ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Короткі теоретичні відомості.

Пряма у просторі.

Короткі теоретичні відомості.

Пряма та її рівняння. Різні способи задання прямої в афінній системі координат.

У просторі пряма може бути задана:

а) Двома різними точками Ml (xl, yl, zl) і M2 (x2, y2, z2). Тоді її рівняння має вигляд: ;

б) Як лінія перетину двох площин і : , де коефіцієнти при x, y, z не пропорційні. Така пряма l паралельна вектору: .

в) Точкою M0(x0, y0, z0) і направляючим вектором (α, β, γ), тоді її рівняння мають вигляд – і називаються канонічними рівняннями прямої, де M (x, y, z) – довільна точка прямої.

Якщо одна із координат направляючого вектора, наприклад α = 0, то рівняння можна записати у вигляді: . Аналогічно, якщо β = 0 або γ= 0.

Якщо α = β = 0, то рівняння можна записати у вигляді . Аналогічнодля а = γ = 0 та β = γ = 0. У всіх цих випадках ми отримали прямі лінії, задані як перетин двох площин, які паралельні до координатних площин.

г) Параметричні рівняння прямої (їх можна одержати з канонічних, позначивши ).

– параметричні рівняння, де t - параметр;

Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Нехай задано дві прямі l1 та l2, які визначаються відповідно: l1 – точкою M1 (x1, y1, z1) і направляючим вектором 1, β1, γ1) і l2 – точкою M2 (x2, y2, z2) і направляючим вектором 2, β2, γ2). Можливі слідуючи випадки розташування прямих:

1. Мимобіжні: тоді мішаний добуток ( ) 0 запишемо цю умову в координатному вигляді:

.

2. Співпадають: тоді (у колінеарних векторів відповідні координати пропорційні).

3. Паралельні:

 

 

4. Перетинаються: мішаний добуток векторів ( ) = 0 і .

Інакше взаємне розташування двох прямих у просторі можна визначити за допомогою рангів матриць. Розглянемо матриці , тапозначимо через R та rранги цих матриць. Тоді:

1. Прямі l1 та l2 мимобіжні тоді і лише тоді, коли R = 3;

2. Прямі l1 та l2 перетинаються тоді і лише тоді, коли R = r = 2;

3. Прямі l1 та l2 паралельні тоді і лише тоді, коли R = 2, r = 1;

4. Прямі l1 та l2 співпадають тоді і лише тоді, коли R = r = 1.

Знаходження відстані від точки до прямої.

 
 

Якщо у прямокутній декартовій системі координат пряма l задана точкою M1(x1, y1, z1) та направляючим вектором (α, β, γ), тоді відстань від точки М00 , у0 , z0) до даної прямої знаходиться як висота паралелограма по формулі:

Знаходження відстані між двома мимобіжними прямими.

Якщо у прямокутній декартовій системі координат дано дві мимобіжні прямі рівняннями (l1): та(l2): , то відстань d між ними знаходиться за формулою: .

 

Кут між двома прямими.

Нехай у просторі дві прямі задані їхніми рівняннями відносно де­якої прямокутної системи координат:

, .

Якщо прямі мимобіжні, то кут між ними дорів­нює куту між прямими, що перетинаються і, відповід­но, паралельними кожній із даних мимобіжних прямих. Кут між паралельними прямими вважається рівним 0.

При знаходженні кута між прямими можливі два випадки:

1. Кут j між прямими дорівнює куту між їх направ­ляючими векторами:

j = ( ). Тоді: cos j = cos ( ) = ,

бо цей кут не перевищує і його косинус невід'ємний.

2. Кут j між прямими є доповнюючим до кута між направляючими векторами. Тоді j = π – ( ).

< ( ) < π, тому cos ( ) < 0, а

cos j = cos (π – ( )) = - cos ( ) = .

В обох випадках cos j = . Отже, cos j = або cos j = – формула косинуса кута між двома прямими.

Якщо прямі l1 та l2 взаємно перпендикулярні, то кут j між ними дорівнює 900, a cos 900 = 0. Це буде тоді і тільки тоді, коли у формулі косинуса кута між двома прямими чисельник дорівнює нулю.

Отже, дві прямі l1 та l2 , задані канонічними рівняннями будуть взаємно перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли викону­ється рівність = 0.

Взаємне розташування прямої та площини

Нехай маємо пряму і площину Ах + By + Cz + D = 0

Точка M0(x0, y0, z0) належить прямій, вектор (a1, a2, a3) – направляючий вектор прямої, вектор (А, В, С) – вектор нормалі площини. Можливі три випадки взаємного розташування прямої та площини:

1. Пряма належить площині. Тоді повинні виконуватись наступні
умови: Аа1 + Ва2 + Са3 = 0 і Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0.

2.Пряма паралельна до площини. Тоді повинні виконуватись наступні умови:

Аа1 + Ва2 + Са3 =

Axo + Byo + Czo + D ≠ 0.

3. Пряма перетинає площину. Повинна виконуватись умова Аа1 + Ва2 + Са3 0.

 

 

Взаємне розташування площини та прямої, що

Питання для самоперевірки.

1. Які ви знаєте способи задання прямої у просторі?

2. Що називається направляючим вектором прямої?

3. Як знайти відстань від точки до прямої?

4. За якою формулою ми можемо знайти відстань між двома
паралельними (мимобіжними) прямими?

5. Назвіть умови, за яких дві прямі мимобіжні.

6. Скласти векторні параметричні рівняння прямої, яка задана в просторі точкою і направляючим вектором.

7. Вивести канонічні та параметричні рівняння прямої в просторі і рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

8. Написати загальні рівняння прямої. Як перейти від загальних рівнянь прямої до канонічних?

9. Як знайти кут між двома прямими в просторі? Написати умови паралельності і перпендикулярності прямих.

10. Як визначити взаємне розташування площини та прямої, що задана точкою та направляючим вектором (канонічними рівняннями)?

11. Як знайти кут між прямою та площиною? Які умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини?

12. Довести, що умову, за якої дві прямі і лежать в одній площині, можна записати у вигляді: .

13. Довести, що рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно прямій можна записати у вигляді: .

Розв'язання.

В якості направляючого вектора прямої можна взяти нормальний вектор (3, 4, -7) даної площини. Отримуємо х = 2 + 3t, у = -5 + 4t, z = 8 – 7t. Виключаючи з цих рівнянь параметр t, отримуємо канонічні рівняння даної прямої:

Відповідь.

Приклад 2.Дано трикутник звершинами А(1, 4, -5), В(-3, 6, 9), С(5, 6, 7). Скласти рівняння прямої, на якій лежить медіана, що проведена з вершини В.

Розв'язання.Знаходимо середину відрізка АС – точку D(3, 5, 1). Задача зводиться до знаходження прямої по двом точкам В та D. Отримаємо або .

Відповідь. .

Приклад 3.Знайти відстань між двома мимобіжними прямими: та

Розв'язання.Перша пряма походить через точку М1 (3, -4, 5) та має
направляючий вектор (1, 2, -2), друга проходить через точку М2 (4, -2, 6) та має
направляючий вектор (8, 6, 4). Звідси знайдемо

Відповідь.d =1.

Рис. 6.29

 

Приклад 4.Дослідити взаємне розміщення таких пар прямих:

А) і ;

Б) і ;

Розв'язання.А) Випишемо координати направляючих векторів даних прямих: (3, 2, -3), (2, -1, 3). Перевіримо умову :

дана умова не виконана, тому прямі або перетинаються, або мимобіжні. Перевіримо, яка умова виконується. Маємо: М1(3, -1, 1), М2(5; -2, 4); (2; -1, 3).

Отже, виконується умова , тому прямі перетинаються.

Б) У цьому випадку направляючі вектори такі: (2; 3; -1), (4; 3; 2). Оскільки відповідні координати цих векторів непропорційні, то прямі не паралельні. Тоді: М1(1, -2, 0); М2(1, 5, -1); (0, 7, -1);

Отже, прямі мимобіжні.

Відповідь.А) прямі перетинаються; Б) прямі мимобіжні.

Приклад 5. Знайти кут між прямою та площиною 2х + 2у – 4z – 3 = 0.

Розв'язання.Скористаємося формулою sin j де α = 2, β = -1, γ = -1, А = 2, В = 2, С = -4, отримаємо:

sin j , j=300

Відповідь. j=300

Приклад 6.Перевірити, чи лежать прямі та в одній площині.

Розв'язання.Зведемо рівняння заданих прямих l1 та l2 до канонічного вигляду, для чого знайдемо по одній точці на прямих і направляючі вектори цих прямих.

l1:

Нехай z = 0, тоді:

Тобто точка Ml (-1, 3, 0) належить прямій l1. Далі знайдемо направляючий вектор прямої l1.

= , де (2, 0, -3) – нормальний вектор площини 2х -3z + 2 = 0, а (0, 2, -1) – нормальний вектор площини

Отже, ; (6, 2, 4). Значить, канонічне рівняння прямої l1 буде таким: або .

Аналогічно зведемо рівняння прямої l2 до канонічного вигляду:

l2:

Нехай z = 0, тоді:

Тобто точка M2 (-49, -37, 0) належить прямій l2. Далі знайдемо направляючий вектор прямої l2.

= , де – нормальний вектор площини , а – нормальний вектор площини

Отже,

Тобто (48, 37, 4) – направляючий вектор прямої l2, і її рівняння буде мати вигляд: .

Тепер перевіримо, чи лежать задані прямі в одній площині. Оскільки ( ), тоді досить перевірити вектори на компланарність. Для цього обчислюємо:

Отже, вектори –компланарні, а значить, прямі l1 та l2 лежать в одній площині.

Відповідь. Прямі l1 та l2 лежать в одній площині.

Приклад 7.Скласти рівняння площини, що проходить через точку M1(4, -3, 1) паралельно прямим та

Розв'язання.Рівняння будь-якої площини, що проходить через дану точку М1 (4; -3; 1), має вид: А(х – 4) + В(у + 3) + C(z – 1) = 0.

Шукана площина паралельна даним прямим, тому, застосовуючи умову

паралельності прямої та площини, матимемо:

та

Отримаємо 16х -27 у + 14z – 159 = 0.

Відповідь.16х -27 у + 14z – 159 = 0.

Приклад 8.Знайти проекцію точки А(1; -3; 2) на площину 6x + 3y – z – 4l = 0.

Розв'язання.Проекцією даної точки на площину є точка перетину прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даній площині, з цією площиною.

Рівняння перпендикуляра будемо шукати у вигляді: , де координати направляючого вектора знайдемо з умови перпендикулярності прямої та площини чи

Отже, .

Знайдемо точку перетину прямої з площиною:

, звідки . Підставивши ці значення х, у та z у рівняння площини, знайдемо параметр t:

6(6t +1) + 3(3t – 3) – (-t + 2) – 41 = 0,

t = 1.

Знаючи параметр t, знайдемо проекцію точки А(1; -3; 2) на площину 6х + 3у – z – 41 = 0, ця точка А1 (7; 0; 1).

Відповідь.А1 (7; 0; 1).

Приклад 9.Скласти канонічні рівняння прямої, що лежить у площині xOz, проходить через початок координат та перпендикулярна до прямої

Розв'язання.Згідно умові, пряма проходить через початок координат, тому її канонічні рівняння мають вид: .

Так як пряма лежить у площині xOz, то β = 0. З умови перпендикулярності прямих слідує, що 3α + γ = 0, звідки γ = -3α . Підставимо у рівняння та скоротимо на α, отримаємо рівняння прямої: або .

Відповідь. .

Приклад 10.Скласти рівняння площини, яка проходить через: А) пряму і точку М (2, 0, 1); Б) дві паралельні прямі та

Розв'язання.А) Рівняння площини, яка проходить через точку М (2, 0, 1) має вигляд: А(х – 2) + Ву + C(z – 1) = 0.

Направляючий вектор прямої (1, 2, -1) і нормальний вектор площини (А, В, С) перпендикулярні, значить, їх скалярний добуток дорівнює 0.

А + 2В – С = 0.

Точка А(1, -1, -1) лежить на прямій, а значить, і на площині, тобто її координати задовольняють рівняння площини:

А (1 - 2) + (-1) + С (-1 – 1) = 0, або -А – В – 2С = 0.

Значить, А = -5С, В = 3С. Звідси шукане рівняння площини має вигляд:

(–5 (х – 2) + 3у + z – 1) С = 0, або 5х – 3у – z – 9 = 0.

Б) Взявши на одній з прямих точку, наприклад, на першій прямій точку М(1, 0 -2), отримуємо задачу, аналогічну з пунктом А). Шукана площина має рівняння 3х – 2у – 3 = 0.

Відповідь. А) 5х – 3у – z – 9 = 0; Б) 3х – 2у – 3 = 0.

 

 

Прямої.

1.Довести, що пряма паралельна площині 4х – 3у – 6z – 5 = 0.

2.Довести, що пряма належить площині 4х – 7у +6z – 56 = 0.

3.Довести, що пряма перпендикулярна до площини 2х – 5у + 4z + 52 = 0. Знайти точку їх перетину.

4.Знайти точку перетину прямої та площини:

А) , 2х + 3у + z – 1 = 0.

Б) , х – 2у + z – 15 = 0.

В) , х + 2у – 2z + 6 = 0.

5.Знайти проекцію точки М (2, 5, -3) на пряму .

6.Знайти проекцію точки М (5, 1, 3) на пряму

7.Знайти проекцію точки М (1, -2, 4) на площину 5х – 3у + 6z + 35 = 0.

8. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку M (2; -4; -l) та середину відрізка прямої що знаходиться між площинами 5х + 3у – 4z + 11 = 0, 5х + 3у – 4z – 41 = 0.

9.Скласти рівняння площини, що походить через точку М(1; -2; 1) перпендикулярно до прямої

10.При якому значенні т пряма паралельна площині х – 3у + 6z + 7 = 0?

11.При яких значеннях т і С пряма перпендикулярна до площини 3х – 2у + Сz + 1 = 0?

12.Знайти точку Q,, симетричну точці Р (4; 1; 6) відносно прямої

13.Знайти точку Q,, симетричну точці Р (2; -5; 7) відносно прямої, що проходить через точки М1(5; 4; 6) та М2(-2; -17; -8).

14.На площині Oxz знайти таку точку Р, різниця відстаней якої до точок М1(3; 2; -5) та М2(8; -4; -13) була б найбільшою.

15. Скласти рівняння проекції прямої на площину 3х – у + z – 4 = 0.

16.Знайти кут між прямою та площиною 4х +2у + 2z – 5 = 0.

17.Скласти рівняння площини, що проходить через пряму х = 2t +1, y = -3t + 2, z = 2t – 3 та точку М(2, -2, 1).

18.Довести, що прямі , лежать в одній площині, і скласти рівняння цієї площини.

19.Знайти точку Q, симетричну точці Р(-3; 2; 5) відносно площини, що проходить через прямі

20.Скласти рівняння площини, що проходить через пряму перпендикулярно до площини 3х + 2у – z – 5 = 0.

21.Скласти рівняння проекції прямої на площину 3х – у + z – 1 = 0.

22.Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М(3; -2; -4) паралельно площині 3х – 2у – 3z – 7 = 0 і перетинає пряму .

Відповіді.

3.N (4, 8, -5).

4.А) (2, -3, 6); Б) пряма паралельна площині; В) пряма належить площині.

5.N (-3; -3,2; 3,6).

6.N (2, -1, 2).

7.N (-4, 1, -2).

8.

9.х + 2у + 3z = 0.

10.т = -3.

11.т = -6, С =

12.Q (2, -3, 2).

13.Q (4, 1, -3).

14.Р (-2, 0, 3).

15.

16.sin j

17.4х + 6у +5z – 1 = 0.

18.2х – 16у – 13z + 31 = 0.

19.Q (1, -6, 3).

20.х – 8у – 13z + 9 = 0.

21.

22.

Завдання для самостійної роботи.

Варіант 1

1.Скласти рівняння прямої, яка проходить через дві точки М (1, -3, 0,5) і N (3, 4, 2,5).

2.Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через початок координат паралельно прямій

3.Звести рівняння прямої до канонічного вигляду.

4.Дослідити взаємне розміщення пар прямих: і

5.У прямокутній системі координат дано дві прямі: і . Знайти кут між цими прямими.

6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -3, 5) паралельно прямій

7.В афінній системі координат дано дві прямі: і . Скласти рівняння площини, яка проходить через них.

8.Знайти проекцію В точки А (5, 2, -1) на площину 2х – у +3z + 23 = 0.

9.У прямокутній системі координат дві прямі задані рівняннями: і . Знайти відстань між ними.

10.Данотри вершини трикутника: А(4, 1, -2), В(2, 0, 0), Р(-2, 3, -5). Скласти рівняння його висоти, яка проведена з вершини В.

Варіант 2

1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через дві точки М (1, -3, 0,5) і N (4, -3, 2).

2.Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, 0, 2) і паралельна площинам х + у +z – 3 = 0 і х – 2у + z + 2 = 0.

3.Звести рівняння прямої до канонічного вигляду.

4.Дослідити взаємне розміщення пар прямих: і

5.Знайти кут між прямими: і

6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 2, 3), перетинаючи вісь Оz під прямим кутом.

7.Скласти рівняння площини, що проходить через пряму х = 2t +1, y = -3t + 2, z = 2t – 3 та точку М(2, -2, 1).

8.Знайти проекцію В точки А (4, -3, 1) на площину х + 2у – z – 3 = 0.

9.Знайти довжину перпендикуляра, проведеного з точки А (1, 0, 1) на пряму

10.Скласти рівняння прямої, яка проходить через центр тяжіння трикутника А(2, -1, 7), В(4, 5, 1), Р(-3, 2, 4) і початок координат.

Варіант 3

1.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -3, 0,5) і паралельна вектору = (2, 1, -3).

2.Написати параметричні рівняння прямої

3.Пряма задана як лінія перетину площин 2х + 3у – 16z – 7 = 0 і 3х + у – 17z = 0. Скласти канонічні рівняння цієї прямої.

4.Дослідити взаємне розміщення прямої та площини х – 3у – 3z + 5 = 0.

5.У прямокутній системі координат дано пряму і площину 2х – у – 3z + 4 = 0. Знайти кут між ними.

6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (0, 1, 0), паралельно осі Оz.

7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точки М (2, -15, 1) і Р (-1, 1, -1), паралельно прямій, визначеній точками А (5, -2, 3) і В (6, 1, 0).

8.Знайти проекцію В точки А (1, 2, 1) на пряму .

9.Знайти відстань від точки М (-1, 2, 1) до прямої а: .

10.Данотри вершини трикутника: А (1, -2, -4), В (3, 1, -3), С (5, 1, -7). Скласти параметричні рівняння його висоти, опущеної з вершини В на протилежну сторону.

Варіант 4

1. Скласти рівняння прямої, яка з’єднує початок координат з точкою М (а, b, c).

2.Написати параметричні рівняння прямої

3.Пряма задана системою рівнянь Скласти канонічні рівняння цієї прямої.

4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і .

5.Знайти кут між прямими і

6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (1, -5, 3) та утворюючу з осями координат кути .

7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (4, -3, 1) і паралельна прямим і .

8.Знайти проекцію В точки А (1, -2, 3) на пряму

9.Знайти найкоротшу відстань між прямими і .

10.Скласти рівняння перпендикуляра, проведеного з точки М (6, 1, -5) на пряму .

 

Варіант 5

1.Скласти рівняння прямої, яка з’єднує точки М (1, 1, 0) і Р (1, 1, 1).

2.Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить паралельно площинам 3х + 12у – 3z – 5 = 0, 3х – 4у + 9z + 7 = 0 і перетинає прямі і .

3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через початок координат і утворює з усіма осями прямокутної системи координат рівні кути.

4.Дослідити взаємне розміщення пари прямих: і .

5.Знайти кут між прямими і .

6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і утворює з осями координат кути .

7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку М (2, 0, 1) і пряму .

8.Знайти проекцію прямої на площину х – у + 3z + 8 = 0.

9.Знайти відстань від точки М (7, 9, 7) до прямої а: .

10.Данотри вершини трикутника: А (2, -1, -3), В (5, 2, -7), С (-7, 11, 6). Скласти канонічні рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині А.

Варіант 6

1.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точки М (2, -1, -1) і К (3, 3, -1).

2.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку А (5, 4, -1) паралельно вектору (1, 2, 7).

3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М(1, 0, 5) і перетинаєтьсяз прямими і .

4.Дослідити взаємне розміщення прямих: і .

5.Знайти кут між прямою і площиною 2х + 3у – 6z +2 = 0.

6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і паралельна прямій .

7.Скласти рівняння площини, яка проходить через дві паралельні прямі: і .

8.Знайти проекцію точки А (3, -4, -2) на площину, яка проходить через паралельні прямі і .

9.На прямій знайти точки, які знаходяться на відстані 1 від площини х + у + z +1 = 0.

10.Дановершини трикутної піраміди А(1, -3, 4), В(0, 1, -1), Р (-2, 3, 1), К (5, 3, 4). Скласти рівняння висоти, яка проведена з вершини К на основу (АВР).

 

Варіант 7

1. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 1, -3) паралельно вектору = (1, -3, 4).

2.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку К (5, 4, -1) паралельно осі Ох.

3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно прямій .

4.При яких значенняхт і п прямі і паралельні?

5.Знайти сінуси кутів, які утворює пряма з площинами координат прямокутної системи.

6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і паралельна осі Оу.

7.В афінній системі координат дано дві прямі: і . Скласти рівняння площини, яка проходить через них.

8.Знайти точку В, симетричну даній точці Р (3, -4, -6) відносно площини, яка проходить через точки М (-6, 1, -5), Н (7, -2, -1), К (10, -7, 1).

9.Знайти найкоротшу відстань між двома прямими і .

10.Данотри вершини трикутника: А(2, 4, 5), В(-1, 3, 2), Р(4, -4, 1). Скласти рівняння висоти АН.

 

Варіант 8

1.Скласти рівняння прямих, які утворені перетином площини 5х – 7у +2z –3 = 0 з координатними площинами.

2. Написати параметричні рівняння прямої, яка проходить через дані точки: К (1, 1, -2), С (3, -1, 0).

3.Скласти канонічні рівняння прямої, яка проходить через точку М (2, 0, -3) паралельно вектору = (2, -3, 5).

4.Дослідити взаємне розміщення прямих: і .

5.Знайти кут між прямою і площиною 7х + 2у – 3z +5 = 0.

6.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М (-1, 0, 5) і паралельна прямій

7.Скласти рівняння площини, яка проходить через точки М (1, 2, 3) і К (4, -1, -2), паралельно вектору

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти