ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Пряма лінія в афінній системі координат

Пряма лінія в афінній системі координат

 

Будь-який вектор, відмінний від нуль-вектора, називається направляючим вектором прямої, якщо він паралельний до даної прямої. Сукупність всіх направляючих векторів конкретної прямої а утворює одновимірний векторний простір.

Пряму лінію на площині в афінній системі координат можна задати точкою і направляючим вектором, або двома точками.

Розглянемо різні рівняння прямої в афінній системі координат (О, , ).

1.Рівняння прямої за точкою і направляючим вектором:

Нехай в афінній системі координат (О, , ) задано точку М0(x0,y0), та направляючий вектор =(α,β) прямої а (рис.18). Потрібно знайти рівняння прямої а. Виберемо на прямій довільну точку М(x,y). Тоді =(x-x0, y-y0); || , отже, їх координати пропорційні:

= . (23)

Отримане рівняння називається канонічним рівнянням прямої. Його можна записати

= 0 (23¢)

2. Параметричні рівняння прямої:

Як і в попередньому випадку пряму задано точкою М0(x0,y0), та направляючим вектором =(α,β). Для довільної точки М прямої || , за теоремою 1 = t· . Перейдемо до координат:

x – x0= t·α, y – y0= t·β; отримаємо параметричні рівняння прямої:

. (24)

Приклад 18.

Записати параметричні рівняння прямої, яка проходить через точки А(4,-3) і В(-2,5).

Розв’язання:За направляючий вектор прямої можна взяти а краще За точку, яка належить прямій візьмемо, наприклад, точку А. Отримаємо:

3. Рівняння прямої за двома точками.

Дано дві точки прямої М1(x1,y1) та М2(x2,y2) (рис.19). Тоді вектор буде направляючим для прямої М1М2. Аналогічно попередньому розглянемо довільну точку М(x,y) цієї прямої. Тоді = (x2–x1, y2–y1), =(x–x1, y–y1). Так як вектори і колінеарні, то за теоремою 7 їх координати пропорційні і отримаємо рівняння прямої за двома точками:

= (25)

4. Рівняння прямої у відрізках на осях.

Нехай пряма а не проходить через початок системи координат. Тоді вона перетинає вісі координат у точках А та В, які відповідно мають координати А(а,0), В(0,b) (рис.20). Скориставшись рівнянням (25) отримаємо: = , або , bx – ba = – ay ,

bx+ay = ab. Так як а і b не рівні нулю, то розділивши обидві частини рівності на ab, отримаємо рівняння прямої „у відрізках”:

+ =1, (26)де а і b направлені відрізки на осях системи координат (можуть бути і від¢ємними).

Приклад 19.

Записати рівняння прямої „у відрізках”.

Розв’язання:

5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай в афінній системі координат задана пряма а, яка перетинає вісь ординат і проходить через точку М0(x0,y0), та має направляючий вектор =(α,β) (рис.21).

Число називається кутовим коефіцієнтом прямої а.

Покажемо, що кутовий коефіцієнт не залежить від вибору направляючого вектора. Нехай пряма а має ще один направляючий вектор 1= (α11). Тоді || 1 і за теоремою 1 1 = t , або в координатах11)=t(α,β), і , тобто кутовий коефіцієнт не залежить від направляючого вектора. Поділивши обидві частини рівності (23¢) на α отримаємо:

y – y0=k (x – x0) (27)

Якщо за точку М взяти точку перетину прямої з віссю ординат – В(0,b), то рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом приймає вигляд:

. (27¢)

Якщо пряма задана в прямокутній системі координат, то кутовий коефіцієнт k має простий геометричний зміст: β = | | sin φ, α = | | cos φ, тому k = tgφ, де φ – кут нахилу прямої до вісі ОX. Отже, k = tgφ дає можливість знаходити кут нахилу прямої до вісі ОX.

6. Загальне рівняння прямої

Всі отримані нами рівняння прямої є рівняннями першої степені від двох змінних, тобто їх можна записати загальним рівнянням:

Ax+By+C=0. (28)

Постає питання: чи всяке рівняння вигляду (28) визначає пряму лінію на площині?

Теорема 14.

Рівняння Ax+By+C=0,(де А і В не рівні нулю одночасно) в афінній системі координат на площині визначає пряму лінію. Причому вектор = (–В, А) є направляючим вектором цієї прямої.

Доведення:

Очевидно, що існує точка М(x0, y0), координати якої задовольняють рівняння (28). Отже, Аx0+Вy0+С=0. Звідси

С = – Аx0 – Вy0. Підставивши значення С в рівність (28), отримаємо:

Аx+Вy–Аx0–Вy0=0, або А(x–x0)+В(y–y0)=0. Отримали рівняння прямої вигляду (23¢), де координати направляючого вектора

α = – В, а β = А. Отже, рівняння (28) визначає пряму, яка проходить через точку М(x0, y0) і має направляючий вектор

=(–В,А).

Приклад 20.

Записати загальне рівняння прямої:

Розв’язання: 1-й спосіб:Виключимо параметр t з рівнянь. Для цього домножимо перше рівняння на 3, друге на (-2) і, склавши їх почленно, отримаємо або

2-й спосіб:Дана пряма проходить через точку М(-1,2) і має направляючий вектор Скористаємось канонічним рівнянням прямої: , або

Приклад 21.

Дано кут ACB, де A(4, 6), B(0, -5), C(-2, 2). Які з точок

(3, 0); (-6, 5); (4, 3) належать внутрішній частині кута?

Розв’язання:Запишемо рівняння прямих AC і BC (використаємо рівняння прямої за двома точками).

AС: або

BC: або .

Вкажемо нерівності, які визначають внутрішню частину кута ACB. Розглянемо тричлен Точка B відносно прямої AC лежить в тій півплощині що й внутрішня частина кута. Отже, підставивши її координати в тричлен і визначимо необхідну нерівність: . Маємо: Аналогічно, точка A для тричлена і Таким чином, внутрішню частину кута ACB визначає система:

Перевіримо, які з даних точок належать внутрішній частині кута (їх координати повинні задовольняти систему нерівностей). Отже, точка належить внутрішній частині кута. тому точка не належить внутрішній частині кута. Аналогічно належить внутрішній частині кута.

 

Теорема 15.

Для того щоб рівняння (*) і (**) визначали одну і ту ж саму пряму, необхідно і досить, щоб коефіцієнти A1, B1, C1 і A2, B2,C2 в цих рівняннях були пропорційні.

Доведення:

Нехай рівняння (*) і (**) визначають одну і ту ж пряму.

Згідно теореми 14 вектори 1=(-В11) і 2=(-В22) – направляючі вектори цих прямих, а значить 1|| 2, і за теоремою 7, їх координати пропорційні: 2=λ(-В1), А2=λ(А1). Нехай точка М0 (x0, y0) належить прямій, тоді A1 x0+B1 y0+C1=0 і

A2x0+B2y0+C2=0. Враховуючи, що А2=λ(А1), В2=λ(В1), отримаємо: С2=(-A2x0 -B2y0)=-λ(A1x0+B1y0)= -λС1. Отже, всі коефіцієнти пропорційні: В2=λВ1, А2=λА1, С2=λС1.

І навпаки, нехай в рівняннях (*) і (**) коефіцієнти пропорційні: В2=λВ1, А2=λА1, С2=λС1, причому λ≠0, тоді A2x+B2y+C2= =λA1x+λB1y+λC1=0.

Отже, останнє рівняння та рівняння (*) задають одну й ту ж пряму, бо якщо координати довільної точки задовольняють рівняння (*), то вони задовольняють і рівняння λA1x+λB1y+λC1=0. Теорему доведено.

З’ясуємо як розташовані на площині дві прямі

d1: A1x+B1y+C1=0 та d2: A2x+B2y+C2=0.

Розглянемо їх направляючі вектори: 1=(-В11) і 2=(-В22). Якщо вектори 1 і 2 не колінеарні, то, очевидно, що прямі d1 і d2 перетинаються. За теоремою 7 координати не колінеарних векторів не пропорційні: , або А1В2 – В1А2 ≠ 0. А це не що інше, як визначник: ≠0 – умова неколінеарності векторів.

Якщо вектори 1 і 2 колінеарні, то = 0 і прямі паралельні або співпадають. Отже:

1. Прямі d1 і d2 перетинаються тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при x та y в рівняннях (*), (**) непропорційні.

2. Прямі d1 і d2 паралельні тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при x та y в рівняннях (*), (**) пропорційні, а вільні члени не пропорційні до них.

3. Прямі d1 і d2 співпадають тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при x та y і вільні члени в рівняннях (*), (**) пропорційні.

Приклад 22.

Як розташовані прямі: а) і б) і ?

Розв’язання:а) отже, прямі паралельні

б) прямі перетинаються.

 

Пучки прямих

 

1. Множина всіх прямих площини, паралельних до даної прямої, включаючи і її називається пучком паралельних прямих. Так як для паралельних прямих можна взяти один і той же направляючий вектор =(-В,А), то пучок паралельних прямих задається рівнянням: Ax+By+t=0, де А і В деякі сталі, а t змінюється на множині дійсних чисел. Змінюючи параметр t, ми отримаємо множину паралельних прямих.

2. Множина прямих, що проходять через одну точку називається пучком прямих, що перетинаються,або просто пучком прямих. Його можна задати центром пучка, тобто точкою, через яку проходять всі прямі. Тоді рівняння пучка можна задати рівнянням (23´): = 0, де x0, y0 фіксовані, і являються координатами точки, а α та β змінюються і належать до множини дійсних чисел.

Пучок прямих, що перетинаються, можна задати і двома прямими, що перетинаються.

Розглянемо дві прямі d1: A1x+B1y+C1=0 та d2: A2x+B2y+C2=0.

Для того, щоб прямі перетиналися, потрібно щоб їх направляючі вектори 1= (-В1, А1) та 2= (-В2, А2) були неколінеарні. Тобто ≠ 0. У цьому випадку рівняння пучка прямих матиме вигляд

α(A1x+B1y+C1)+β(A2x+B2y+C2)=0, де α і β дійсні змінні, які не рівні нулеві одночасно. Взявши конкретні α і β, одержимо рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих d1 і d2. Змінюючи параметри α і β, отримаємо множину прямих, які проходять через точку перетину двох даних прямих.

Приклад 23.

В пучку знайти пряму, яка проходить через точку A(-2, 3).

Розв’язання:Так як точка А повинна належати шуканій прямій пучка, то її координати задовольнятимуть рівняння пучка: або і Покладемо, наприклад, тоді отримаємо: або

Відповідь:

 

Приклад 24.

Знайти координати точки, симетричної з точкою А(-3,-5) відносно прямої

Розв’язання:Знайдемо спочатку проекцію точки А на дану пряму. Для цього запишемо рівняння прямої, яка проходить через точку А, перпендикулярно до прямої Скористаємось рівнянням прямої за точкою А і нормальним вектором (за нормальний вектор візьмемо направляючий вектор даної прямої = (-В, А)). Отже, або

Проекцією точки А на пряму буде точка її перетину з прямою Щоб знайти точку перетину, розв’яжемо систему Отримали точку О(-1,1).

Для знаходження симетричної точки А´ скористаємося формулами ділення відрізка навпіл:

тому

Відповідь:

Відмітимо, що для прямої, заданої загальним рівнянням Ax+By+C=0, нормальний вектор = (А, В), так як він перпендикулярний до її направляючого вектора =(-В, А) ( · =0).

8. Нормальне рівняння прямої:

Нехай пряма лінія задана в прямокутній системі координат одиничним нормальним вектором 0=(cosφ, sinφ) і відстанню ρ від початку координат до прямої. Тоді ρ=|ОН| (рис.24). Знайдемо координати точки Н. Так як координати точки, це координати її радіус-вектора, то

0 = (ρ cosφ, ρ sinφ). Отже, Н(ρ cosφ , ρ sinφ).

Скориставшись рівнянням (29) отримаємо:

cosφ(x–ρcosφ)+sinφ(y–ρsinφ)=0, або

xcosφ+ysinφ – ρ=0 (30)

Очевидно, що для того, щоб із загального рівняння отримати нормальне рівняння, потрібно розділити його почленно на довжину нормального вектора ( таким чином ми отримаємо одиничний нормальний вектор 0 ), причому взяти цей дільник із знаком „+”, якщо вільний член С > 0 і знаком „–”, якщо С < 0.

Приклад 25.

Привести до нормального вигляду рівняння прямої

Розв’язання: Так як С> 0, то . Розділивши почленно задане рівняння на (-6), отримаємо нормальне рівняння: . Тут r=2, тому і нормальне рівняння можна записати у вигляді:

 

§ 27. Відстань від точки до прямої

Нехай в прямокутній системі координат задано пряму загальним рівнянням Ax+By+C=0 і точку М0(x0, y0). Необхідно знайти відстань d від точки до прямої.

Нехай Н – основа перпендикуляра, опущеного з точки М0 на пряму (рис.25). Тоді вектор колінеарний з нормальним вектором =(А,В) Розглянемо скалярний добуток векторів і : · =| |·| | cosφ. Так як кут φ між векторами і може бути як 0˚ так і 180˚, то cosφ = 1. Отже, · =| | |·| |. Звідси | |= . Перейдемо до координат. Нехай точка Н має координати: Н(x1,y1), тоді

=(x0 – x1, y0 – y1), · =А(x0 – x1)+В(y0 – y1)=Аx0+Вy0

–(Аx1+Вy1). Оскільки точка Н належить прямій, то її координати задовольняють рівняння прямої, отже, Аx1+Вy1= – С. Маємо: · =Аx0+Вy0. остаточно отримаємо:

(31)

Якщо ж пряма задана нормальним рівнянням, то очевидно, що відстань d знаходиться за формулою: d=|x0 cosφ+y0 sinφ–ρ|.

Приклад 26.

Написати рівняння кола, яке має центр в точці О(6,-3) і дотикається до прямої

Розв’язання:Рівняння кола з центром в точці має вигляд:

Так як координати центра відомі, залишається знайти радіус. Очевидно, що радіус кола рівний відстані від центра кола до дотичної, отже, за формулою (31):

Відповідь:

Приклад 27.

На прямій знайти точки, рівновіддалені від прямих і

Розв’язання:Знайдемо спочатку множину всіх точок рівновіддалених від даних прямих. (Це будуть бісектриси вертикальних кутів, утворених цими прямими).

За умовою задачі відстань від точки М до прямих рівна, отже,

або

Розв’язок задачі отримаємо, знайшовши перетин знайдених прямих з прямою

Отже, існують дві точки, які задовольняють умову задачі. Відповідь: А(-6,4), В(-1, ).

 

Кут між прямими

Кутом між прямими назвемо мінімальний кут між направляючими векторами цих прямих.

Нехай маємо дві прямі d1: A1x+B1y+C1=0 та d2: A2x+B2y+C2=0. Тоді 1=(-В1, А1) та 2=(-В2, А2) – їх направляючі вектори і за наслідком 10 знаходимо косинус кута між прямими:

(32) (так як cos(π–a) = – cosa, то для визначення мінімального кута чисельник необхідно брати по модулю).

Приклад 28.

Знайти кут між прямими і . Розв’язання:Розглянемо направляючі вектори даних прямих:

1=(-1, 3) і 2=(1, 2). Тоді

Отже, .

 

Приклад 29.

Дано вершини тетраедра А(4,0,2), В(0,5,1), C(4,-1,3), D(3,-1,5).

Записати: а) рівняння площини, яка проходить через ребро АВ і паралельна ребру СD; б) рівняння площини, яка проходить через вершину А паралельно грані ВСD.

Розв’язання: а).Використаємо рівняння площини за двома направляючими векторами і точкою. Направляючими будуть =(-4;5;-1) і =(-1;0;2), а за точку візьмемо, наприклад, точку А (4;0;2). Тоді рівняння площини, має вигляд:

Розкриємо визначник: 10( x – 4 ) + y +5(z – 2) + 8y = 0, або

10x + 9y + 5z – 50 = 0.

Отже, рівняння площини, що проходить через ребро АВ паралельно ребру СD має вигляд: 10x + 9y + 5z – 50 = 0.

б).Так як шукана площина проходить через т. А і паралельна грані ВСD, то за направляючі вектори можна взяти, наприклад, і . =(4;-6;2), =(-1;0;2).

Таким чином, знайдемо рівняння площини за двома направляючими векторами та точкою C(4,-1,3): . Розкриємо визначник: –12(x – 4) – 2(y + 1) –

– 6 (z – 3) – 8 (y + 1) = 0, або 6x + 5y + 3z + 30 = 0.

2. Рівняння площини, заданої трьома точками.

Нехай площина задана трьома точками, які не лежать на одній прямій М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3). Тоді можна скористатися рівнянням (33), поклавши = , = , а М01. Отримаємо:

= 0 (34)

3. Рівняння площини у відрізках (на осях):

Нехай площина відтинає на осях координат відрізки a, b і c відповідно. Тоді вона проходить через точки А(а,0,0), В(0,b,0) і С(0,0,с). Використавши рівняння (34), маємо:

=0, або після елементарних перетворень:

+ + =1. (35)

Відмітимо, що a, b і c направлені відрізки, тому вони можуть бути і від’ємні.

Приклад 30.

Написати “у відрізках” рівняння площини: 6x – 3y + 2z + 6 = 0.

Розв’язання:Зведемо дане рівняння до вигляду (35):

6х – 3y + 2z = – 6. Поділимо обидві частини цього рівняння на

(–6): Отже, рівняння “у відрізках” має вигляд:

4.Параметричні рівняння площини:

Нехай площина π задана направляючими векторами =(α111), =(α222) і точкою М0(x0,y0,z0). Виберемо на площині ще одну довільну точку М(x,y,z). Розглянемо вектор: =(x-x0,y-y0,z-z0). За теоремою 4 . Перейшовши до координат, отримаємо:

x-x0=λα1+μα2 x=λα1+μα2+x0,

y-y0=λβ1+μβ2, або y=λβ1+μβ2+y0, (36)

z-z0=λγ1+μγ2, z=λγ1+μγ2+z0,

де λ, μ параметри (λ,μ R).

5. Загальне рівняння площини:

Всі отримані нами рівняння площини – це рівняння першого степеня з трьома змінними, а тому їх можна записати загальним рівнянням Ax+By+Cz+D=0. (37)

Теорема 16.

Множина точок простору, координати яких в афінній системі координат задовольняють рівняння (37), де А, В і С не рівні нулю одночасно, являє собою площину, причому =(-В,А,0) і

=(-С,0,А) – направляючі вектори цієї площини.

Доведення:

Розглянемо рівняння (37), де А, В і С 0 одночасно. Його можна записати у вигляді: = 0. Отже, рівняння (37) рівносильне рівнянню площини вигляду (33), заданої двома направляючими векторами =(-В,А,0), =(-С,0,А) і точкою

М(- ;0;0).

Приклад 31.

Скласти загальне рівняння площини, заданої параметричними рівняннями:

Розв’язання:Для розв’язання задачі треба виключити параметри t1 і t2. Це можна зробити, наприклад, наступним чином: з першого рівняння знайдемо t1 = x – 4 + 2t2 і підставимо його в друге і третє рівняння. Отримаємо систему: .

Тепер, розв’язуючи цю систему, виключимо параметр t2: .

Домножимо перше рівняння на 7, а друге на 15 і складемо їх:

7y+15z = 68–10x+40 Þ 10x+7y+15z–108 = 0.

Відповідь:10x+7y+15z–108 = 0.

Задачу можна розв’язати й іншим способом. Так як з параметричних рівнянь легко знайти координати двох направляючих векторів площини (це коефіцієнти біля параметрів) і точки (її координати (4, –1, 5)), то рівняння шуканої площини отримаємо, скориставшись рівнянням (33).

Приклад 32.

Скласти параметричні рівняння площини 6x – 3y + z – 5 = 0.

Розв’язання:Будь-які дві з трьох змінних x, y, z можна прийняти за параметри. Нехай, наприклад, x = t1, y = t2, і з рівняння площини знайдемо z = – 6t1+3t2+5.

Відповідь: .

Приклад 33.

Знайти множину точок, рівновіддалених від точок А(2,-1,3) і В(4,5,-3).

Розв’язання:Множина точок рівновіддалених від А і В буде площиною, яка проходить через середину відрізка АВ, перпендекулярно до нього. За формулами ділення відрізка навпіл, знайдемо точку О – середину відрізка [АВ]:

Отже, точка О(3;2;0). За нормальний вектор можна взяти, наприклад, Скористаємося рівнянням (38):

(x – 3) + 3(y – 2) – 3z = 0, або x + 3y – 3z – 9 = 0.

7. Нормальне рівняння площини.

Нехай площина задана в прямокутній системі координат одиничним нормальним вектором і відстанню r від початку координат до площини. Нехай Н – основа перпендикуляра, опущеного із початку координат на площину. Знайдемо координати точки Н. Так як координатами точки назвали координати її радіус-вектора, то знайдемо координати вектора . Отже, координати точки Н (r cosa1, r cosa2, r cosa3). Використавши рівняння (38), отримаємо нормальне рівняння:

cosa1(x-rcosa1)+cosa2(y-rcosa2)+cosa3(z-rcosa3)=0 або

x cosa1+y cosa2+z cosa3 –r =0 (39).

 

 

Приклад 34.

На вісі ОY знайти точку, рівновіддалену від двох площин x + 2y – 2z – 1 = 0 і 3x + 5 = 0.

Розв’язання:Точка на вісі ОY має координати М(0;y;0). За умовою задачі, відстань від неї до двох даних площин рівна, отже, Звідки отже, y0 = 3 або y0 = -2.

Відповідь: М1 (0;3;0), М2 (0;-2;0).

Приклад 35.

Скласти рівняння множини точок, що знаходяться на відстані 3 від площини 6x–3y+2z – 14 = 0.

Розв’язання:Нехай шуканій множині належить т. М(x,y,z). За умовою задачі відстань від точки М до площини 6x–3y+2z–14=0 рівна 3. Використаємо формулу (40):

Отже, шукана множина точок, це пара площин, паралельних до даної.

 

Кут між площинами

Нехай дано дві площини α: A1x+B1y+C1z+D1=0 і

β: A2x+B2y+C2z+D2=0. Кут між площинами, це двогранний кут між ними. Він вимірюється відповідним лінійним кутом, який дорівнює куту між нормальними векторами даних площин.

Кутом між площинами називається мінімальний кут між їх нормальними векторами.

За наслідком 10, враховуючи, що кут φ між площинами мінімальний, отримаємо:

сos φ = (41)

 

Пучок і в’язка площин

Пучком паралельних площин називається сукупність усіх площин простору паралельних даній площині. Нехай дана площина має рівняння Ax+By+Cz+D=0. Очевидно, що тоді рівняння пучка паралельних площин має вигляд:

Ax+By+Cz+t=0,

де А, В, С деякі фіксовані числа, а t – довільне дійсне число, яке змінюється.

Пучком площин, що перетинаються, називається сукупність усіх площин простору, які проходять через одну пряму. Такий пучок можна задати двома площинами, що перетинаються:

α: A1x+B1y+C1z+D1=0 і β: A2x+B2y+C2z+D2=0 (їх нормальні вектори неколінеарні). У цьому випадку рівняння пучка площин, що перетинаються, має вигляд:

α(A1x+B1y+C1z+D1)+β(A2x+B2y+C2z+D2)=0,

де α, β – змінні (довільні дійсні числа).

В’язкою називається сукупність усіх площин простору, які проходять через дану точку М0(x0,y0,z0), яка називається центромв’язки. В’язку можна задати центром (точкою М0(x0,y0,z0)). Тоді рівняння в’язки матиме вигляд:

А(x-x0)+В(y-y0)+С(z-z0)=0,

де А, В, і С змінні (довільні дійсні числа).

В’язку можна задати і трьома площинами, які перетинаються в одній точці.

Нехай дано три площини α1: A1x+B1y+C1z+D1=0 ,

α2: A2x+B2y+C2z+D2=0 та α3: A3x+B3y+C3z+D3=0, які мають лише одну спільну точку. У цьому випадку їх нормальні вектори: 1, 2 і 3 не компланарні і рівняння в’язки матиме вигляд:

α(A1x+B1y+C1z+D1)+β(A2x+B2y+C2z+D2)+γ(A3x+B3y+C3z+D3)=0,

де α, β, γ – довільні дійсні числа, які змінюються.

Приклад 36.

Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А (3;-5;1), паралель

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти