ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Розміщення прямої відносно системи координат.

Загрузка...

 

Нехай в афінній системі координат (О, , ) пряма задана загальним рівнянням Ax+By+C=0 (28).

1. Якщо С=0, то рівняння (28) задовольняє точка О(0,0), тобто пряма проходить через початок координат.

2. Якщо А=0 то направляючий вектор прямої =(-В,0) колінеарний координатному вектору , отже пряма паралельна до осі ОX.

3. Якщо В=0 то направляючий вектор прямої =(0,А) колінеарний координатному вектору , отже пряма паралельна до осі ОY.

4. Якщо А=0 і С=0, то пряма паралельна до осі ОX і проходить через початок координат, отже це сама вісь ОX!

5. Якщо В=0 і С=0, то пряма співпадає з віссю ОY.

Для того щоб побудувати пряму, досить знати два елемента:

Направляючий вектор та деяку точку прямої (тоді будуємо точку і направляючий вектор і через точку проводимо пряму паралельну до вектора), або дві точки, які лежать на прямій (будуємо ці точки).

§ 23. Геометричний зміст знака Ax+By+C

Розглянемо многочлен Ax+By+C, де А і В не рівні нулю водночас. Якщо Ax+By+C=0, то ми маємо рівняння прямої а, яка розбиває площину на дві півплощини (рис.22). Розглянемо вектор 1=(А,В), він не паралельний до прямої а, так як не колінеарний до її направляючого вектора =(-В,А),

так як в противному випадку їх координати пропорційні: , або В22=0. Розв’язком цього рівняння є А=В=0, що суперечить умові.

Відкладемо вектор 1 від деякої точки Q0 прямої а. Позначимо кінець вектора через Q. Виберемо деяку точку М(x,y), яка не належить прямій а і розглянемо вектор || 1, де точка М0(x0,y0) належить прямій а (рис.22). Тоді, за теоремою 1 = t· 1 (1) . Якщо t >0, то вектори і t 1 колінеарні і точки М та Q лежать в одній півплощині. І навпаки, якщо t<0, то точки М та Q лежать в різних півплощинах. Вектор =(x–x0, y–y0), Перейдемо в рівності (1) до координат:

x–x0= t·А, y–y0=t·В, або x= t·А+x0, y=t·В+y0

Підставивши отримані вирази у многочлен Ax+By+C, отримаємо:

Ax+By+C=А(tА+x0)+В(tВ+y0)+С=A2t+Ax0+B2t+By0+C=

=(A2+B2)t+A x0+B y0+C. Так як точка М0(x0,y0) належить прямій, то її координати задовольняють рівняння прямої, тому Ax0+By0+C=0, і A2+B2>0, отже знак многочлена Ax+By+C цілком залежить від t.

Якщо t>0 то точки M і Q лежать в одній півплощині.

Отже, нерівність Ax+By+C>0 визначає відкриту півплощину, обмежену прямою а. Ясно, що нерівність Ax+By+C<0 визначає іншу півплощину, обмежену цією ж прямою а.

З попереднього випливає, що точки М1(x1,y1) і М2(x2,y2) лежать по одну сторону від прямої, заданої рівнянням Ax+By+C=0, якщо (Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0, якщо ж (Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0, то точки М1(x1,y1) і М2(x2,y2) лежать по різні сторони від прямої.

Приклад 21.

Дано кут ACB, де A(4, 6), B(0, -5), C(-2, 2). Які з точок

(3, 0); (-6, 5); (4, 3) належать внутрішній частині кута?

Розв’язання:Запишемо рівняння прямих AC і BC (використаємо рівняння прямої за двома точками).

AС: або

BC: або .

Вкажемо нерівності, які визначають внутрішню частину кута ACB. Розглянемо тричлен Точка B відносно прямої AC лежить в тій півплощині що й внутрішня частина кута. Отже, підставивши її координати в тричлен і визначимо необхідну нерівність: . Маємо: Аналогічно, точка A для тричлена і Таким чином, внутрішню частину кута ACB визначає система:

Перевіримо, які з даних точок належать внутрішній частині кута (їх координати повинні задовольняти систему нерівностей). Отже, точка належить внутрішній частині кута. тому точка не належить внутрішній частині кута. Аналогічно належить внутрішній частині кута.

 

Взаємне розташування двох прямих

 

1. Нехай задано дві прямі:

d1: A1x+B1y+C1=0 (*) та d2: A2x+B2y+C2=0 (**).

Теорема 15.

Для того щоб рівняння (*) і (**) визначали одну і ту ж саму пряму, необхідно і досить, щоб коефіцієнти A1, B1, C1 і A2, B2,C2 в цих рівняннях були пропорційні.

Доведення:

Нехай рівняння (*) і (**) визначають одну і ту ж пряму.

Згідно теореми 14 вектори 1=(-В11) і 2=(-В22) – направляючі вектори цих прямих, а значить 1|| 2, і за теоремою 7, їх координати пропорційні: 2=λ(-В1), А2=λ(А1). Нехай точка М0 (x0, y0) належить прямій, тоді A1 x0+B1 y0+C1=0 і

A2x0+B2y0+C2=0. Враховуючи, що А2=λ(А1), В2=λ(В1), отримаємо: С2=(-A2x0 -B2y0)=-λ(A1x0+B1y0)= -λС1. Отже, всі коефіцієнти пропорційні: В2=λВ1, А2=λА1, С2=λС1.

І навпаки, нехай в рівняннях (*) і (**) коефіцієнти пропорційні: В2=λВ1, А2=λА1, С2=λС1, причому λ≠0, тоді A2x+B2y+C2= =λA1x+λB1y+λC1=0.

Отже, останнє рівняння та рівняння (*) задають одну й ту ж пряму, бо якщо координати довільної точки задовольняють рівняння (*), то вони задовольняють і рівняння λA1x+λB1y+λC1=0. Теорему доведено.

З’ясуємо як розташовані на площині дві прямі

d1: A1x+B1y+C1=0 та d2: A2x+B2y+C2=0.

Розглянемо їх направляючі вектори: 1=(-В11) і 2=(-В22). Якщо вектори 1 і 2 не колінеарні, то, очевидно, що прямі d1 і d2 перетинаються. За теоремою 7 координати не колінеарних векторів не пропорційні: , або А1В2 – В1А2 ≠ 0. А це не що інше, як визначник: ≠0 – умова неколінеарності векторів.

Якщо вектори 1 і 2 колінеарні, то = 0 і прямі паралельні або співпадають. Отже:

1. Прямі d1 і d2 перетинаються тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при x та y в рівняннях (*), (**) непропорційні.

2. Прямі d1 і d2 паралельні тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при x та y в рівняннях (*), (**) пропорційні, а вільні члени не пропорційні до них.

3. Прямі d1 і d2 співпадають тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при x та y і вільні члени в рівняннях (*), (**) пропорційні.

Приклад 22.

Як розташовані прямі: а) і б) і ?

Розв’язання:а) отже, прямі паралельні

б) прямі перетинаються.

 

Пучки прямих

 

1. Множина всіх прямих площини, паралельних до даної прямої, включаючи і її називається пучком паралельних прямих. Так як для паралельних прямих можна взяти один і той же направляючий вектор =(-В,А), то пучок паралельних прямих задається рівнянням: Ax+By+t=0, де А і В деякі сталі, а t змінюється на множині дійсних чисел. Змінюючи параметр t, ми отримаємо множину паралельних прямих.

2. Множина прямих, що проходять через одну точку називається пучком прямих, що перетинаються,або просто пучком прямих. Його можна задати центром пучка, тобто точкою, через яку проходять всі прямі. Тоді рівняння пучка можна задати рівнянням (23´): = 0, де x0, y0 фіксовані, і являються координатами точки, а α та β змінюються і належать до множини дійсних чисел.

Пучок прямих, що перетинаються, можна задати і двома прямими, що перетинаються.

Розглянемо дві прямі d1: A1x+B1y+C1=0 та d2: A2x+B2y+C2=0.

Для того, щоб прямі перетиналися, потрібно щоб їх направляючі вектори 1= (-В1, А1) та 2= (-В2, А2) були неколінеарні. Тобто ≠ 0. У цьому випадку рівняння пучка прямих матиме вигляд

α(A1x+B1y+C1)+β(A2x+B2y+C2)=0, де α і β дійсні змінні, які не рівні нулеві одночасно. Взявши конкретні α і β, одержимо рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих d1 і d2. Змінюючи параметри α і β, отримаємо множину прямих, які проходять через точку перетину двох даних прямих.

Приклад 23.

В пучку знайти пряму, яка проходить через точку A(-2, 3).

Розв’язання:Так як точка А повинна належати шуканій прямій пучка, то її координати задовольнятимуть рівняння пучка: або і Покладемо, наприклад, тоді отримаємо: або

Відповідь:

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти