідь: а) р ≈ 0,3355; б) р ≈ 0,0997; в) р = 0,4938; г) р = 0,1974.

 

Основні означення, закони, формули і приклади розв’язків задач з

Теорії ймовірності

 

Події, класифікація та операції над ними.

 

Під випробуванням будемо розуміти здійснення певного комплексу умов, які можна відновити довільне число разів.

Подія – наслідок випробування.

Усі події можна поділити на вірогідні, неможливі та випадкові.

Вірогідною будемо називати подію, яка завжди настає в результаті кожного випробування, неможливою – яка ніколи не відбудеться.

Випадкова подія – та, яка в одних випробуваннях здійснюється, в інших – ні.

Під множиною будемо розуміти групу предметів (елементів).

Дві множини А і В будемо називати рівними (однаковими), якщо вони складаються з одних і тих же елементів.

Під об’єднанням (сумою) множин А і В(позначаютьА Вабо А+В) будемо розуміти сукупність усіх елементів, що належать принаймні одній з множин (або А, або В, або обом множинам одночасно).

А

 

В

Під перетином (добутком) множин А і В(позначаютьА Вабо А В) будемо розуміти множину С, що складається зі спільних елементів обох множин.


А В В

           
 
   
   
Під об’єднанням (сумою) множин А і В(позначаютьА Вабо А+В) будемо розуміти сукупність усіх елементів, що належать принаймні одній з множин (або А, або В, або обом множинам одночасно).  
 

 


 


Приклад 1. Виконати операції об’єднання і перетину числових множин: А = {1,3,5,7,9}; В = {1,2,3,4,5}; С = {2,4,6,8,10}.

Розв’язування.

а) А В = {1,2,3,4,5,7,9};

б) А С = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};

в) А В = {1,3,5};

г) А С = { Ø }.

Відповідь: а) А В = {1,2,3,4,5,7,9}; б) А С = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};

в) А В = {1,3,5}; г) А С = { Ø }.


Елементи комбінаторики

 

Перестановкою з n різних елементів називається об'єкт, який

складається з n цих елементів, і відрізняється від інших місцем розташування.

Кількість перестановок позначають символом Рn і розраховують за формулою: Рn =n!. (1)

 

Розміщенням з n елементів по к називають об'єкт, що складається з к елементів, вибраних з n і розташованих у певному порядку.

Два розміщення, що складаються з однакових елементів, але відрізняються місцем їх розташування, вважаються різними.

Число розміщень з n елементів по k будемо позначати символом A .

Має місце формула для підрахунку числа розміщень:

A = n(n-1)...[(n- k+1)], (2)

 

Комбінацією з n елементів по k будемо називати такі розміщення з n елементів по k, які відрізняються хоча б одним елементом.

Зауважимо, що комбінації, які відрізняються лише місцем

розташування елементів, вважаються однаковими: {1; 2} і {2; 1}.

Позначимо число комбінацій з n елементів по k символом С .

Для обчислення числа комбінацій використовується формула

 

С = або С = . (3)

Число комбінацій позначають також символом Ньютона:

(читають «число комбінацій з n по k).

Приклад 2.

Скількома способами можна посадити за одним столом 5 студентів?

 


Наслідок 1. Якщо події А і В протилежні, то

р(В) = 1 - р(А), або р( ) = 1 - р(А). (5)

 

Наслідок 2. Якщо події Е1 і Е2 є несумісними, то

р(Е1 Е2) = р(Е1) + р(Е2). (6)

Формула (6) може бути узагальнена на довільне число взаємовиключаючих одна одну подій Е1, ... , Еk.

р(Е1 Е2 Еk) = р(Е1) + р(Е2) + ... + р(Еk). (7)

 

Геометрична ймовірність - ймовірність попадання точки в задану область (відрізок, частину площини, тощо), яка має вигляд:

Р(А)=S(А)/S(U), (8)

де S(U) - площа універсальної множини U , а S(А) - площа підмножини А.

 

Якщо події А і В є сумісними, то справедлива формула

р(А В) = р(А) + р(В) – р(А В). (9)

 

Відносною частотою події називають відношення числа випробовувань, в яких подія з'явилась, до загального числа проведених випробовувань.

Формулою це записується так :

w(А) = m/n, (10)

де m — число випробувань, в яких подія А спостерігалася,

n - загальне число випробовувань,

m також називають частотою появи події А.

 

Статистичною ймовірністю події А будемо називати відносну

частоту появи події А або число, достатньо близьке до неї.

 

Приклад 5. Набираючи номер телефону, абонент забув одну

цифру і набрав її навмання. Знайти ймовірність того, що набрана цифра — правильна.

• Випробування в даній задачі полягає в тому, що ми навмання

набираємо одну цифру з 10. Позначимо через А подію набору

потрібної цифри і використаємо формулу р(А) = m/n.

Множина елементарних подій U складається з подій, що

набрано цифри 0, 1,..., 9. m( ) = 10, m = 1 (потрібна цифра лише одна). Р(А)=0,1.

 

Приклад 6. Президент фірми хоче створити команду дизайнерів

для розробки нової моделі товару у складі трьох інженерів і двох спе-

ціалістів з дослідження ринку. Яка ймовірність, що команда такого

складу буде створена, якщо з групи 10 інженерів і 5 спеціалістів з

проблем ринку вибирати навмання п'ять осіб?

 


• Випробування полягає в тому, що президент вибирає п'ять чоловік. Позначимо через А подію, що навмання відібрана команда з 5 осіб складається з трьох інженерів і двох спеціалістів з проблем ринку.

Шукану ймовірність будемо обчислювати за формулою (4).

У нашому випадку число всіх елементарних подій збігається з числом комбінацій по 5 елементів з 15. n = C = = 3003.

Визначимо число сприятливих подій. Три інженери можна взяти

довільним способом із наявних десяти. Число таких підгруп у групі з

5 чоловік буде збігатися з числом комбінацій з 10 елементів по 3. Останні дві особи повинні бути спеціалістами з ринку. Їх можна взяти С способами.

Вибір інженерів і спеціалістів по ринку здійснюється незалежно:

m = C ∙ С = = 1200.

Шукана ймовірність буде обчислюватись як відношення m/n:

р(А) =

Приклад 7. Задача вибору.

Інвестиційна компанія АBС має k пакетів акцій, серед яких є r пакетів цукрових заводів. Визначити ймовірність того, що серед навмання вибраних m пакетів акції є рівно l пакетів цукрових заводів.

• Оскільки випробування полягає в тому, що ми k пакетів ак-

цій навмання вибираємо m, то це можна зробити С способами.

Сприятлива подія (серед навмання взятих m пакетів акцій є l пакетів

цукрових заводів) може бути реалізована С ∙С способами.

Дійсно, з r пакетів акцій цукрових заводів вибирається рівно l, способів буде С . Інші пакети, а їх буде m - l будуть вибиратися з k- r, тобто їх буде С . Звідси р = С ∙ С : С .

 

Приклад 8. Дана множина U = {0 ≤ х ≤ 1; 0 ≤ у ≤ 1 }. Яка ймовірність, того, що навмання взята точка з координатами (х, у) буде знаходитися в області А, обмеженою кривими у = х2 і у = х ?

• Обчислимо площу фігури А за допомогою означеного інтегралу

 
 


у

 

     
 
 
    х

S(А) = (кв. од), р(А) = 1/6.

 


Залежні та незалежні події.

Дві події А і В будемо називати незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від появи чи непояви іншої.

 

У протилежному випадку вони називатимуться залежними.

 

Умовною ймовірністю рА(В) називають ймовірність події В, обчислену за умови того, що подія А вже наступила.

рА(В) = р(А В)/р(А). (11)

Згідно з (11) отримаємо для ймовірності добутку залежних подій:

р(А В)=р(А)∙рА(В) (12)

або

р(А В)=р(В) ∙рВ(А). (13)

Формула добутку для n залежних подій А1,...,Аn матиме вигляд:

р(А1 ... Аn ) =р(Аn)∙ рAn1 ... Аn-1). (14)

Формула (14) методом математичної індукції може бути розписана на ймовірності окремих подій. Наприклад, для трьох залежних подій

А123: р(А1 А2 А3) = р(Аз) ∙рА32)∙рА2 А31).

Якщо події А і В незалежні, то умовна ймовірність стає «безумовною»:

рВ(А) = р(А).

У випадку коли події А і В незалежні, то формули (12-14) мають

простіший вигляд, а саме: р(А В) = р(А)∙р(В) (15)

або р(А1 ... Аn ) = р(А1)∙...∙р(Аn), (16)

для попарно незалежних подій.

 

Випробування називаються незалежними, якщо їхні наслідки незалежні в сукупності.

Формула для обчислення ймовірності появи принаймні однієї з n незалежних випадкових подій А, має вигляд:

р(С) = 1 – q1q2 … qn. (17)

 

ІІриклад 9. В урні є 3 білі і 3 чорні кульки. 3 неї два рази виймають навмання по одній кульці, не повертаючи їх назад. Знайти імовірність витягування спочатку білої, а потім чорної кульок.

• Позначимо через А подію, що буде витягнута біла кулька, а

В— чорна. Оскільки витягування спочатку білої, а потім чорної

кульок є перетин С = А В, то за формулою (13)

Р(А В) = Р(А)∙РА(В).

За класичним означенням ймовірності Р(А) = 3/6 = 1/2. Після першого випробування в урні залишилось 5 кульок, з них, згідно з

умовою задачі, 2 білі і 3 чорні. Тому за формулою (4) РА(В) = 3/5.

Звідси Р(А В) = 0,5 • (3/5) = 0,3. •

 


Приклад 10.

Ймовірність появи деякої випадкової події у першому випробуванні дорівнює 0,9 у другому — 0,8, у третьому — 0,7. Яка ймовірність того, що при трьох випробуваннях подія з'явиться принаймні один раз?

 

• Позначимо появу події в і-му випробуванні Аі.

За умовою задачі р(А1) = р1 = 0,9; р(А2) = р2 = 0,8; р(Аз) = р3 = 0,7.

Тоді q1 = 0,1; q2 = 0,2; q3 = 0,3. Використаємо формулу (17):

р(С) = 1 - 0,1 • 0,2 • 0,3 = 1 - 0,006 = 0,994. •

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти