ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Наближені формули обчислення ймовірностей.

 

При великих n і k обчислювати ймовірності Рn(k) за формулою (20) важко через громіздкість обчислень. З іншого боку при великих n з достатньою точністю формулу (20) можна замінити наближеними, а саме:

формулою Пуассона, локальною та інтегральною формулами Муавра-Лапласа.

Формула Пуассона.

Якщо n і р так, що , 0< < , то , (23)

для довільного k .

Отже, при малих р (починаючи з р < 0,1) точну формулу (20) можна замінити наближеною формулою Пуассона: ,

Зауважимо, що формулу Пуассона можна використовувати і при великих значеннях р, використавши малу ймовірність q події .

 


Зауваження 1.

У деяких посібниках є таблиці, в яких значення ймовірностей (23) обчислені і записані у вигляді таблиць у залежності від k і .

 

Локальна формула Муавра-Лапласа

Pn(k) = , x = , . (24)

Є таблиці, в яких подані значення функції при невід'ємних значеннях аргументу х в межах від 0 до 4. Якщо х>4, то вважають, що = 0.

Функція є парною, тому (-х)= (х).

Функцію (х) називають функцією Гаусса, і вона є частковим випадком нормальної кривої, коли її максимум знаходиться в точці х = 0.

 

Нерідко потрібно обчислити ймовірності того, що подія А з’явиться від k1 до k2 разів. Тоді потрібно обчислити ймовірності Рn(k) для k1kk2 просумувати їх, тобто

Рn(k1kk2) = . (25)

Якщо nвелике, то ймовірності Рn(k) будуть розраховуватись за наближеними формулами. Для наведених n можна використати рекурентне співвідношення, що зв'язує дві послідовні ймовірності

Рn(k+1) = Рn(k)∙ , (26)

Для обчислення ймовірності того, що подія А появиться від k1 до k2 разів використовують наближену інтегральну формулу Муавра-Лапласа

Рn(k1kk2) = Ф(х2) - Ф(х1), xї = , (і=1,2) (27)

Де функція Ф(х) = є протабульована.

У силу властивостей означеного інтегралу функція Ф(х) (її називають інколи великою функцією Лапласа) є непарною.

Формула (27) дає добре наближення, коли n достатньо велике, а npq > 20.

За допомогою інтегральної формули Муавра-Лапласа можна обчислити наскільки близькими по ймовірності є відносна частота m/n появи події А і ймовірність р в n незалежних випробуваннях, тобто ймовірність події

< .

Справедлива формула P < = 2Ф (28)

 

 


На практиці часто виникає обернена задача до задачі, розглянутої вище, а саме: скільки потрібно провести випробувань, щоб відносна частота m/n відрізнялася від ймовірності р не більше ніж на із заданою наперед ймовірністю р: n = x2pq/ (29)

Вибираємо за n найменше ціле число, більше за вираз x2pq/ .

Приклад 16.

У таблиці випадкових чисел цифри згруповані по дві (від 00 до 99). Обчислити ймовірність того, що серед 100 довільно вибраних пар пара 00 зустрінеться не більше двох раз.

 

• Позначимо через А подію, що трапляється пара цифр 00, тоді

р = Р(А) = = 0,01.

Оскільки ймовірність р досить мала, а = 100∙0,01 = 1, то

використаемо формулу Пуассона.

Для того, щоб обчислити ймовірність появи події «не більше двох раз», потрібно обчислити Р100(k) при k = 0, 1, 2.

P100(0) = , P100(1) = , P100(2) =

Звідси Р100(k ) = + + = ≈ 0,9259 .

 

Приклад 17. Знайти ймовірність, що подія А наступить 10 разів у 100 незалежних випробуваннях, якщо подія А появляється в кожному

випробуванні з ймовірністю 0,2.

• Використаємо локальну формулу Муавра-Лапласа.

x = = = - = -2,5.

За таблицею функції Гаусса (-2,5) = (2,5) = 0,0175.

Звідси Р100(10) = = 0,0044.

 

Приклад 18. За допомогою статистичних даних підраховано, що ймовірність захворіти грипом під час епідемії для кожної людини дорівнює 0,2. Яка ймовірність того, що з 400 перевірених осіб хворими виявляться:

а) рівно 80 осіб?

б) від 70 до 100 осіб?

 

• а) За умовою задачі ми маємо n = 400, k=80, p = 0,2, q = 0,8.

Оскільки n число велике, то використаємо наближену локальну формулу Муавра-Лапласа

 

 


Рn(k) = ; Р400(80) = = Обчислимо значення аргументу х: х = За таблицями знаходимо, що (0)=0,3989. Шукана ймовірність тоді Р400(80) = 0,3989/8 = 0,04797.

 

б). Використаємо наближену інтегральну формулу Муавра-Лапласа

Р4оо(70 ≤ k ≤ 100) = Ф(х2) - Ф(х1).

х2 = х1 =

За таблицями функції Ф(х) - Ф(2,5) = 0,4938, а Ф(-1,25) = -0,3944. Остаточно Р4оо(70 ≤ k ≤ 100) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.•

Приклад 19. Менеджер встановив, що ймовірність бути нереалізованою для кожної одиниці продукції, що швидко псується, дорівнює 0,1. Скільки потрібно реалізувати одиниць продукції, щоб з ймовірністю 0,9544 можна було стверджувати, що відносна частота одиниці нереалізованої продукції відхилиться від постійної ймовірності р за абсолютною величиною не більше ніж на =0,03.

• За умовою задачі р = 0,1, q = 0,9, = 0,03, P = 0,9544.

Потрібно обчислити n. Використаємо формулу (28), тоді за умовою задачі

=2Ф = 0,9544 .

За таблицями значень функції Ф(x) = 0,4772 знаходимо х=2, тобто 0,1 =2. Розв'язавши останнє рівняння відносно n, одержимо n = 400. Отже, за умовами задачі для заданого відхилення відносної частоти від теоретичної ймовірності р необхідно реалізувати не менше ніж 400 одиниць продукції, що швидко псується.

Даному результату можна дати таке ймовірнісне тлумачення:

якщо буде реалізовано достатньо велику кількість партій продукції в

кількостях, не менших за 400 одиниць, то в 95,44% цих партій відносна частота появи одиниці нереалізованої буде відхилятися від теоретичної ймовірності р=0,1, за абсолютною величиною не більше ніж на

0,03 в межах від 0,1-0,03 = 0,07 до 0,1 + 0,03 = 0,13. Іншими словами, число одиниць нереалізованої продукції в 95,44% партій буде знаходитися між 28 (7% від 400) і 52 (13% від 400).

Якщо взяти лише одну партію із 400 одиниць продукції, то з великою долею впевненості можна очікувати, що в ній число одиниць нереалізованої продукції буде не менше за 28 і не більше за 52. Мало ймовірно, що число одиниць нереалізованої продукції виявиться меншим 28 чи більшим 52. •

 


3.8. Дискретні випадкові величини.

 

Випадковою будемо називати величину, яка в результаті випробування приймає певні випадкові значення.

Будемо позначати випадкові величини великими буквами X, У,Z, і т.д., а їхні можливі значення відповідно малими; х, у, z .

Випадкові величини можна поділити на дискретні і неперервні,

залежно від значень, які вони можуть набувати.

Дискретною називають випадкову величину, яка може приймати зчисленну скінченну чи нескінченну множину значень з певними ймовірностями.

Таблиці значень випадкової величини і відповідних їм ймовірностей називають табличним розподілом.

Біноміальним називають закон розподілу випадкової величини Х, заданий таблицею, у якій ймовірності рі розраховуються за формулою Бернуллі.

Х n-1 n
Р qn pqn-1 p2qn-2 pn-1q pn

Постійні n і р, за допомогою яких проводяться розрахунки в таблиці, називають параметрами біноміального розподілу.

Якщо р є мале число, а n , то замість формули Бернуллі потрібно використати формулу Пуассона. Відповідний дискретний

розподіл називають розподілом Пуассона.

 

Приклад 20. Розглянемо приклад 13. Позначимо через Х кількість осіб, що декларують не весь товар, привезений із-за кордону.

За даними задачі біноміальний розподіл має такий вигляд:

Х
Р 0,32768 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,00032

 

Приклад 21. Завод відправив споживачу 5000 стандартних виробів. Ймовірність пошкодження виробу в дорозі оцінюється як 0,0002.

Записати закон розподілу чотирьох пошкоджених у дорозі виробів.

 

• За формулою Пуассона обчислимо ймовірності для k = 0,1, 2, 3, 4. Використаємо для цього відповідні таблиці (додатки) при

=5000∙0,0002= 1.

= 0,36788; = 0,36788; = 0,18394; = 0,06131; =0,01533.

Остаточно шуканий розподіл чотирьох пошкоджених у дорозі виробів має такий вигляд :

Х
Р 0,36788 0,36788 0,18394 0,06131 0,01533

 



© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти