ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Випадкові процеси. Марковські процеси.

Випадковими процесами називають випадкові величини, які змінюються залежно від часу або якого-небудь іншого параметру.

 

Випадковим процесом називається множина (сімейство) випадкових величин X(t)=Xt( ), t є Т, заданих на ймовірнісному просторі (U, S ,Р), де Т -деяка множина значень параметра.

 


Параметр t переважно інтерпретуеться як час.

Функцію Хt( ) при фіксованій елементарній події є U називають реалізацією (траєкторією) випадкового процесу.

Якщо t=t0 фіксоване значення часу, то Хt0( )-звичайна випадкова величина.

Якщо параметр t набуває дискретні значення (t=0,1,2,...), то X(t) -процес з дискретним часом (випадкова послідовність), якщо t міняється на деякому інтервалі, X(t) - процес з неперервним часом.

Випадковий процес вважається заданим, якщо для будь-якого набору 0<t0<t2<...<tn, ti є Т вказано багатовимірний розподіл

Ft1,t2,...,tn(X1,X2,..,Xn) = P(X(t1)<X1,X(t2)<X2,...,X(tn)<Xn), (72)

причому ці розподіли узгоджені між собою, тобто при n'<n

Ft1,t2,...,tn(X1,X2,..,Xn’) = Ft1,t2,...,tn(X1,X2,..,Xn’, ).

 

Випадковий процес X(t) називається процесом з незалежними значеннями, якщо для будь-якого набору, 0 to<t2<...<tn, ti T, випадкові величини X(t1),X(t2),...,X(tn) незалежні.

 

Багатовимірні розподіли випадкового процесу з незалежними значеннями визначаються повністю одновимірними розподілами тому, що Ft1...tn(X1,...,Xn) = Ft1(X1) ∙Ft2(X2) ∙...∙Ftn(Xn). (73)

 

Математичним сподіванням випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція m(t) = M(X(t)), значення якої при фіксованому значенні t=t0 рівне математичному сподіванню випадкової величини X(t0). Математичне сподівання m(t) - це деяка середня функція, навколо якої групуються реалізації випадкового процесу.

 

Дисперсією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція (t) = D(X(t)) = M(X(t) - m(t))2, (74)

значення якої при фіксованому значенні t=to рівне дисперсії випадкової величини X(t0). Дисперсія характеризує розсіювання випадкового процесу відносно m(t).

 

Кореляційною функцією випадкового процесу X(t) називається невипадкова функція B(t,s) = M((X(t)-m(t))(X(s)-m(s))), (75)

значення якої при фіксованих значеннях t=to, s=s0 рівне коефіцієнту кореляції двох випадкових величин X(t0), X(s0), при t=s B(t,s) = (t).

Нормована кореляційна функція (76)

характеризує залежність випадкових величин в момент часу t і s.

Для процесів з незалежними значеннями B(t,s)=0, t s, а відповідно і p(t,s)=0.

 


Випадковий процес X(t) називається стаціонарним, якщо його багатомірні розподіли інваріантні відносно зсуву, тобто для будь-якого s

Ft1+s,t2+s,...,tn+s(X1,X2,..,Xn) = Ft1,t2,...,tn(X1,X2,..,Xn). (77)

 

Випадковий процес з неперервним часом називається стаціонарним в широкому розумінні, якщо m(t) = m = const, (t) = = const

B(t,s) = B(s-t), s t. (78)

 

Ланцюги Маркова та їх характеристики.

Розглянемо випадкові процеси з дискретним часом і дискретною скінченною множиною значень-станів S1,S2,…,Sn, в яких знаходиться елемент процесу.

Наприклад, кожний робітник підприємства протягом робочого дня може перебувати в одному зі станів: S1- працює, S2- у відрядженні, S3 - у

відпустці, S4 - хворий.

Розглянемо моменти t1,t2,...,tj,... Xi=X(tj) і Xі набуває значення S1,S2,...,Sn.

 

Простим узагальненням процесу з незалежними значеннями є

марківський процес, для якого

Р(Хіі / Х11, Х22,...,Хі.1 = хі-1) = Р(Хіі / Хі.1і-1), (79)

тобто ймовірність попадання в стан X* =Sj в момент t;i залежить не від всього минулого, а лише від стану Хі-1 = Sj в якому процес був у попередній момент часу ti-1.

 

Якщо позначити P(X(tj) = Sj /Х(ti-1) = Si) = pij, то отримаємо квадратну матрицю Р розміру n, яку називають матрицею переходу, оскільки її елементи - ймовірності переходів із стану і в стан j.

 

Марківські процеси називають ланцюгами Маркова, для яких різниці суміжних моментів спостереження ti – ti-1 дорівнюють подвійному числу, яке для простоти приймають за одиницю часу, і всі можливі стани перечислені.

 

Марківські ланцюги називають однорідними за числом, якщо
ймовірності переходу за одиницю часу не залежать від того, де на осі часу відбувається перехід.

Однією з важливих характеристик ланцюгів Маркова є ймовірність переходу зі стану Si в стан Sj за t кроків, яку позначимо рij (t) для t=l,2,...

Матрицю переходу з елементами рij (t) для t = 1,2,... позначимо через P(t).

 

 


Для знаходження ймовірності переходу з Sі в Sj відповідно до формулою повної ймовірності необхідно просумувати відповідні добутки за всіма проміжними станами 1:

pij(t) = (80)

Рівність (80) можна записати як добуток матриць:

Р(t) = P(s)∙P(t – s). (81)

Таким чином P(t) = P(l)∙P(t-l) = P(t-l)∙P(l) = Рt, (82)

що дає можливість знайти ймовірності переходу між станами за будь-яке число кроків, знаючи матрицю переходу за один крок.

 

Теорема: Якщо для деякого t всі елементи матриці Рt додатні, то ймовірність знаходитися в стані Sj для ланцюга Маркова при t не

залежить від початкового стану Si і задовольняє рівняння р=рР, де р вектор-рядок з невід'ємними елементами

Вектор p(t) називається граничним розподілом.

Це означає, що при t ланцюг Маркова входить у стійкий режим, який характеризується наступними властивостями (Т - достаньо великий час):

1) середній час перебування в стані Sj дорівнює pj T;

2) середній час повернення в стан Sj дорівнює 1/pj.

 

Стан Sj, ланцюга Маркова, з якого можна лише вернутися в той самий стан Sj називається поглинаючим. Для поглинаючого стану pjj =1.

 

Розглянемо ланцюги Маркова з числом станів k=m+1, в яких останні к-1 станів Si, і = l+1,1+2,...,k неповоротні, а перші l станів Si, і = 1, 2, ..., 1 - поглинаючі. Для таких ланцюгів Маркова, які називають поглинаючими, можливо привести матрицю переходів порядку k ∙ k до блочного вигляду

(83)

де Q - матриця порядку (к-l) ∙ (к-l),

R - матриця порядку (к-l) ∙l,
Il- одинична матриця порядку l∙ l,

О - нульова матриця порядку l ∙ (k-l).

Система, яка описується ланцюгом Маркова з перехідною матрицею (83), поступово переходить з неповоротних станів у поглинаючі, знаходячись у неповоротних станах деякий випадковий час.

Нехай tij- випадкова величина, рівна загальному числу одиниць часу, протягом якого система знаходиться в стані Sj, якщо в початковий момент вона пребуває в стані Si.

 

 


 

Для знаходження середніх значень величин tij використовують теорему: для поглинаючих ланцюгів Маркова з матрицею переходу (83) M = Tij, (84)

де Tij – елементи матриці Т = (Іk-l – Q)-1.

Нехай ti = - загальний час, включаючи час перебування в

початковому стані Si, протягом якого система перебуває у всіх неповоротних станах до попадання в який-небудь поглинаючий стан;

bij - ймовірність попадання системи в поглинаючий стан Sj, j=l,2,...,l, при виході із стану Sі, і = l+1, ...,k.

Має місце наступна теорема:

для поглинаючих ланцюгів Маркова з матрицею переходу (83) Mti рівне компонентам вектора ТІ, де І - вектор-колонка з компонентами рівними l, а ймовірності bij - елементи матриці В = TR.

Приклад 37. Розглянемо ланцюг Маркова зі скінченною множиною станів. Множина станів студентів деякого вищого навчального закладу з 5- ним терміном навчання на початок навчального року наступна:

S1 - першокурсник, S2 - другокурсник, S3 - третьокурсник,

S4 -четвертокурсник, S5 - випускник, S6- спеціалісти, які закінчили навчання, S7 - особи, які навчалися в даному навчальному закладі, але його не закінчили.

▪Складемо матрицю переходів з одного стану в інший, вважаючи, що відраховані не можуть бути поновленими.

Зі стану S1 (першокурсник) за навчальний рік можливі переходи в наступні стани: S2 (другокурсник), S1 (залишитися повторно на першому курсі), S7 (вибути з навчального закладу).

Тому р12 + р1117 = 1,

р12 - ймовірність переходу на другий курс,

р11 - ймовірність залишитися не першому курсі,

р17 - ймовірність вибути з навчального закладу.

Для другокурсника (стан S2) можливі переходи S7 ,S3 ,S2 з відповідними

ймовірностями р27, р23, р22, р22 + р23 + р27 = 1.

Очевидно, що р66 = 1, р77 = 1, останні ймовірності переходу рівні 0. Тому матриця ймовірностей переходів має вигляд:

 


Приклад 38. Задана матриця переходу

Знайти матрицю переходу Р(2).

 

▪ Р(2) = Р2 = = =

 

Приклад 39. Знайти матрицю ймовірностей переходів для стоків рік. Розділяють стоки на чотири градації (стани): першу, другу, третю і четверту.

▪ Вважається, що за першою градацією (найнижчий стік) ніколи не настає четверта (найвищий стік), а за четвертою - перша.

Допустимо, що останні переходи можливі:

з першої градації можна потрапити в кожну з середніх вдвоє частіше, ніж знову в першу. Відповідно, ймовірності переходу з першої градації рівні р11 =0,2, р12=0,4, р13=0,4, р14=0;

з четвертої градації переходи у другу і третю бувають у чотири і п'ять разів частіше, ніж повернення у четверту градацію, тому

р41 =0, р42 =0,4, Р43=0,5, р44=0,1;

з другої градації перехід може бути рідше в першу в два рази, в третю на 25%, у четверту в чотири рази, ніж у другу, отже,

р21 = 0,2, р22 = 0,4, р23 = 0,3, р24 = 0,1;

з третьої градації перехід у другу має таку ж ймовірність, як повернення у третю градацію, а переходи в першу і четверту в чотири рази рідші, тому р31 =0,1, Р32 =0,4, р33 =0,4, р34 =0,1.

Враховуючи попереднє, дістанемо наступну матрицю ймовірностей переходів для стоків рік:

.

 

Приклад 40. В задачі дано , що:

телефонна станція може обслуговувати виклики n абонентів; потік вимог, що поступають на станцію є простішим із середнім числом λ викликів у хвилину; тривалість телефонних розмов випадкова величина, що підпорядкована показниковому розподілу параметрів ν.

Потрібно визначити:

1) при якому значенні n ймовірність того, що всі лінії зв’язку зайняті не перевищує заданого числа ε;

2) математичне сподівання числа зайнятих ліній при знайденому n;

3) ймовірність того, що буде зайнято не менше m ліній.

λ=4, ν=4, ε=0,005, m=3.

 


Запишемо формулу Ерланга рn = ,

де α = λ / ν = 4/4 = 1.

Знайдемо значення n при якому рn < ε.

Для n=1, р1 =1 / (1+1) = 0,5.

Для n=2, р2 = 0,5 / (1+1+0,5) = 0,2.

Для n=3, р3 = (1/6) / (1+1+0,5+1/6) = 0,0625.

Для n=4, р4 =(1/24) / (1+1+0,5+1/6+1/24) ≈ 0,0156.

Для n=5, р5 = (1/120) / (1+1+0,5+1/6+1/24+1/120) ≈ 0,0031.

р5 < ε, 0,0031 < 0,005.

Отже, n=5.

2) Знайдемо математичне сподівання числа зайнятих ліній n=5.

М(5)=∑n∙рn=1∙0,5+2∙0,2+3∙0,0625+4∙0,0156+5∙0.0031≈2.

n=1

3) Знайдемо ймовірність того, що буде зайнято не менше 3 ліній.

р(n ≥3)=рn=3+рn=4+рn=5=0,0625+0,0156+0,0031=0,0812. ▪

 


Таблиця варіантів та контрольні завдання.

Номер варіанту співпадає із номером по списку в журналі.

 

пп Номери задач

 

 


У задачах 1-20 опишіть і де це можливо зобразіть графічно вказані множини (події):

1. В = {b : b — додатне ціле число, менше ніж 9}.

 

2. А = {а : а — від'ємне непарне ціле число, більше -10}.

 

3. С = {с : с— назва місяців року}.

 

4. Μ = {т : т — третя степінь додатного цілого числа, меншого ніж 6}.

 

5. Визначте , якщо U = {1,..., 10} і В = {b : b додатне непарне ціле число, менше ніж 9}.

 

6. Визначте Ρ , якщо U множина студентів вашої академгрупи, а Р — підмножина студентів, які отримали задовільні оцінки за першу атестацію.

 

7. Визначте S, якщо U={x: х - ціле число, не менше ніж 6 і менше 18},а = {8; 9; 11; 14; 17}.

 

8. Визначте Т, якщо U — множина, що складається з усіх додатних цілих чисел, а — множина додатних непарних чисел.

 

9. U={x: х -додатне ціле число, менше 30}, А = {3; 5; 9;17;23; 29},

В = {b: b — додатне непарне ціле число, менше 17}, С= {с: с — додатне непарне ціле число, менше 30}. Визначте підмножини, що можна утворити за допомогою попарного перетину цих множин.

 

10. U= {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18;20;22}; А = {4; 6; 8; 20}, В = {4; 8; 16}. На­рисуйте діаграму Венна і покажіть на ній ці підмножини.

 

11. U= {х: х -від'ємне ціле число більше -13}, А = {а: а — від'ємне непарне ціле число більше -10}, В= {b:b - від'ємне ціле число більше -7}. Нарисуйте діаграму Венна, що показує ці підмножини.

 

12. Задано такі множини: А ={5,-2}; В = {х : (х- 5)∙(х+ 2)=0}; С = {х : х3–3х2–10х =0}; D={0, 5, -2}. а) Які з них є рівними?

б) Визначте усі співвідношення між множинами А, В, С і D.

 

13. Задано такі множини: А = {0; 2;-2}; В={b: b3 – 4b= 0}; С={2; 0;-2};
D = {d: d∙(d – 2)∙(d + 2)=0}. а) Які з них є рівними?

б) Визначте усі співвідношення між множинами А, В, С і D.

 


14. За даними задачі 12 знайдіть:
а) А В; б) A D; в) А ;г) B D.

 

15. Для множин із задачі 10 знайти: A B; U; A ; . Результати дій зобразіть графічно за допомогою діаграм Венна.

 

16. Знайдіть A B, якщо А = {1; 2; 3; 4; 5; 9} і В = {1;3;6;7;9; 10}.

 

17. Дано U = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}, А = {4;8;12;16;20}, В= {2; 4; 6; 8; 22}. Визначте А В, А U, В U,A В.

 

18. Множина U складається з різних всеможливих сум очок при ки­данні пари гральних кубиків, a В = {4,8 і 9}, то визначте .

Якщо універсальна множина U складається з усіх від'ємних чисел,
більших за -15, А - {-11;-10;-9;-8}, В — від'ємні числа, більші
за -20, що діляться націло на 4, С — парні від'ємні числа, більші
за -20, то визначте всі зв'язки підмножин, що можна утворити за
допомогою операцій об'єднання і перетину.

 

19. Задано множини: А={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}, В={1;4;8}, С={8;4;1}. Визначте, чи є серед них рівні. Побудуйте A В, А С, Α В.

 

20. Дано множини А = {-1;-2;-3;-4;-5;-7}, В = {-1;-2;-3;-4;-5; 5; -7;-8; 9}, С = {-2;-4;-6;-8}. Знайдіть A В, А С, Α В, С В, В С.

 

21. Задано множини: А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, В = {1;4;7;8;12;}, С = {8; 4; 1}, U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20}.

Знайдіть , A В, А С, Α В, В, , .

 

22. Задано множини: А = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}, С={6;4;1}, В = {1;7;8;12;15},

U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20}

Знайдіть , A В, А С, Α В, В, , .

 

23. Задано множини: А = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, В = {1;4;7;8}, С = {8; 4; 1}, U = {1;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Знайдіть Α В, В, , .

 

24. Задано множини: А = {2;4; 6;8;10}, В = {4;8;12;16}, С = {8;12;18}, U = { 2;4;6;8;10;12;14;16;18;20}.Знайдіть A В, В, , .

 

25. Виконати операції об’єднання і перетину числових множин:

А = {1,2,6,8,10}; В = {1,3,6,7,8}; С = {1,3,6,8,10}.

 


26. Шість осіб навмання вибирають собі місце за круглим столом. Знайти ймовірність того, що дві певні особи будуть сидіти поруч.

 

27. Шифр складається з п'яти елементів, де перші три — цифри, а два
останні — букви україського алфавіту. Визначте кількість мож­ливих варіантів кодів.

 

28. Навчальна частина складає розклад на семестр. Для п'яти пред­метів вона розглядає чотири кандидатури можливих викладачів англійської мови; п'ять кандидатур викладачів економічноїтеорії, три викладачі математики, сім — історії і чотири — політології.Визначте кількість можливих груп викладачів на один день тиж­ня, в якому є три пари.

 

29. Визначте кількість можливих семицифрових телефонних номерів,
якщо перші три цифри не дорівнюють нулю і:

а) будь-які інші цифри беруться з тих, що залишилися;

б) перша цифра є непарною, друга - непарною, а інші - парними;

в) всі цифри є непарними;

г) жодна цифра не повторюється.

 

30. На перегонах роблять ставки на тоталізаторі на десять ко­ней. Скільки різних пар коней, що займуть перші два місця, мож­ливі на цих скачках?

 

31. Кандидат у депутати відвідує 6 різних міст. Скільки існує різних
маршрутів поїздок?

 

32. Компанія випускає кредитні картки, що мають перед чотирма
цифрами дві літери українського алфавіту.

а) якщо кожна літера буде різна, то яка кількість таких карток можлива? б) якщо кожна з цифр буде різною, то яка кількість та­ких карток буде можливою?

в) скільки є всіх можливих варіантів для однієї кредитної картки?

 

33. Вісім астронавтів розглядаються як претенденти до наступного
польоту. Якщо команда для польоту складається з трьох чоловік,
то скільки можливих комбінацій астронавтів буде розглядатися?

 

34. Кандидат у депутати хоче відвідати 10 міст з 12, яка можлива кількість поїздок?

 

35. Експерт з управління цінними паперами розглядає 20 об'єктів для
інвестування. Лише 10 з них будуть вибрані. Скільки різних ком­бінацій об'єктів може бути вибрано?

 


36. Чотири особи треба вибрати до ради директорів місцевого акціонерного товариства. Якщо вибиратимуть з десяти кандидатів, то
скільки можливих груп буде розглядатися?

 

37. Профспілковий комітет складається з семи чоловік. Скількома
варіантами можна вибрати голову, заступника і секретаря?

 

38. П'ять авіакомпаній подали заявку на експлуатацію нового між­
народного маршруту. Лише двом з них буде надано дозвіл на його експлуатацію. Скільки різних груп авіакомпаній можна виб­рати?

 

39. Велика науково-дослідна фундація розгля­дає вкладення коштів у дослідницькі медичні проекти. Було розг­лянуто 15 проектів і 8 з них отримали кошти. Яка кількість різних наборів проектів може бути профінансована?

 

40. У партії в бридж роздається по 13 карт чотирьом гравцям. Скіль­ки варіантів здачі карт може бути з колоди 52 карт?

 

41.Президент корпорації вирішив розпочати розробку нового товару, який би дав йому значну конкурентну перевагу. Президент хоче призначити спеціальну команду по ди­зайну товару, яка складається з трьох інженерів, одного фахівця по дослідженню ринку, одного фахівця з фінансових питань і двох наглядачів за виробництвом. Існує шість інженерів, чотири фахівці з ринкових досліджень, три фахівці з фінансових питань і п'ять технологів, які розглядаються як претенденти до цієї команди. Скільки різних дизайнерських команд можна створити?

 

42. Декан математичного факультету університету хоче віді­брати 4 четвертокурсники, 3 третьокурсники, 2 другокурсники і 2 першокурсники до математичної команди на олімпіаду. 10 чет­вертокурсників, 8 третьокурсників, 8 другокурсників, 6 першо­курсників подали заявки і були вибрані для конкурсу. Скільки рі­зних команд можна скласти?

 

43. Оптовий торговець уживаних машин має своїх посередників, які
оцінюють їх із метою покупки й перепродажу. Посередники оці­нюють машини за розміром (великі, середні, компактні й малога­баритні), віком (0-2 роки, 2-4 роки, 4-6 років і більше 6 років), технічним станом корпусу (відмінний, хороший, задовільний і по­ганий). Визначте кількість можливих класифікацій автомобілів.

 


44. Торговець автомобілями має 10 різних моделей машин. На виста­вці він може показати лише 6 із них. Яку кількість різних комбі­націй машин може вибрати торговець для виставки?

 

45. Волейбольний тренер вибирає 6 найкращих гравців до початку
гри. У команді 12 гравців. Якщо ми припустимо, що будь-який з
них може бути вибраний для будь-яких шести різних позицій, то
скільки різноманітних комбінацій гравців є можливими?

 

46. Офіціант ресторану збирається підібрати сортові вина для урочи­стого обіду, під час якого їх буде подаватися чотири типи. Перше вино подаватимуть із закусками, яких є 4 варіанти. Другий сорт вина буде подаватися разом із шістьма типами салатів, третій - із сіма стравами з риби й м'яса, четвертий — із шістьма ви­дами торту. Скільки можливих комбінацій подачі вин і страв мо­жуть розглядатися для цього обіду?

 

47. Кандидат у депутати бажає відвідати 7 різних міст. Скільки існує
послідовностей їхнього відвідування?

 

48. Скільки різних телефонних номерів можна набрати при трицифровому коді і семицифровому місцевому номері?

 

49. Олімпійський баскетбольний відбірковий ко­мітет визначив спортивну команду з 30 гравців. Головний тренер вирішив, що його команда з 12 гравців, складатиметься з 3 цент­рових, 5 форвардів і 4 захисників. З 30 гравців, що відібрав комі­тет, 8 - центрових, 13 форвардів і 9 захисників. Скільки різних команд з 12 гравців може розглядатися?

 

50. У кімнаті 5 студентів. Яка ймовірність, що два і більше студенти не мають спільного дня народження?

 

51. Із колоди 52 карти навмання виймається одна карта. Яка ймовірність, що це туз? Дама?

 

52. Із колоди 52 карти навмання виймається одна карта. Яка ймовірність, що це туз бубей? Дама бубей?

 

53. Із колоди 36 карт навмання виймається одна карта. Яка ймовірність, що це не туз і не король?

 

54. Із колоди 36 карт навмання виймається одна карта. Яка ймовірність, що вона більша (б’є) за десятку?

 


55. Кошик містить сім м'ячів у зелені цятки, шість м'ячів у зелені смужки, вісім м'ячів у блакитні цятки і три м'ячі у блакитні смуж­ки. Якщо вибрати навмання м'яч із кошика, то яка ймовірність, що м'яч буде: а) зеленим чи у смужку? б) поцяткованим? в) блаки­тним чи поцяткованим?

 

56. Проводилося спостереження над 2000 споживачів для того, щоб
визначити купівельну спроможність стосовно двох типів холоди­льників. Виявилось, що протягом попереднього літа 500 чоловік придбало марку А, 350 - марку В і 125 — обидві марки А і В. Якщо людину вибирають навмання з цієї групи, то яка ймовір­ність того, що буде: а) придбано марку Α;

б) придбано марку В, а не Α;

в) придбано марку А або марку В чи обидві?

г) не придбано жодної марки?

 

57. 3 кошика вибирається навмання м'яч. У кошику — три м'ячі з червоними смужками, вісім однотонних червоних м'ячів, шість м'ячів із жовтими смужками, чотири однотонні жовті м'ячі й чо­тири м'ячі з блакитними смужками:

а) яка ймовірність витягнути навмання з кошика червоний смуга­стий м'яч?

б) яка ймовірність витягнути навмання з кошика жовтий смугас­тий м'яч?

в) яка ймовірність витягнути навмання з кошика блакитний од­нотонний м'яч?

 

58. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде парна кількість очок?

 

59. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде непарна кількість очок?

 

60. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде число очок, більше за чотири?

 

61. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде число очок, кратне трьом?

 

62. Гральний кубик підкидається один раз. Яка ймовірність того, що випаде трійка?

 

63. Із 1000 підкидань монети, «решка» випала 499 разів. Яка ймовірність випадання «герба» ?

 


64. Яка ймовірність попадання точки у перший квадрант?

 

65. На відрізок ОА довжиною l числової осі Оx навмання поставлена точка В(х). Знайти ймовірність того, що менший із відрізків ОВ і ВА має довжину, більшу l/3.

 

66. На відрізок ОА довжиною l числової осі Оy навмання поставлена точка В(y). Знайти ймовірність того, що менший із відрізків ОВ і ВА має довжину, меншу l/3.

 

67. На відрізок ОА довжиною l числової осі Оx навмання поставлена точка В(х). Знайти ймовірність того, що менший із відрізків ОВ і ВА має довжину, більшу l/5.

 

68. На відрізок ОА довжиною l числової осі Оу навмання поставлена точка В(у). Знайти ймовірність того, що менший із відрізків ОВ і ВА має довжину, меншу l/5.

 

69. В центрі великого круга, радіусом 1м, знаходиться малий круг, радіусом 0,2м. Знайти ймовірність того, що навмання поставлена точка у великий круг, попаде і у малий круг.

 

70. В прямокутник вписано круг, радіусом 0,1м. Знайти ймовірність того, що навмання поставлена точка у прямокутник, попаде і в круг.

Сторони прямокутника 0,5м і0,3м.

 

71. Дана множина U = {0 ≤ х ≤ 2; 2 ≤ у ≤ 6 }. Яка ймовірність, того, що навмання взята точка з координатами (х, у) буде знаходитися в області А, обмеженою кривими у = х2 +2 і у = 2х +2 ?

 

72. Набираючи номер телефону, абонент забув одну цифру і набрав її навмання, знаючи, що вона парна. Знайти ймовірність того, що набрана цифра — правильна.

 

73. Президент фірми хоче створити команду дизайнерів для розробки нової моделі товару у складі чотирьох інженерів і трьох спеціалістів з дослідження ринку. Яка ймовірність, що команда такого складу буде створена, якщо з групи 9 інженерів і 8 спеціалістів з проблем ринку вибирати навмання сім осіб?

 

74. Інвестиційна компанія АBС має 10 пакетів акцій, серед яких є 6 пакетів цукрових заводів. Визначити ймовірність того, що серед навмання вибраних 4 пакетів акції є рівно 3 пакети цукрових заводів.

 

 


75. Дана множина U = {1 ≤ х ≤ 5; 0 ≤ у ≤ 2 }. Яка ймовірність, того, що навмання взята точка з координатами (х, у) буде знаходитися в області А, обмеженою кривими у = 2 – (х - 3)2 і у = 1?

 

76. Яка ймовірність того, що при трьох послідовних киданнях гральної кості випадатиме одиниця?

 

77. Ймовірність, що абітурієнт академії стане студентом - 0,35. Якщо три абітурієнти вибираються навмання, то яка ймовірність, що:

а) усі три стануть студентами?

б) жодного не приймуть?

в) приймуть лише одного?

 

78. В урні є 5 білих і 4 чорні кульки. 3 неї три рази виймают

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти