ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Неперервні випадкові величини.

 

Неперервною називають випадкову величину, яка приймає всі

значення з деякого скінченного чи нескінченного проміжку.

Задають неперервні випадкові величини аналітичне за допомогою функцій розподілу: інтегральної та диференціальної. Можна задавати також неперервні випадкові величини графічно.

Ймовірність події, яка полягає в тому, що Х прийме значення менше х, тобто Р(Х<х), будемо називати інтегральною функцією розподілу.

Позначають інтегральну функцію символом F(х).

Отже, згідно з означенням, інтегральна функція розподілу задається формулою:

F(х) = Р(Х<х). (31)

Інтегральна функція володіє такими властивостями:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Р(х) — неспадна функція.

З властивості 2 маємо важливий

Наслідок 1. Ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (а, b)обчислюється за формулою

Р{а < Х < b} = F(b) - F(а). (32)

 

Диференціальною функцією розподілу називають першу похідну від

інтегральної функції розподілу.

Позначають диференціальну функцію розподілу так f(x):

Звідси у вигляді формули її записують так:

f(x) = F`(x)(33)

 

У літературі замість терміна диференціальна функція розподілу

вживають також терміни щільність або густина розподілу.

За означенням функції f(x) ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (а,b) обчислюється за формулою

р(а<Х<b) = . (34)

Користуючись геометричним тлумаченням означеного інтегралу, формулі (34) можна дати таку інтерпретацію: ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме значення з інтервалу (а,b) рівна площі криволінійної трапеції, обмеженої віссю абсцис, ординатами х = а і х = b та функцією f(x).

 

Приклад 22. Випадкова величина Х задана функцією розподілу

0, якщо х < 0

F(x) = х3 якщо 0 < х <1;

1, якщо х > 1.

 


Знайти ймовірність, що в результаті випробування Х прийме

значення з інтервалу (-4; 0,5), та побудувати графік функції F(х}.

 

• Використаємо формулу (32). Точка 0,5 належить інтервалу

Звідси Р{-4 < Х < 0,5} = F(0,5) - F(-4) = 0,125 - 0 = 0,125.

Для побудови графіка функції F(х) скористаємося тим фактом;

що на трьох інтервалах вона задана по різному. На півосі (- , 0) графік нашої кривої співпадає з віссю абсцис. На інтервалі (0;1) графіком

є частина кривої у = х3, а на— (1, ) — пряма паралельна осі абсцис

F=1. Остаточно графік інтегральної функції розподілу зображений на рис.

 
 


F(x)

 

     
 
 
  1 x  

Зауважимо при цьому, що крива F(х) є неперервною в усіх точках числової осі (- ;+ ).

 

Диференціальна функція f(х) аналогічно з інтегральною F(х) має дві основні властивості.

Властивість 1. Диференціальна функція —невід'ємна. f(х)>=0.

Властивість 2. Невласний інтеграл від диференціальної функції по всій числовій осі дорівнює одиниці:

(35)

Геометричне друга властивість для функції f(х) означає, що вся площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю абсцис та кривою розподілу, дорівнює одиниці.

У частинному випадку, коли можливі значення випадкової величини належать інтервалу (а,b), то

(36)

 

Ми визначили диференціальну функцію розподілу f(x) за допомогою інтегральної — F(х). Обернена задача також вирішується однозначно, а саме, якщо подію {Х<х} переписати в вигляді {- } і використати формулу (34), то

F(x) = (37)

 

Другу властивість диференціальної функції розподілу f(x) часто

використовують для того, щоб задати випадкову величину.

 


Розглянемо приклади неперервних випадкових величин, що

найчастіше використовуються у дослідженнях: рівномірний, показниковий та нормальний розподіли.

 

Приклад 23. Нехай випадкова величина має постійну щільність розподілу і задається так:

0, якщо x < a,

f(x) = C, якщо a ≤ x ≤ b,

1, якщо x > b.

 

Bизначити постійну С.

■Використаємо властивість 2 щільності розподілу і той факт, що можливі значення випадкової величини зосереджені на інтервалі (а,в). Тоді

і С = .

Отже, випадкова величина, що має постійну щільність розподілу

задається так:

 

0, якщо x < a,

f(x) = 1/(b-a), якщо a ≤ x ≤ b, (38)

0, якщо x > b.

 

Випадкова величина, що має постійну щільність розподілу, називається рівномірно розподіленою.

 

Графік щільності розподілу (38) для рівномірно розподіленої випадкової величини має такий вигляд:

 

 
 


f(x)

 

           
 
1/(b-a)  
 
     
 
a b   x
 
   

 

Ітегральну функцію розподілу для рівномірно розподіленої випадкової величини обчислимо за формулою (37).

0, якщо x < a,

F(х)= , якщо a ≤ x ≤ b, (39)

1, якщо x > b.

 


Функція (39) на графіку зображається такою кривою:

 
 


F(x)

 

         
 
 
 
a b x
 

 

 

З рисунку 12 бачимо, що крива інтегральної функції рівномірного розподілу є неперервною і складається з трьох частин: двох напівпрямих F=0 для i F=1 для х та відрізка прямої лінії

F= (х-а)/( b-а} на інтервалі (а,b). Зауважимо, що інтегральна функція

розподілу є неперервною для всіх неперервних випадкових величин.

 

Приклад 24. Неперервна випадкова величина Х розподілена за

показниковим законом розподілу

0, якщо х < 0,

f(x) =

е, якщо х ≥ 0.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина прийме значення з інтервалу (1; 3).

• Скористаємося формулою (32):

Р(1<X<3)=e-1- e-3=e-1(1-e-2)=0,3679(1- 0,1353)=0,3181. Значення е -1 і е-2 можуть бути знайдені за таблицями функції е .

Графіки функцій f(x) та F(x) показано на рис:

 

       
   
 
 


f(x)

 

      F(x)        
   
λ  
 
   
 
  x 0   x
 

Випадкова величина, щільність розподілу якої задається формулою

0, якщо х < 0,

f(x) = (40)

е, якщо х ≥ 0,

називається експоненціальною (показниковою).

 

 


Інтегральна функція експоненціального розподілу F(x)

0, якщо х < 0,

F(x) = (41)

1 - , якщо х ≥ 0.

Параметром експоненціального розподілу є λ.

 

Будемо говорити, що неперервна випадкова величина розподілена

нормально, якщо її диференціальна функція розподілу має вигляд

 

. (42)

 

для любого значення х з інтервалу і довільних чисел а і σ.

Числа а і σ називають параметрами розподілу.

 

Графіком функції (42) є крива, яку в літературі називають кривою Гауса або нормальною кривою:

 
 


f(x)

 

           
 
1/(σ )  
 
  a   x
 

Інтегральна функція нормального розподілу:

Перший інтеграл у літературі називають інтегралом Пуассона

його значення дорівнює 0,5. Тоді

. (43)

Графік функції(43) має вигляд:

 


F(x)

 

           
 
 
0,5  
 
  x  

 


Ймовірність попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал (α,β)

Р(α < Х < β)= . (44)

 

Для обчислення ймовірності відхилення нормально розподіленої

випадкової величини від свого математичного сподівання а на наперед задану величину δ отримаємо формулу

Р(│Х−a│<δ) = 2Ф(δ/σ) (45)

 

Приклад 25. Цех виробляє деталі, розмір діаметра яких підпорядковується

нормальному закону розподілу.Стандартний діаметр деталі

(математичне сподівання) дорівнює 25мм, середнє квадратичне

відхилення 2 мм. Визначити:

1) ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде

більше 20 і менше 27;

2) ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від

стандартного не більше ніж на 1мм.

 

• 1) Ймовірність того, що діаметр навмання взятої деталі буде

більше α і менше β Р(α < Х < β) = Ф((β – а)/σ) – Ф((α – а)/σ),

де Ф(х)= –функція Лапласа,

Р(20 ≤ Х ≤ 27 ) = Ф((27– 25)/ 2) – Ф((20 – 25)/2) =

= Ф(1) – Ф(-2,5) = Ф(1) + Ф(2,5) = 0,3413 + 0,4938 = 0,8351.

Значення Ф(1) = 0,3413, Ф(2,5) = 0,4938 шукаємо із таблиці

значень функції Ф(х).

 

2) Ймовірність того, що діаметр деталі відхилиться від

стандартного не більше ніж на

Р( )≈2Ф( ).

Тоді Р( 1) = 2Ф( ) = 2Ф(1,00) = 2 ∙ 0,2190 = 0,4380.

Значення Ф(0,58)=0,2190 знайшли по таблиці фукції Ф(х).

Відповідь: 1) 0,8351; 2) 0,4380.

 

 


© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти