ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Пряма в прямокутній системі координат

 

Всі рівняння прямої (23) – (28), які ми отримали в афінній системі координат, мають місце і в прямокутній системі.

Виведемо ще два рівняння прямої, які пов’язані з поняттями перпендикулярності, і тому мають місце тільки в прямокутній системі координат.

Вектор називається нормальним вектором прямої, якщо він перпендикулярний до будь-якого її направляючого вектора.

7. Рівняння прямої, заданої точкою і нормальним вектором.

Нехай пряма d в прямокутній системі координат задана точкою М0(x0,y0), і нормальним вектором = (А,В). Виберемо довільну точку М(x,y) на прямій d (рис.23).

Тоді вектор =(x-x0, y-y0) перпендикулярний до вектора , отже, їх скалярний добуток · =0. Перейшовши до координат, отримаємо рівняння прямої:

А(x–x0)+В(y–y0)=0. (29)

Приклад 24.

Знайти координати точки, симетричної з точкою А(-3,-5) відносно прямої

Розв’язання:Знайдемо спочатку проекцію точки А на дану пряму. Для цього запишемо рівняння прямої, яка проходить через точку А, перпендикулярно до прямої Скористаємось рівнянням прямої за точкою А і нормальним вектором (за нормальний вектор візьмемо направляючий вектор даної прямої = (-В, А)). Отже, або

Проекцією точки А на пряму буде точка її перетину з прямою Щоб знайти точку перетину, розв’яжемо систему Отримали точку О(-1,1).

Для знаходження симетричної точки А´ скористаємося формулами ділення відрізка навпіл:

тому

Відповідь:

Відмітимо, що для прямої, заданої загальним рівнянням Ax+By+C=0, нормальний вектор = (А, В), так як він перпендикулярний до її направляючого вектора =(-В, А) ( · =0).

8. Нормальне рівняння прямої:

Нехай пряма лінія задана в прямокутній системі координат одиничним нормальним вектором 0=(cosφ, sinφ) і відстанню ρ від початку координат до прямої. Тоді ρ=|ОН| (рис.24). Знайдемо координати точки Н. Так як координати точки, це координати її радіус-вектора, то

0 = (ρ cosφ, ρ sinφ). Отже, Н(ρ cosφ , ρ sinφ).

Скориставшись рівнянням (29) отримаємо:

cosφ(x–ρcosφ)+sinφ(y–ρsinφ)=0, або

xcosφ+ysinφ – ρ=0 (30)

Очевидно, що для того, щоб із загального рівняння отримати нормальне рівняння, потрібно розділити його почленно на довжину нормального вектора ( таким чином ми отримаємо одиничний нормальний вектор 0 ), причому взяти цей дільник із знаком „+”, якщо вільний член С > 0 і знаком „–”, якщо С < 0.

Приклад 25.

Привести до нормального вигляду рівняння прямої

Розв’язання: Так як С> 0, то . Розділивши почленно задане рівняння на (-6), отримаємо нормальне рівняння: . Тут r=2, тому і нормальне рівняння можна записати у вигляді:

 

§ 27. Відстань від точки до прямої

Нехай в прямокутній системі координат задано пряму загальним рівнянням Ax+By+C=0 і точку М0(x0, y0). Необхідно знайти відстань d від точки до прямої.

Нехай Н – основа перпендикуляра, опущеного з точки М0 на пряму (рис.25). Тоді вектор колінеарний з нормальним вектором =(А,В) Розглянемо скалярний добуток векторів і : · =| |·| | cosφ. Так як кут φ між векторами і може бути як 0˚ так і 180˚, то cosφ = 1. Отже, · =| | |·| |. Звідси | |= . Перейдемо до координат. Нехай точка Н має координати: Н(x1,y1), тоді

=(x0 – x1, y0 – y1), · =А(x0 – x1)+В(y0 – y1)=Аx0+Вy0

–(Аx1+Вy1). Оскільки точка Н належить прямій, то її координати задовольняють рівняння прямої, отже, Аx1+Вy1= – С. Маємо: · =Аx0+Вy0. остаточно отримаємо:

(31)

Якщо ж пряма задана нормальним рівнянням, то очевидно, що відстань d знаходиться за формулою: d=|x0 cosφ+y0 sinφ–ρ|.

Приклад 26.

Написати рівняння кола, яке має центр в точці О(6,-3) і дотикається до прямої

Розв’язання:Рівняння кола з центром в точці має вигляд:

Так як координати центра відомі, залишається знайти радіус. Очевидно, що радіус кола рівний відстані від центра кола до дотичної, отже, за формулою (31):

Відповідь:

Приклад 27.

На прямій знайти точки, рівновіддалені від прямих і

Розв’язання:Знайдемо спочатку множину всіх точок рівновіддалених від даних прямих. (Це будуть бісектриси вертикальних кутів, утворених цими прямими).

За умовою задачі відстань від точки М до прямих рівна, отже,

або

Розв’язок задачі отримаємо, знайшовши перетин знайдених прямих з прямою

Отже, існують дві точки, які задовольняють умову задачі. Відповідь: А(-6,4), В(-1, ).

 

Кут між прямими

Кутом між прямими назвемо мінімальний кут між направляючими векторами цих прямих.

Нехай маємо дві прямі d1: A1x+B1y+C1=0 та d2: A2x+B2y+C2=0. Тоді 1=(-В1, А1) та 2=(-В2, А2) – їх направляючі вектори і за наслідком 10 знаходимо косинус кута між прямими:

(32) (так як cos(π–a) = – cosa, то для визначення мінімального кута чисельник необхідно брати по модулю).

Приклад 28.

Знайти кут між прямими і . Розв’язання:Розглянемо направляючі вектори даних прямих:

1=(-1, 3) і 2=(1, 2). Тоді

Отже, .

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти