ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Числові характеристики випадкових величин.

 

Нехай Х– дискретна випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд S½хі½рі збігається.

Тоді м а т е м а т и ч н и м с п одів а н н я м випадкової величини Хназивається сума ряду М (Х)= (47)

Якщо S½хі½рі=+¥, то кажуть, що випадкова величина Х не має

математичного сподівання.

Властивості математичного сподівання:

1) М(С) = С, якщо С = const.

2) М(С∙Х) = С∙М(Х), якщо С = const.

3) Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань випадкових величин М(Х+У)= М(Х)+М(У).

4) Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань М(Х*У)= М(Х)*М(У).

 

Для неперервної випадкової величини Х математичне сподівання обчислюється за формулою М(Х) = . (48)

 

Дисперсія дискретноївипадкової величини Х визначається рівністю

D(Х) =M[Х- M(х)]2= M(Х2) -( M(Х))2= (49)

Властивості дисперсії.

D(х) =0 Х =соnst;

D(х) 0;

D(с∙Х)=c2∙D(Х);

D(Х C)= D(Х).

Якщо Хта Унезалежні випадкові величини, то D(Х У)= D(х)+D(у).

 

Дисперсія неперервноївипадкової величини Х визначаєтьсяза

формулою D(Х) = , (50)

або D(Х) = M(Х2) -( M(Х))2. (51)

 


Наслідки:

1) Математичне сподіванняпояви події А в nнезалежних випробуваннях рівне добутку числа випробувань на ймовірність появи події А в одному випробуванні: М(Х) = n∙p. (52)

2) Дисперсіяпояви події А в nнезалежних випробуваннях рівне добутку числа випробувань на ймовірність появи і непояви події А в одному випробуванні: D(Х) = n∙p∙q. (53)

Середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії . (54 )

 

Приклад 29. Знайти математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини Х, що задана

Таким законом розподілу

Х
р 0,5 0,3 0,2

▪ Спочатку обчислимо математичне сподівання

М(Х) = = 2∙0,5+4∙0,3+5∙0,2 = 3,2.

Далі обчислимо М(Х2) = = 22∙0,5+42∙0,3+52∙0,2 = 11,8.

Тоді дисперсія D(Х) = M(Х2) -( M(Х))2=11,8 – 3,22 = 1,56.

Середнє квадратичне відхилення = 1,249.▪

 

Приклад 30. Проводиться 10 незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 0,8. Знайти математичне сподівання, дисперсію випадкової величини Х – числа появи події в цих випробуваннях.

▪ Математичне сподівання М(Х) = n∙p= 10∙0,8 = 8.

Дисперсія D(Х) = n∙p∙q= 10 ∙ 0,8 ∙ 0,2 = 1,6.▪

Приклад 31. Обчислити математичне сподівання, дисперсію середнєквадратичне відхилення рівномірного закону розподілу.

▪ Математичне сподівання М(Х) = = = .

Дисперсія D(Х) = M(Х2) -( M(Х))2.

M(Х2) = =

D(Х) = ( )2 = .

Середнє квадратичне відхилення = .▪

 


Приклад 32. Обчислити математичне сподівання та дисперсію показникового закону розподілу.

 

▪ Математичне сподівання М(Х) = = = …= .

При обчисленні інтегралу використали формулу інтегрування по частинах.

Дисперсія D(Х) = M(Х2) -( M(Х))2.

M(Х2) = = = …= .

При обчисленні інтегралу використали двічі формулу інтегрування по частинах.

Тоді D(Х) = - ( )2 = .

Середнє квадратичне відхилення = .▪

 

Двовимірні випадкові величини.

Випадкові величини, значення яких визначаються двома числами, називаються двовимірними.

Під законом розподілу двовимірної дискретної випадкової величини розуміють перелік можливих значень цієї величини, тобто пар чисел (хіj) і їх ймовірностей р(хіj) (і= 1,…,n), (j=1,…,m).

Зазвичай, закон розподілу такої випадкової величини задається таблицею.

Х У х1 х2 хn P(y)
y1 p(x1,y1) p(x2,y1) p(xn,y1) P(y1)
y2 p(x1,y2) p(x2,y2) p(xn,y2) P(y2)
ym p(x1,ym) p(x2,ym) p(xn,ym) P(ym)
P(x) P(x1) P(x2) P(xn)

Умовна ймовірність події {У=уj}, якщо спостерігалась подія {X=xi}, розраховується за формулою Р{Х=хі}{У=уj} = . (55)

Сукупність умовних ймовірностей Р 1), Р 2), …,Р m), що відповідають одному і тому ж значенню хі називають умовним розподілом У при хі.

Сума умовних ймовірностей дорівнює 1.

Умовне математичне сподівання М(У/х) = , (56)

де х одне із значень х12,…,хn.

 


Аналогічно за відомими формулами вводиться і умовна дисперсія.

Для характеристики зв’язку між випадковими величинами Х та У служить математичне сподівання перетинів відхилень Х та У від їх центрів, яке називають коваріацією і обчислюють за формулою:

cov(Х,У)=M(Х-M(Х))(У-M(У)). (57 )

 

Для тісноти зв’язку між випадковими величинами Х та У використовують

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти