ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Нехай задано дві прямі l1 та l2, які визначаються відповідно: l1 – точкою M1 (x1, y1, z1) і направляючим вектором 1, β1, γ1) і l2 – точкою M2 (x2, y2, z2) і направляючим вектором 2, β2, γ2). Можливі слідуючи випадки розташування прямих:

1. Мимобіжні: тоді мішаний добуток ( ) 0 запишемо цю умову в координатному вигляді:

.

2. Співпадають: тоді (у колінеарних векторів відповідні координати пропорційні).

3. Паралельні:

 

 

4. Перетинаються: мішаний добуток векторів ( ) = 0 і .

Інакше взаємне розташування двох прямих у просторі можна визначити за допомогою рангів матриць. Розглянемо матриці , тапозначимо через R та rранги цих матриць. Тоді:

1. Прямі l1 та l2 мимобіжні тоді і лише тоді, коли R = 3;

2. Прямі l1 та l2 перетинаються тоді і лише тоді, коли R = r = 2;

3. Прямі l1 та l2 паралельні тоді і лише тоді, коли R = 2, r = 1;

4. Прямі l1 та l2 співпадають тоді і лише тоді, коли R = r = 1.

Знаходження відстані від точки до прямої.

 
 

Якщо у прямокутній декартовій системі координат пряма l задана точкою M1(x1, y1, z1) та направляючим вектором (α, β, γ), тоді відстань від точки М00 , у0 , z0) до даної прямої знаходиться як висота паралелограма по формулі:

Знаходження відстані між двома мимобіжними прямими.

Якщо у прямокутній декартовій системі координат дано дві мимобіжні прямі рівняннями (l1): та(l2): , то відстань d між ними знаходиться за формулою: .

 

Кут між двома прямими.

Нехай у просторі дві прямі задані їхніми рівняннями відносно де­якої прямокутної системи координат:

, .

Якщо прямі мимобіжні, то кут між ними дорів­нює куту між прямими, що перетинаються і, відповід­но, паралельними кожній із даних мимобіжних прямих. Кут між паралельними прямими вважається рівним 0.

При знаходженні кута між прямими можливі два випадки:

1. Кут j між прямими дорівнює куту між їх направ­ляючими векторами:

j = ( ). Тоді: cos j = cos ( ) = ,

бо цей кут не перевищує і його косинус невід'ємний.

2. Кут j між прямими є доповнюючим до кута між направляючими векторами. Тоді j = π – ( ).

< ( ) < π, тому cos ( ) < 0, а

cos j = cos (π – ( )) = - cos ( ) = .

В обох випадках cos j = . Отже, cos j = або cos j = – формула косинуса кута між двома прямими.

Якщо прямі l1 та l2 взаємно перпендикулярні, то кут j між ними дорівнює 900, a cos 900 = 0. Це буде тоді і тільки тоді, коли у формулі косинуса кута між двома прямими чисельник дорівнює нулю.

Отже, дві прямі l1 та l2 , задані канонічними рівняннями будуть взаємно перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли викону­ється рівність = 0.

Взаємне розташування прямої та площини

Нехай маємо пряму і площину Ах + By + Cz + D = 0

Точка M0(x0, y0, z0) належить прямій, вектор (a1, a2, a3) – направляючий вектор прямої, вектор (А, В, С) – вектор нормалі площини. Можливі три випадки взаємного розташування прямої та площини:

1. Пряма належить площині. Тоді повинні виконуватись наступні
умови: Аа1 + Ва2 + Са3 = 0 і Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0.

2.Пряма паралельна до площини. Тоді повинні виконуватись наступні умови:

Аа1 + Ва2 + Са3 =

Axo + Byo + Czo + D ≠ 0.

3. Пряма перетинає площину. Повинна виконуватись умова Аа1 + Ва2 + Са3 0.

 

 

Взаємне розташування площини та прямої, що

Задана загальними рівняннями.

Нехай пряма l задана наступними рівняннями а площина π– загальним рівнянням Ах + By + Cz + D = 0. Позначимо через R та r відповідно ранги матриць:

а) Для того щоб пряма l та площина πперетинались, необхідно і
достатньо, щоб R = r = 3.

б) Для того щоб пряма l була паралельна площині π, необхідно і
достатньо, щоб r = 2, R = 3.

в) Для того щоб пряма l лежала у площині π, необхідно і достатньо,
щоб R = r = 2.

Знаходження кута між прямою та площиною.

 
 

Якщо пряма l не перпендикулярна до площини π, то кутом між прямою та площиною називається кут між прямою цією прямою та її проекцією на дану площину.

 

Якщо у прямокутній декартовій системі координат задана площина π рівнянням Ах + By + Cz + D = 0, а пряма l канонічними рівняннями , тоді нормальним вектором площини p буде вектор (А, В, С), направляючим вектором прямої l – вектор (т, п, р).

Синус кута між прямою l та площиною π знаходиться за формулою sin j

Пряма l і площина π будуть паралельними тоді і тільки тоді, коли нормальний вектор площини і направляючий вектор прямої перпендикулярні, тобто їх скалярний добуток або = 0.

А для того щоб пряма l була перпендикулярна до площини π, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці був рівний одиниці, тобто .

Питання для самоперевірки.

1. Які ви знаєте способи задання прямої у просторі?

2. Що називається направляючим вектором прямої?

3. Як знайти відстань від точки до прямої?

4. За якою формулою ми можемо знайти відстань між двома
паралельними (мимобіжними) прямими?

5. Назвіть умови, за яких дві прямі мимобіжні.

6. Скласти векторні параметричні рівняння прямої, яка задана в просторі точкою і направляючим вектором.

7. Вивести канонічні та параметричні рівняння прямої в просторі і рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

8. Написати загальні рівняння прямої. Як перейти від загальних рівнянь прямої до канонічних?

9. Як знайти кут між двома прямими в просторі? Написати умови паралельності і перпендикулярності прямих.

10. Як визначити взаємне розташування площини та прямої, що задана точкою та направляючим вектором (канонічними рівняннями)?

11. Як знайти кут між прямою та площиною? Які умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини?

12. Довести, що умову, за якої дві прямі і лежать в одній площині, можна записати у вигляді: .

13. Довести, що рівняння площини, яка проходить через пряму паралельно прямій можна записати у вигляді: .

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти