ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Період і частота гармонічних коливань

Періодом гармонічного коливального руху називають наймен­ший проміжок часу Т, по закінченні якого всі вели­чини, що характеризують цей рух (х, υ, a), набувають пер­віс­ні значення. З рівностей (3.44) – (3.46) випливає, що пері­оду коливань відповідає зміна фази на величину 2p.

У момент часу t фаза дорівнює , а в момент часу t + Т: . Тоді з умови періодичності маємо:

. (3.47)

Підставляючи в (3.47) вирази для w0, що відповідають пружинному та математичному маятникам, отримаємо від­по­відні вирази для періодів коливань цих маятників:

, . (3.48)

Величину n = 1/Т = w0/2p називають частотою коливань. Часто­та вказує, скільки разів за 1 сек повторюється один і той же стан тіла, що коливається. Частота вимірюється в Герцах (Гц), [n] = 1/c = c–1 = Гц.

Розглянуті коливання відбуваються при відсутності сил тертя і зовнішніх сил. Такі коливання називають власними. Частота (пері­од) власних коливань, як випливає з (3.48), залежить лише від властивостей самої системи.

Затухаючі коливання і аперіодичний рух

Припустимо, що в розглянутих системах існує тертя чи опір, причому сила тертя (опору) пропорційна швидкості: Fт = – , де r – коефіцієнт тертя (опору). Запишемо в цьому випадку рівняння руху (ІІ закон Ньютона).

ma = – або .

Позначивши , , отримаємо диференційне рів­нян­ня другого порядку, що описує рух пружинного маят­ника у присутності сил тертя

. (3.49)

Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди­фе­рен­­цій­ному рівнянню (3.49):

.

Знайдемо корені характеристичного рівняння

. (3.50)

Зaгальний розв’язок рівняння (3.49) залежить від знака різниці . Розглянемо всі можливі випадки:

1. , коли корені характеристично­го рівняння є комплек­с­ни­ми числами (затухаючі коливання)

,

де – циклічна частота. У випадку комплексних коренів характеристичного рівняння загальний розв’я­зок (3.49) має вигляд

, або

, (3.51)

де – амплітуда коливань, яка зменшується за експо­ненці­ал­ьним законом, b – коефіцієнт затухання, визна­чає швидкість затухання амплітуди. Залежність х = f (t) для затухаючих коливань подано на мал. 3.23.

Мал. 3.23.Затухаючі коливання.

Ступінь затухання часто характеризують декрементом зату­хан­­­ня d і логарифмічним декрементом затухання l*:

,

,

де період затухаючих коливань дорівнює

.

2. , коли корені характеристично­го рівняння є дій­с­ни­ми числами (аперіодичні коливання)

.

У цьому випадку загальний розв’язок рівняння (3.49) ма­тиме вигляд

, (3.52)

що відповідає аперіодичному рухові (мал. 3.24).

3. , коли корені є кратними. Легко побачити, що і в цьому випадку рух тіла буде аперіодичним.

Коливання, що виника­ють у системі при відсут­нос­ті зовнішніх сил, нази­ва­ють вільними. Частота віль­них коливань залежить як від пружних власти­востей сис­те­ми (w0), так і від інтен­сив­ності втрат (b). Якщо , то w @ w0 і період вільних коливань стає близьким до періоду власних коливань (мал. 3.23).

Вимушені коливання

Припустимо, що на матеріальну точку масою m, крім пружної або квазіпружної сили і сили тертя, діє зовнішня вимушуюча сила, що змінюється за періодичним законом

Fз = F0sin Wt,

де F0 – амплітуда, а W – циклічна частота вимушуючої сили. В цьому випадку рівняння руху матиме вигляд

ma = – r + F0sinWt, або

. (3.53)

Загальний розв’язок диференційного рівняння (3.53) має ви­гляд

х = Аsin(Wt + j0), (3.54)

де А – амплітуда вимушених коливань, яка дорівнює

, (3.55)

а початкову фазу j0 визначають з рівності:

. (3.56)

Важливу формулу (3.55) для амплітуди А вимушених коливань можна отримати, скориставшись графічним мето­дом розв’язку неоднорідних диференційних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. З формули (3.54) для зміщення х легко отримати вирази для похідних

,

.

Якщо намалювати “векторну” або “фазову” діаграму (мал. 3.25а), відклавши на ній амплітудні значення всіх доданків у рівнянні (3.53) з урахуванням зсуву їх фаз, то очевидно, що векторна сума трьох доданків у лівій частині (3.53) повинна дорівнювати амплі­тудному значенню виму­шу­­ючої сили, тобто . Звідси безпосередньо випливає формула (3.55) для амплітуди А, так само як і формула (3.56) для tgj.

Мал. 3.25а.Векторна діаграма для визначення амплітуди A і початкової фази j0.

Таким чином, якщо на тіло, яке коливається, діє зовніш­ня періодична сила з частотою W, то тіло здійснює коливан­ня з тією ж частотою, причому амплітуда коливань залежить від амплітуди і частоти зовнішньої сили, від коефіцієнта затухання, від пружних властивостей системи і маси тіла, яке коливається. Такі коливання називають вимушеними.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти