ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Взаємне розташування трьох площин.

Загрузка...

Нехай три площини задані рівняннями:

α1: A1x+B1y+C1z+D1=0, α2: A2x+B2y+C2z+D2=0 та

α3: A3x+B3y+C3z+D3=0.

Можна виділити 8 випадків їх взаємного розташування:

1.Всі площини співпадають:

Тоді у всіх трьох рівняннях коефіцієнти біля змінних і вільні члени пропорційні.

2.Дві площини співпадають, третя їм паралельна:

У двох рівняннях коефіцієнти біля змінних і вільні члени пропорційні, а в третього коефіцієнти біля змінних пропорційні до перших двох, а вільні члени не пропорційні до них.

3.Три площини паралельні:

у всіх трьох рівняннях коефіцієнти біля змінних пропорційні, а вільні члени не пропорційні до них.

4.Дві співпадають, а третя їх перетинає:

У двох рівняннях коефіцієнти біля змінних і вільні члени пропорційні, а в третього коефіцієнти біля змінних не пропорційні до перших двох.

5. Дві паралельні, а третя їх перетинає:

у якоїсь пари рівнянь коефіцієнти біля змінних пропорційні, а вільні члени не пропорційні до них, а в третього рівняння коефіцієнти біля змінних не пропорційні до перших двох.

Як бачимо, у перших 5-ти випадках досить просто уважно подивитися на рівняння, і зробити висновки про взаємне розташування трьох площин.

Якщо ж перші 5 випадків не підходять, то залишаються такі три випадки:

6.Всі площини перетинаються по одній прямій.

7.Площини перетинаються по трьом паралельним прямим.

8.Площини мають одну спільну точку.

Для того, щоб дати відповідь про розташування площин в останніх трьох випадках, досить розв’язати систему, складену з рівнянь трьох площин. Тоді, якщо система:

а) має безліч розв’язків, то маємо випадок 6 – площини перетинаються по одній прямій (розв’язками будуть всі точки їх спільної прямої),

б) не має розв’язків, то випадок 7 (у площин не існує жодної спільної точки),

в) один розв’язок, то це випадок 8 (цей розв’язок і є координатами їх спільної точки).

Приклад 42.

Вияснити взаємне розташування трьох площин:

Перша і третя площини паралельні, так як Друга площина їх перетинає, бо Отже, дві площини паралельні, а третя їх перетинає.

 

 

Пряма лінія у просторі

Так як і на площині пряму лінію у просторі можна задати двома точками або точкою і направляючим вектором. Крім того, її можна задати як перетин двох площин.

1. Канонічні рівняння прямої (за точкою і направляючим вектором)

Нехай в афінній системі координат пряма проходить через точку М0 (x0,y0,z0) і має направляючий вектор =(α,β,γ). Виберемо на прямій довільну точку М (x,y,z) і розглянемо вектор

=(x-x0 ,y-y0 ,z-z0). Очевидно, що || , тому за теоремою 7 їх координати пропорційні:

. (42)

Якщо одна із координат направляючого вектора, наприклад, α=0, то (42) можна записати: .

Аналогічно, якщо β=0 або γ=0.

Якщо α=β=0, то отримаємо . Аналогічно для β=γ=0 та α=γ=0.

Відмітимо, що в останньому випадку ми отримали пряму лінію, задану як перетин двох площин, які паралельні до координатних площин.

2. Рівняння прямої за двома точками

Нехай пряма проходить через точки М1(x1,y1,z1) і М2(x2,y2,z2). Тоді вектор = – є направляючим вектором прямої. Скориставшись рівнянням (42) отримаємо:

. (43)

3. Параметричні рівняння прямої

Нехай пряма задана точкою М0 (x0,y0,z0) і направляючим вектором =(α,β,γ). Виберемо ще одну довільну точку прямої М (x,y,z) і розглянемо вектор =(x–x0,y–y0,z–z0). || , тому за теоремою 1 =t . Перейшовши до координат, отримаємо:

x–x0 = α t ; y–y0 = β t; z–z0 = γ t, або:

(44)

Приклад 43.

Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку A(2,3,-4) паралельно до вісі OY.

Розв’язання:

За направляючий вектор прямої візьмемо вектор Тоді рівняння шуканої прямої матимуть вигляд:

4. Рівняння прямої, заданої як перетин двох площин.

Розглянемо дві площини, задані рівняннями

α: A1x+B1y+C1z+D1=0 і β: A2x+B2y+C2z+D2=0, причому їх нормальні вектори неколінеарні (умова перетину), отже, коефіцієнти біля змінних в рівняннях площин не пропорційні. Перетин таких площин визначатиме пряму, яку можна задати системою:

, (45)

причому = ( ) є направляючим вектором прямої.

Приклад 44.

Записати пряму як перетин двох площин.

Розв’язання:Спочатку запишемо канонічні рівняння даної прямої: . Тепер легко отримати рівняння трьох площин, які проходять через дану пряму. Нам досить записати дві, перетин яких і визначає пряму:

або

Приклад 45.

Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через початок координат, паралельно до прямої

Розв’язання:Знайдемо направляючий вектор даної прямої:

Шукана пряма визначається рівняннями:

Приклад 46.

Знайти проекцію прямої на площину

Розв’язання:Проекцією прямої на площину буде пряма, отримана в перетині проектуючої площини з площиною яка має рівняння: Отже, для розв’язання задачі потрібно знайти рівняння проектуючої площини (вона проходить через дану пряму, перпендикулярно до площини ). Скористаємося рівнянням площини за точкою і двома направляючими векторами. За точку можна взяти, явно задану точку прямої а за направляючі вектори – направляючий вектор прямої і нормальний вектор площини: тоді проектуюча площина має рівняння:

а шукана пряма:

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти