ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Оцінювання параметрів моделі методом найменших квадратів у випадку лінійної та квадратичної функції регресії.

Метод найменших квадратів — метод знаходження наближеного розв'язку надлишково-визначеної системи. Часто застосовується в регресійному аналізі. На практиці найчастіше використовується лінійний метод найменших квадратів, що використовується у випадку системи лінійних рівнянь. Зокрема важливим застосуванням у цьому випадку є оцінка параметрів у лінійній регресії, що широко застосовується уматематичній статистиці і економетриці.

Використання квадратичної моделі[ред. • ред. код]

Важливо, у методі лінійних найменших квадратів ми не обмежені використанням лінії як моделі як у попередньому прикладі. Наприклад, ми могли вибрати обмежену квадратичну модель . Ця модель все ще лінійна в сенсі параметру , отже ми все ще можемо здійснювати той самий аналіз, будуючи систему рівнянь з точок даних:

Часткові похідні щодо параметрів (цього разу лише одного) знов обчислені і прирівняні до 0:

і розв'язані

що призводить до вислідної найпідхожої моделі

Лінійний випадок[ред. • ред. код]

Одна незалежна змінна[ред. • ред. код]

Нехай маємо лінійну регресію зі скалярною змінною x:

а також вибірку початкових даних розміру M. Тоді

Множинна регресія (випадок багатьох незалежних змінних)[ред. • ред. код]

Для надлишково-визначеної системи m лінійних рівнянь з n невідомими

чи в матричній формі запису:

зазвичай не існує точного розв'язку, і потрібно знайти такі β, які мінімізують наступну норму:

Такий розв'язок завжди існує і він є єдиним:

хоч дана формула не є ефективною через необхідність знаходити обернену матрицю.

Виведення формули[ред. • ред. код]

Значення досягає мінімуму в точці в якій похідна по кожному параметру рівна нулю. Обчислюючи ці похідні одержимо:

де використано позначення

Також виконуються рівності:

Підставляючи вирази для залишків і їх похідних одержимо рівність:

Дану рівність можна звести до вигляду:

або в матричній формі:


Означення матриці. Основні види матриць

Означення 1. Матрицею розміру називається прямокутна таблиця, складена із чисел вигляду , розміщених в рядках і стовпцях, яка позначається

Скорочено пишуть . Зустрічаються також позначення

числа називаються елементами матриці.

Означення 2. Дві матриці А і В однакових розмірів називаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні елементи, . Позначається

Розглянемо основні види матриць.

Нульовою називається матриця розміру , всі елементи якої дорівнюють нулю.

Квадратною називається матриця, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців . У цьому випадку говорять, що матриця має порядок (замість розміру ).

Діагональною називається така квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі відмінні від нуля, а всі решта елементів дорівнюють нулю, позначається

Діагональна матриця, в якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею, і позначається

Матриця що складається з одного стовпця називається матрицею-стовпцем

.

Аналогічно, матриця-рядок складається з одного рядка

Звернемо увагу, що ряд факторів пов’язаних з поняттям матриці для багатьох так чи інакше могли бути відомими ще до знайомства з самим терміном.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Відомість на отримання стипендії для 20 студентів є прикладом матриці розміром 20х1, елементами якої є розмір стипендії кожному.

Приклад 2. У відомості на зарплату бригаді для 15 робітників можуть бути вказані суми: нарахована, утримана і до оплати. Дані цієї відомості теж представляють матрицю розміру 15х3.

Приклад 3. При виконанні робіт в шахті (метро, тунелі) по проходці можна виділити два основних види робіт: виїмка породи (сюди входить буріння шпурів, заряжання, зривання, прибирання породи) і кріплення. Обидва види робіт при сталій площі поперечного перетину можуть вимірюватись в погонних метрах. Припустимо, що протягом доби кожна із трьох змін добилися таких результатів:

 

Зміни Виїмка (в м) Кріплення (в м)
І-а зміна
ІІ-а зміна
ІІІ-я зміна

 

Ці результати можна записати у вигляді матриці розміром 3х2:


 

Коефіціент еластичності

Коефіцієнт еластичностіпоказує ступінь кількісного зміни одного чинника (наприклад, обсягу попиту чи пропозиції) при зміні іншого (ціни, доходів чи витрат) на1%. Еластичність попиту або пропозиціїобчислюється як відношення процентної зміни величини попиту (пропозиції) до процентному зміни якої-небудь детермінанти.

Детермінанти- це фактори, що впливають на попит або пропозиція.

Різні товари розрізняються між собою за ступенем зміни попиту під впливом того чи іншого фактора. Ступінь реакції попиту на ці товари піддається кількісному вимірюванню за допомогою коефіцієнта еластичності попиту.

Поняття еластичності попиту розкриває процес адаптації ринку до зміни основних факторів (ціни товару, ціни товару аналога, доходу споживача).

При підрахунку коефіцієнта еластичності використовують два основних методи: метод дугової еластичності і метод точкової еластичності.

Дугова еластичність- це показник середньої реакції попиту на зміну ціни, вираженої кривої попиту.

Еластичність по дузізастосовується при вимірюванні еластичності між двома точками на кривій попиту або пропозиції і передбачає знання первинних і наступних рівнів цін і обсягів продукту (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Дугова еластичність

Дугова еластичність розраховується за формулою

де Р - початкова ієна;

Р2 - нова ієна;

З] - початковий обсяг;

02 - новий обсяг.

Використання формули дугової еластичності дає лише приблизне значення еластичності, і похибка буде тим більше, чим більш опуклою буде дуга АВ.

Точкова еластичність- еластичність, виміряна в одній точці кривої попиту або пропозиції.

Точкова еластичність являє собою точний показник чутливості попиту чи пропозиції до змін цін, доходів та інших факторів. Вона відображає реакцію попиту або пропозиції на нескінченно незначна зміна цін, доходів і т. д. Нерідко виникає ситуація, коли необхідно знати еластичність на певній ділянці кривої, що відповідає переходу від одного стану до іншого. У цьому варіанті зазвичай функція попиту або пропозиції не задана (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Точкова еластичність

Щоб визначити еластичність за ціною Р, слід встановити нахил кривої попиту в точці А, тобто нахил дотичної (І) до кривої попиту в цій точці. Якщо приріст ціни (ОР) незначний приріст обсягу 040, визначається дотичною 1£, наближається до дійсного.

Формула точкової еластичності представляється таким чином:

Якщо абсолютне значення Е більше одиниці, то попит буде еластичним. Якщо абсолютне значення Е менше одиниці, але більше нуля - попит нееластичний.

Точкова еластичність скрізь є постійною величиною: вздовж лінії попиту і пропозиції.

Для переважної більшості товарів залежність між ціною і попитом зворотна, тобто коефіцієнт виходить негативним. Мінус звичайно прийнято опускати, і оцінка проводиться по модулю. Проте зустрічаються випадки, коли коефіцієнт еластичності попиту виявляється позитивним (наприклад, це характерно для товарів Гіффена).

Товар Гіффена - це товар, споживання якого (при інших рівних умовах) збільшується при підвищенні ціни (тобто ефект заміщення від зміни ціни переважається дією ефекту доходу).

При дотриманні інших рівних умов споживання таких товарів відображає позитивний нахил кривої попиту. Для більшості товарів підвищення ціни веде до зниження їх споживання (наприклад, при зростанні цін на м'ясо населення купує менше м'яса, замінюючи його рибою, грибами і т. д.). У товару Гіффена все навпаки - при зростанні цін на картоплю люди починають купувати більше картоплі, але менше, наприклад, м'яса. У цьому полягає парадокс Гіффена: при підвищенні цін на певні види товару (в основному першої необхідності) їх споживання збільшується за рахунок економії на інших товарах.

Всі товари Гіффена - малоцінні, але займають в споживацькому бюджеті значне місце, для них відсутня рівнозначний товар-замінник. Цінних товарів в цій категорії не буває. Так, наприклад, товарами Гіффена в Росії є кетчуп і майонез, в Китаї - рис і соєвий соус. Зазвичай такі товари виявляються в умовах нестабільності (кризові загрози, нестабільні доходи, різкі інституційні зміни тощо). Але надійне їх дослідження потребує вивчення "інших рівних умов", що здійснюється далеко не завжди.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти