|
Основні рівняння руху рідини
Мал. 3.13.Лінії струму при стаціонарному (а) і турбулентному плині (б), трубка струму (в). Описуючи потік рідини, часто використовують терміни – поле швидкостей і профіль швидкостей, що являють собою відповідно значення швидкостей у всіх точках простору і точках перерізу трубки струму у фіксований момент часу. Якщо лінії струму і поле швидкостей не змінюються з часом, то рух рідини зветься стаціонарним. При стаціонарному плині траєкторії частинок залишаються незмінними. Швидкість частинки може змінюватися при її русі вздовж лінії струму, але у кожній точці лінії струму вона зберігається за величиною і напрямком. Якщо поле швидкостей і лінії струму змінюються з часом, то такий плин зветься нестаціонарним. У цьому випадку лінії струму під час плину зникають і знову з’являються, у деяких випадках за формою вони нагадують вихори (мал. 3.13б), такий плин рідини зветься турбулентним або вихровим. Рівняння нерозривності струменя. Розглянемо стаціонарний плин рідини. Позначимо через υ середню швидкість плину рідини для довільно вибраного перерізу S трубки струму. Маса рідини, що протікає через цей переріз за одиницю часу, залишається постійною через те, що рідина не розривається і не стискається в звичайних умовах, тобто dm/dt = const. (3.15) (Якщо б ця умова не виконувалася, то тубка струму не зберігалася б постійною у просторі). Оскільки dm = Sdl = ×υ×dt, з рівняння (3.15) отримаємо: r×S×υ = const. (3.16) Для нестисливої рідини (r = const) рівняння нерозривності струменю дає зв’язок між площиною перерізу трубки струменю і середньою швидкістю плину рідини: S×υ = const, або для різних перерізів трубки струму (див. мал. 3.14) S1×υ 1 = S2×υ 2. (3.17) Величина Q = dV/dt = S×υ [V.P.1] [м3/с], що дорівнює об’єму рідини, який протікає через переріз трубки струму за одиницю часу, зветься об’ємною швидкістю плину рідини.При стаціонарному плині вона залишається величиною сталою. Аналогами цієї величини у фізіології є витрата кровіабо хвилинний об’єм крові (ХОК). Виходячи з визначення об’ємної швидкості плину рідини, хвилинний об’єм крові можна обчислити як відношення ударного об’єму кровіVуд до періоду скорочення серця Т, або добуток Vуд на частоту серцевих скорочень ЧСС = 1/Т: ХОК = Vуд /Т = Vуд×ЧСС. Коли кров рухається по еластичних судинах, внаслідок їх деформації при зміні тиску лінії струму не залишаються постійними. У цьому випадку рівняння нерозривності струменю може бути подано таким чином: dV/dt = Q1(t) – Q2(t), або , (3.18) де Q1(t) та Q2(t) – відповідно приплив та відток крові для ділянки судини. Ці рівняння будуть в подальшому використані при вивченні фізичних основ реографії. Мал. 3.14. Трубка струму. Рівняння Бернуллі. Розглянемо стаціонарний плин ідеальної рідини. Виділимо у просторі трубку струму (мал. 3.14) і розглянемо енергію малого елемента об’єму рідини з масою Dm = rDV, що протікає через переріз трубки струму за деякий час. Оскільки рідина є ідеальною і робота сил тертя дорівнює нулю, то повна енергія деякого елементу об’єму рідини у цьому випадку буде залишатися величиною сталою при русі вздовж трубки струму: E = Eк + Eп + Ecт = const, (3.19) де Ек = Dm×υ2/2 – кінетична енергія, Еп = Dmgh – потенціальна енергія, а Ecт = Р×DV – потенціальна енергія виділеного об’єму рідини. Підставляючи ці вирази у формулу (3.19) і вводячи об’ємну густину енергії w = E/DV, отримаємо рівняння Бернуллі, котре являє собою закон збереження енергії для одиниці об’єму рідини, що рухається . (3.20) Таким чином, фізичний зміст рівняння Бернуллі полягає в тому, що об’ємна густина енергії w ідеальної рідини при її стаціонарному плині залишається величиною сталою. Зауважимо, що розмірність об’ємної густини енергії дорівнює [w] = [E]/[DV] = Дж/м3= Н/м2, тобто вона збігається з розмірністю тиску [p] = Па = Н/м2. Тому в гідравліці компоненти об’ємної густини енергії w називають: rυ2/2 – динамічним, rgh – гідростатичнимта Р – статичнимтисками. У цьому випадку рівняння Бернуллі свідчить про те, що сумарний тиск залишається постійним вздовж трубки струму при стаціонарному плині ідеальної рідини. Мал. 3.15. Об’ємна енергія крові: wвен – у венозному руслі; wарт – у артеріальному руслі; їх різниця wc = wарт – wвен. Коли кров рухається по судинному руслу, величина об’ємної густини енергії різко змінюється при переході з венозного русла до артеріального (мал. 3.15). Ця зміна обумовлена діяльністю серця як насоса. Насосна функція серця полягає у змініоб’ємної густини енергії крові. Насосну функцію серця можна характеризувати різницею об’ємних густин енергії на вході та виході серця, тобто величиною wc = wарт – wвен. Розрахунок цих величин за формулою (3.20) свідчить про те, що більш як 95% від величини wс припадає на потенціальну енергію стисненої рідини в аорті, яка, в свою чергу, визначається величиною середнього артеріального тиску. Отже, величина артеріального тиску дозволяє судити про насосну функцію серця й енергію крові на виході серця, за рахунок якої відбувається її подальший рух по судинному руслу. Зауважимо, що у всіх теплокровних середнє значення артеріального тиску одне і те ж, порядку 90–100 мм Hg, у той час, як інші найважливіші показники системи кровообігу (такі, як хвилинний об’єм, частота серцевих скорочень) значно відрізняються. Більш того, в організмі існує спеціальна система слідкування за артеріальним тиском, а точніше – за об’ємною густиною енергії крові. Саме її підтримка на певному рівні дозволяє забезпечити рух крові крізь капіляри з оптимальною швидкістю, при якій відбувається рівномірна віддача кисню оточуючим тканинам (незалежно від того, яка їх кількість включена до роботи і який хвилинний об’єм протікає крізь них). З наведеного вище можна зробити висновок, що кількість енергії, що її передає серце одиниці об’єму крові, є однією з найважливіших констант організму. Спеціальні регуляторні механізми серця забезпечують саме такий режим скорочення міокарда, за якого при різних навантаженнях серце було б здатне підтримувати на певному рівні об’ємну густину енергії потоку крові, витрачаючи при цьому мінімум хімічної енергії при скороченні міокарда. Рівняння руху і рівноваги рідини.Виділимо у рідині елементарний об’єм DV циліндричної форми з перерізом S і довжиною Dх (мал. 3.16). За другим законом Ньютона: , або для об’ємних сил: . (3.21) Розглянемо сили, що діють на елемент об’єму рідини. Результуюча сила тиску дорівнює F = S[P(x) – P(x + dx)] = –SdP, тоді як об’ємна сила тиску (сила, що діє на одиницю об’єму) є Проводячи аналогічний розгляд для у, z-компонент сил, отримаємо: , (3.22) де Ñ– символ градієнта (так званий “оператор набла”). З рівняння (3.22) випливає, що об’ємна результуюча сила тиску за модулем дорівнює градієнту тиску. Мал. 3.16. Сили, що діють на елемент об’єму рідини. Рівняння руху рідини (3.4) з урахуванням інших об’ємних сил, а саме, сили тертя fтр, сили тяжіння rg, інших зовнішніх сил fзовн, можна записати у вигляді: r × dυ/dt = –ÑP + fтр + rg + fзовн.(3.23) Якщо сила тиску врівноважується іншими силами за умови, що , то ÑР + fтр + rg + fзовн = 0. (3.24) Аналогічним рівнянням описують і рівноважний стан рідини, коли рідина знаходиться у спокої, тобто швидкість . |
||||
|