Функції купівельного попиту (далі будемо називати їх просто функціями попиту) називаються функції, що відбивають залежність обсягу попиту на окремі товари і послуги від комплексу факторів, що впливають на нього. Такі функції застосовуються в аналітичних моделях попиту і споживання і будуються на основі інформації про структуру доходів населення, ціни на товари, склад сімей та інших факторах. Розглянемо побудову функцій попиту в залежності від двох факторів - доходу і цін.

Нехай в моделі (8.1) ціни та дохід розглядаються як змінні параметри. Змінну доходу будемо позначати Z. Тоді рішенням оптимізаційної задачі (8.1) буде векторна функція Y⁰ = Y⁰ (Р, Z), компонентами якої є функції попиту на певний товар від цін і доходу:у=fi(p,Z)

Розглянемо окремий випадок, коли вектор цін залишається незмінним, а змінюється тільки дохід. Для двох товарів цей випадок представлений на рис. 8.3. Якщо по осі абсцис відкласти кількість одиниць товару y_1, яке можна придбати на наявний дохід Z (точка В), а по осі ординат - те ж саме для товару у₂ (точка А),то пряма лінія АВ, називається бюджетною лінією, показує будь-яку комбінацію обсягів цих двох товарів, яку можна придбати за суму грошей Z. При збільшенні доходу бюджетні лінії переміщаються паралельно самим собі, віддаляючись від початку координат. Разом з ними переміщуються відповідні криві байдужості. Точками оптимуму попиту споживачів для відповідних розмірів доходу в даному випадку точки дотику М₁, М₂, М₃. При нульовому доході попит на обидва товару нульовий. Крива, яка з'єднує точки О, М_ь М₂, М₃, є графічним відображенням векторної функції попиту від доходу при заданому векторі цін.

Однофакторніфункціїпопитувід доходу широко застосовуються при аналізікупівельногопопиту. Відповідніцимфункціямкриві у_i= f_i(Z) називаютьсякривимиЕнгеля .Формицихкривих для різнихтоварівможуть бути різні. Якщо попит на даний товар зростаєприблизнопропорційно доходу, то функція буде лінійною. Такий характер має, наприклад, попит на одяг, фрукти та ін Крива Енгеля для цьоговипадку представлена на рис. 8.4, а.Якщо по мірізростання доходу попит на данугрупутоварівзростає все більшвисокими темпами, то крива Енгеля буде опуклою (рис. 8.4, б

Якщозростаннязначеньпопиту, починаючи з певного моменту, по мірінасиченняпопитувідстаєвідзростання доходу, то крива Енгелямаєвиглядувігнутою кривою (рис. 8.4, в Той же принцип розмежуваннягруптоварів за типами функційпопитувід доходу використавшведськийекономіст Л. Торнквіст, якийзапропонувавспеціальнівидифункціїпопиту (функціїТорнквіста) для трьохгруптоварів: першоїнеобхідності, другоїнеобхідності, предметирозкоші.

Функціїрегресії, якізалежатьвіддвохпараметрів

При обробціекспериментальнихданих і побудовіматематичних моделей використовуютьтеоріюкореляційно-регресійногоаналізу (theoryofcorrelationandregressionanalysis).

Регресійнийаналіз (regressionanalysis) встановлюєматематичну модель, щозв'язуєзалежнузмінну у с досліджуваноїзмінної х, тобтодозволяєотриматизалежністьвиду -рівнянняпарноїрегресії.

Значеннязмінної у можезалежативідразувіддекількохзмінних . У результатіобробки таких статистичнихданихможнаотриматизалежністьвиду -рівняннямножинноїрегресії. Всірівняннярегресіїподіляються на лінійні і нелінійні.

Функцію, апроксимуючудосвідченідані, називають теоретичною функцією. При парнійзалежностіекспериментальніданіможуть бути апроксимовані за допомогоюнаступнихфункцій:

- прямою лінією ;

- параболою другого порядку ;

- гіперболою ;

- логарифмічноюфункцією ;

- степеневоюфункцією ;

- показовоюфункцією ;

- арифметичноюпрогресією ;

- геометричноюпрогресією ;

- алгебраїчнимполіномом, тобто рядом Маклорена:

(2.1)

в якомукоефіцієнти ряду визначаються за формулами:

і т.д.;(2.2)

Для двухфакторноїрегресійноїзалежностідосвідченіданіможутьапроксимувалинаступнимифункціями:

- площиною ;

- параболоїдом другого порядку ;

- гіперболоїдом і т.д.

Парна та множиннарегресія

Сенсрегресійногоаналізу - побудовафункціональнихзалежностейміждвомагрупамизміннихвличин Х 1 , Х 2 , ... Х р і Y. При цьомумовайде про впливзмінних Х (цебудутьаргументифункцій) на значеннязмінної Y (значенняфункції). Змінні Х ми будемоназивати факторами, а Y - відгуком.

Найбільшпростийвипадок - встановленнязалежності одного відгуку y від одного фактора х. Такийвипадокназивається парною (простий) регресією.

Парна регресія - рівняннязв'язкудвохзмінних у і x

де у - залежназмінна (результативна ознака);

х - незалежна, пояснюючазмінна (ознака-фактор).

Розрізняютьлінійні і нелінійнірегресії.

Лінійнарегресія:.

Нелінійнірегресіїділяться на два класи: регресії, нелінійніщодовключених в аналізпояснюютьзмінних, але лінійні за оцінюваним параметрам, і регресії, нелінійні по оцінюваним параметрам.

Як відомо, більшістьсоціально-економічнихпоказниківформується підвпливом не одного, а багатьохфакторів. Метод побудовимоделі такого зв'язкумаєназвубагатофакторногокореляційно-регресійногоаналізу. В цьомувипадку результативна ознака (Y )пов'язується з допомогоюрівняннямножинноїрегресії з двомаабобільшефакторнимиознаками (Х1, Х2, Х3, . . . , Хm).

Найважливішимиумовамипобудовибагатофакторноїмоделізв'язку є достатнякількістьодиниць у сукупності( якмінімум у 8 разівбільше, ніж число факторів) та відсутністьмультиколінеарностіфакторів (близького до функціональногозв'язкуміж ними). В тому випадку, якщо два факторнихпоказникимультиколінеарні, один з них повинен бути виключений з моделі.

На практицівикористовуються два видирівняньмножинноїрегресії:

лінійне (адитивне):

- нелінійне (мультиплікативне):

де а0, а1, а2, ... ,аm – параметрирівняннямножинноїрегресії;

Х1, Х2,Х3,. . ., Хm - факторніознаки.

13.Багатофакторні виробничі функції.

У реальному житті в межах конкретних технологій підприємець прагне знайти найкраще поєднання чинників виробництва, з тим щоб досягти найбільшого виходу продукції. Кожна фірма має свою виробничу функцію, яка характеризує технологічний спосіб виробництва, вибраний фірмою. Функція виробництва описує те, що можливо здійснити технічно за умови, що фірма діє ефективно.

Перше поняття виробничої функції пов’язане з математичним моделюванням технологічної залежності між обсягом продукції, що випускається, і кількісними характеристиками витрат ресурсів. Звідси і назва функції «виробнича». Уперше така функція була побудована американськими дослідниками Коббом і Дугласом

В економіко-математичному моделюванні широко використовують багатофакторні виробничі функції.

Один із найбільш раціональних способів переходу від двофакторних до багатофакторних функцій полягає в наступному: двофакторна функція y= ȹ₁(x₁,x₂) . Аргумент x₂ цієї функції розглянемо як узагальнений показник, що залежить також від двох інших факторів x₃, x₄: x₂=(x₃,x₄) , де ȹ ₂ – деяка функція. Підставляючи цей вираз у формулу, отримаємо трифакторну функцію: y= ȹ₁(x₁, ȹ ₂(x_3,x₄)) , що виражає залежність показника від аргументів x₁, x₃, x₄ .

Цей процес можна продовжити, вважаючи, зокрема, що х₃, у свою чергу, залежить від деяких чинників. У загальному вигляді: якщо задано (п–1) двофакторних функцій: ȹ₁(x₁,x₂) ȹ₂(x₃,x₄),…, ȹ_n_-1(x₂_n_-3,x₂_n_-2) ,то дістанемо n-факторну функцію: y=f(x₁,…,x_n), у результаті послідовної підстановки їх. Операція такої підстановки (суперпозиції) має очевидний економічний сенс: другий аргумент, наприклад двофакторної функції, послідовно подається у вигляді залежності від показників нижчих (деталізованих) рівнів.

Виробнича функція свідчить, що існує багато варіантів виробництва певного обсягу продукції за рахунок певного набору факторів виробництва.

Поліпшення технологічних параметрів, що максимально збільшують обсяг виробництва певного виду продукції, завжди відображається у новій виробничій функції.

1 2 345