ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Гармонічні коливання та їх основні параметри

Розглянемо пружинний маятник (мал. 3.21). При змі­щен­ні матеріальної точки масою m на відстань х відносно положення рівно­ва­ги на неї починає діяти сила пружності, яка викликана дефор­мацією пружини

Fпр = – . (3.35)

Мал. 3.21. Пружинний маятник.

Згідно з ІІ законом Ньютона ця сила надаватиме мате­ріаль­ній точці прискорення :

Fпр = ma. (3.36)

Прирівнюючи праві частини рівностей (3.35) і (3.36), одер­жи­мо:

ma = – . (3.37)

Враховуючи, що прискорення є другою похідною від координа­ти за часом , останнє рівняння набуває вигля­ду лінійного диференційного рівняння

. (3.38)

Оскільки коефіцієнт жорсткості пружини k > 0 і m > 0, відно­шен­ня k/m можна позначити через квадрат деякої величини : . Тоді рівняння (3.38) матиме вигляд:

. (3.39)

Таким чином, функція х = f (t) задовольняє диференцій­но­­му рів­нян­ню ІІ-го порядку, яке є лінійним, однорідним і зі сталими коефіцієнтами. Розв’язок таких рівнянь, як відомо, зводиться до розв’язування відповідних характеристичних алгебраїчних рівнянь.

Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди­фе­рен­цій­но­му рівнянню (3.39):

. (3.40)

Корені цього квадратного рівняння дорівнюють , тобто вони є різними й уявними.

Загальний розв’язок диференційного рівняння (3.39) на випадок таких коренів відповідного характеристичного рів­няння має вигляд:

.

Нехай c1 = Асоsj0, a c2 = – Asinj0, де A та j0 – довільні сталі, тоді

. (3.41)

Якщо покласти c1 = Аsinj0, a c2 = Acosj0, то прийдемо до результату:

. (3.42)

Значення сталих А та j0 визначаються початковими умовами, тоб­то положенням та швидкістю матеріальної точ­ки в момент часу t = 0.

Отже, ми дійшли до висновку: матеріальна точка, що знаходиться під дією пружної сили, здійснює коли­валь­ний рух, при якому її зміщення від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса або коси­нуса. Такі коливання називають гармонічними.

Стала А в рівняннях (3.42) є амплітуда гармонічного коливання, вона дорівнює максимальному зміщенню маят­ни­ка від положення рівноваги. Аргумент синуса (або коси­нуса): – фаза коливань. Фаза визначає змі­щен­ня маятника в будь-який момент часу, j0 – початкова фаза, яка визначає зміщення маятника в момент часу t = 0. Величина – циклічна частота коливань.

Тій же самій закономірності підпорядковується зміщен­ня від положення рівноваги математичного маятника, що коливається, при невеликих кутах відхилення a (мал. 3.22).

Мал. 3.22. Математичний маятник.

Сила, яка спричиняє коливання математичного маятни­ка, не є пруж­на за своєю природою. Дійсно, повертаюча сила F спрямована по дотичній до дуги кола радіуса l, напрямлена до положення рівно­ваги і пропор­ційна зміщен­ню х:

F = – mg×sina @ – mg×a = – mg

(оскільки для малих кутів a маємо sina @ tga @ a).

Сила, що не є пружною за своєю природою, але анало­гічна їй по залежності від зміщення, називається квазіпруж­ною. Таким чином, F є квазіпружною силою. Рівняння дина­міки для матема­тич­ного маятника матиме вигляд:

, або , . (3.43)

Отримане рівняння повністю збігається з рівнянням (3.41), що описує рух пружного маятника, а отже має той самий розв’язок. Таким чином, гармонічні коливання – це коливання, що відбувають­ся під дією пружних або квазі­пружних сил.

Швидкість та прискорення при гармонічних коливаннях

Нехай відлік часу обрано таким чином, щоб початкова фаза j0 = 0. Тоді розв’язок рівняння (3.41) матиме вигляд:

. (3.44)

Швидкість тіла, що коливається, знайдемо як похідну від координати х за часом t

, (3.45)

де – амплітуда швидкості.

З рівнянь (3.43) та (3.44) випливає, що швидкість також змінюється за гармонічним законом, а фаза швидкості від­різ­няється від фази зміщення на p/2, тобто в момент часу, коли х = 0, швид­кість максимальна.

Оскільки швидкість при гармонічних коливаннях змі­ню­ється з часом, то цей рух характеризується прискорен­ням, яке знайдемо як другу похідну від зміщення х за часом

(3.46)

де – амплітуда прискорення.

Видно, що і прискорення змінюється за гармонічним законом, а фаза прискорення відрізняється від фази зміщен­ня на p, а від фази швидкості на p/2. Замінивши в (3.46) через x, отримаємо:

.

З цієї рівності виходить, що при гармонічних коливаннях прискорення тіла прямо пропорційне до зміщення від поло­ження рівноваги і має протилежний зміщенню напр­ямок.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти