ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Побудова економетричної моделі на основі покрокової регресії

 

Оцінювання параметрів економетричної моделі та її дисперсійний аналіз становлять загальний процес побудови моделі. Поєднання цих частин зумовило появу альтернативного методу оцінювання параметрів моделі 1МНК, який базується на елементах дисперсійного аналізу.

При елементарному тлумаченні взаємозв’язку між двома змінними за допомогою 1МНК увагу, як правило, акцентують на коефіцієнтах кореляції. Причому неважко показати, що

,

де – парний коефіцієнт кореляції між та ; – середньоквадратичне відхилення залежної змінної; – середньоквадратичне відхилення незалежної змінної.

Отже, оцінка параметрів моделі прямо пропорційна до коефіцієнта парної кореляції. Аналогічні співвідношення виконуються і в загальному випадку.

А це означає, що оцінити параметри моделі можна через коефіцієнти кореляції: спочатку оцінити тісноту зв’язку між кожною парою змінних, а потім знайти оцінки параметрів економетричної моделі.

Оскільки коефіцієнти парної кореляції та співвідношення між ними і оцінками параметрів моделі базуються на дисперсіях та середніх квадратичних відхиленнях, то побудову економетричної моделі через коефіцієнти парної кореляції доцільно розглянути в дисперсійному аналізі моделі.

Залежність оцінок параметрів економетричної моделі і коефіцієнтів парної кореляції покладено в основу алгоритму покрокової регресії.

Опишемо цей алгоритм.

Крок 1-й. Усі вихідні дані змінних стандартизуються (нормалізуються):

де – нормалізована залежна змінна; – нормалізовані незалежні змінні; – середнє значення j-ї незалежної змінної; – середнє значення залежної змінної; , – середньоквадратичні відхилення.

При цьому середні значення і дорівнюють нулю, а дисперсії – одиниці.

Крок 2-й. Знаходиться кореляційна матриця (матриця парних коефіцієнтів кореляції):

де – парні коефіцієнти кореляції між залежною і незалежними змінними,

– кількість спостережень; – парні коефіцієнти кореляції між незалежними змінними,

Крок 3-й. На підставі порівняння абсолютних значень вибираються Найбільше вказує на ту незалежну змінну, яка найтісніше пов’язана з y. На цьому кроці на основі 1МНК знаходиться оцінка параметра цієї змінної в моделі:

,

де – оцінка параметра моделі, яка будується на основі стандартизованих даних.

Крок 4-й. Серед інших значень вибирається і в модель вводиться наступна незалежна змінна:

Якщо немає обмеження на внесення до економетричної моделі кожної наступної незалежної змінної, то обчислення виконуються доти, поки поступово не будуть внесені до моделі всі змінні.

Сума квадратів залишків для такої моделі запишеться так:

Звідси мінімізації підлягає:

.

Узявши похідну за кожною невідомою оцінкою параметрів цієї функції і прирівнявши всі здобуті похідні до нуля, дістанемо систему нормальних рівнянь.

Система нормальних рівнянь для знаходження оцінок параметрів моделі в загальному вигляді запишеться так:

Позначимо матрицю парних коефіцієнтів кореляції між незалежними змінними через , а вектор парних коефіцієнтів кореляції між залежною і незалежними змінними через . Тоді система нормальних рівнянь набере вигляду:

А оператор оцінювання параметрів:

Оскільки всі змінні виражені в стандартизованому масштабі, то параметри показують порівняльну силу впливу кожної незалежної змінної на залежну: чим більше за модулем значення параметра , тим сильніше впливає -та змінна на результат.

Зв’язок між оцінками параметрів моделі на основі стандартизованих і нестандартизованих змінних запишеться так:

 

5.8. Коефіцієнти множинної кореляції та детермі­нації

 

Корисною мірою ступеня відповідності побудова­ної регресії фактичним даним є коефіцієнт множинної кореляції, який визначається як кое­фіцієнт кореляції між та , тобто:

Квадрат коефіцієнта множинної кореляції нази­вають коефіцієнтом детермінації і позначають . Числове значення коефіцієнта детермінації характеризує, якою мірою варіація залежної змінної визначається варіацією незалежних змінних. Чим ближчий він до одиниці, тим більше варіація залежної змінної визначається варіацією незалежних змінних.

Можна показати, що й у випадку багатофакторної ре­гресії коефіцієнт детермінації можна подати у вигляді:

, .

 

5.10. Коефіцієнт детермінації та оцінений кое­фіцієнт детермінації

 

Важливою властивістю коефіцієнта детермінації є те, що він – не спадна функція від кількості факторів, які входять до моделі. Якщо кількість фак­торів зростає, також зростає і ніколи не зменшуєть­ся. Тобто, якщо ми додаємо новий фактор в регресійну модель, це тільки збільшує значення , що випли­ває з його визначення:

У цьому виразі знаменник не залежить від кількості факторів, тоді як чисельник, навпаки, залежить. Інтуїтивно зрозуміло, що якщо кількість факторів зростає, сума квадратів відхилень спадає (або принаймні не зростає). Якщо ми будемо порівнювати дві регресійні моделі з однаковою залежною змінною, але різною кількістю факторів , то, звичайно, віддамо перевагу тій, яка має більше значення .

Якщо ми хочемо порівняти значення коефі­цієнтів детермінації в різних моделях, ми повинні взяти до уваги кількість факторів у моделях. Для цього вводиться оцінений або скоригований за Тейлом коефіцієнт детермінації, який має вигляд:

де - кількість параметрів регресійної моделі, вклю­чаючи перетин.

Можна показати, що та пов’язані між собою такою ззалежністю:

З останнього виразу зразу ж випливає: якщо > 1, то < . Крім того, якщо кількість факторів зростає, оцінений коефіцієнт детермінації зменшується порівняно з не оціненим коефіцієнтом. Оцінений коефіцієнт детермінації може бути і від’ємним на відміну від , який має завжди додатне значення. Крім того, коли , оцінений коефіцієнт кореляції також дорів­нює одиниці. Коли прямує до від’ємної величини, прямує до нуля.

 

5.10. Перевірка моделі на адекватність за F - кри­терієм Фішера

 

Для перевірки адекватності багатофакторної ре­гресійної моделі, як і у випадку простої лінійної мо­делі, використовується -критерій Фішера.

При цьому нуль-гіпотеза узагальнюється і має вигляд:

проти альтернативної гіпотези – хоча б одне значення відмінне від нуля.

Якщо нуль-гіпотеза неправильна, то тоді пра­вильна гіпотеза , тобто не всі параметри незначно відрізняються від нуля, що дає підставу вважати, що побудована регресійна модель відповідає дійсності, тобто адекватна.

Розраховується -статистика Фішера з та ступенями вільності:

В цій формулі – кількість спостережень та кількість параметрів відповідно.

Фактичне значення даного критерію порівнюється з критичним для заданого рівня значимості . Якщо > , то зі ймовірністю ми стверджуємо, що побудована нами модель є адекватною. Або навпаки, якщо < .

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти