ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Нерівність Чебишева, теорема Чебишева та Бернуллі.

 

Говорять, що послідовність випадкових величин , по ймовірності збігається до випадкової величини , якщо для довільного

Р { }=0 .

Збіжність по ймовірності послідовності до позначають так : =plim , або .

Нехай послідовність випадкових величин , для яких існують М .

Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що різниця

 

збігається до нуля по ймовірності.

Нерівність Чебишова: Довести, коли існує M 2 i М =а , то . (63)

 

Теорема Чебишова.Нехай { }- послідовність незалежних випадкових величин, існують D i D при всіх n. Тоді

. (64)

 

 

Наслідок. Нехай 1, 2,…, n,…- послідовність незалежних випадкових величин така, що М =а, D , n=1,2,…

Тоді для кожного

.

Цей частковий випадок теореми Чебишова дає обгрунтуваня правилу середнього арифметичного в теорії обробки результатів вимірювання. Припустимо, що необхідно виміряти деяку фізичну величину а. Повторюючи вимірювання n раз в одинакових умовах, спостерігач одержує результати вимірювань 1, 2,…, n[1]. Якщо спостереження не мають систематичної помилки, тобто М =а, то згідно сформульованому вище наслідку,

 

-34-


Теорема Хінчина. Нехай { }- послідовність незалежних одинаково розподілених величин, які мають скінчене математичне сподівання М =а. Тоді для кожного

 

(65)

Теорема Маркова. Нехай випадкові величини 1, 2,…, n як завгодно залежні. Для виконання (64) достатньо, щоб

 

при . (66)

 

Теорема Бернуллі.Нехай маємо послідовність випробовувань, в кожному з яких можуть бути два наслідки- успіх У ( з ймовірністю р ) або невдача Н ( з ймовірністю q=1-p) незалежно від наслідків інших випробувань. Утворимо послідовність випадкових величин наступним чином. Нехай к =1, якщо в к-тому випробовуванні був успіх к =0, якщо в к-тому випробовуванні наступила невдача. Тоді { }- є послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин M к=p, D к=pq. Випадкова величина представляє собою частоту появи успіху в перших nвипробуваннях. Оскільки для послідовності { }-виконані умови теореми Чебишова, то із теореми Чебишова одержуємо наступне твердження.

Теорема Бернуллі.

Для довільного Р{ при n . (67)

Зміст цього твердження полягає в тому, що введене нами визначення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти.

 

Посилений закон великих чисел.

 

Послідовність випадкових величин { ,n }- збігається з ймовірністю 1 до величини , якщо ймовірність всіх тих точок , для яких не існує,

або , дорівнює нулю, тобто якщо Р{ }.

 

Розглянемо послідовність випадкових величин kз скінченими математичними сподіваннями. Теореми, які стверджують, що різниця збігається з ймовірністю 1 до нуля, називається посиленим законом великих чисел. Нижче приводиться дві теореми про посилений закон великих чисел, обидві вони доведені А.М.Колмогоровим.

 

Теорема 1. Нехай n – послідовність незалежних випадкових величин, для яких М , D визначені. Якщо

, то Р { - )=0}=1. (68)

Наслідок ( теорема Бореля ). Припустимо, що розглядається послідовність незалежних випробувань, в кожному з яких з’являеться успіх У з ймовірністю р або невдача Н з ймовірністью q=1-p. Нехай -число успіхів при n випробуваннях. Тоді Р{ }=1. (69)

Це випливає з того, що = , де k- послідовність незалежних випадкових величин введених при доведенні теореми Бернуллі.

Теорема 2.Нехай -послідовністьнезалежних одинаково розподілених величин з скінченимматематичним сподіванням М =а. Тоді

Р { =а}=1. (70)

 

Центральна гранична теорема.

Теорема. Нехай 1, 2 ,…, n,…- послідовність незалежних випадкових величин з скінченною дисперсією ( і .

Тоді при n для довільного x

(71)

( де = ).

 

Це один з самих видатних результатів теорії ймовірностей: при широких припущеннях відносно суми великої кількості незалежних малих випадкових доданків має місце розподіл, який близький до нормального ( гаусівського).

 

 


Приклад 35. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює . Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число появ події А змінюється в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробовувань.

▪ Знайдемо математичне сподівання та дисперсію дискретної випадкової величини - числа появ події А в100 незалежних випробовуваннях.

; =25.

Знайдемо максимальну різницю між заданим числом появ події та математичним сподіванням М =50: =60 – 50 = 10.

Скористаємося нерівністю Чебишова в формі

.

 

Підставляючи М =50, D =25, =10, одержимо

 

Приклад 36.Дисперсія кожної з 4500 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 5. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0,04.

▪ Так як n=4500 –велике і випадкові величини незалежні, одинаково розподілені та мають скінчену дисперсію, то можна застосувати центральну граничну теорему.

Таким чином,

 

Р{ }=

= , де

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти