ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Взаємне розташування двох прямих у просторі

Загрузка...

Нехай задано прямі l1 і l2, які визначаються відповідно: l1 точкою M1 і направляючим вектором 1, а l2 точкою M2 і направляючим вектором 2.

Прямі у просторі можуть бути розташовані таким чином:

1.Співпадають: Тоді 1 || 2 || (Колінеарність векторів перевіряємо за теоремою 7, яка стверджує, що у колінеарних векторів координати пропорційні).

2.Паралельні: 1 || 2, але не колінеарні з

3.Перетинаються: 1 не колінеарний з 2, і вектори 1 , 2 і компланарні. Тоді змішаний добуток векторів

( 1, 2, )=0).

4.Мимобіжні: Вектори 1 , 2 і некомпланарні (змішаний добуток ( 1, 2, ) не дорівнює нулю).

Приклад 47.

Дослідити взаємне розташування двох прямих

і

Розв’язання:Направляючі вектори прямих і не колінеарні, так як Отже, прямі перетинаються або мимобіжні. Першій прямій належить точка а другій Змішаний добуток тому прямі мимобіжні.

 

Взаємне розташування прямої і площини

Нехай маємо площину α: Ax+By+Cz+D=0 і пряму l, яка визначається точкою М0(x0,y0,z0) і направляючим вектором =(α,β,γ). Можна виділити три випадки взаємного розташування прямої і площини:

1.Пряма належить площині.

Розглянемо нормальний вектор площини =(А,В,С) і направляючий вектор =(α,β,γ). Очевидно, що ^ , отже, їх скалярний добуток · = 0. Крім того, довільна точка прямої повинна належати площині, тому координати точки М0 повинні задовольняти рівняння площини: Ax0+By0+Cz0+D=0.

2.Пряма паралельна до площини.

· = 0 і Ax0+By0+Cz0+D¹0.

3.Пряма перетинає площину.

· ¹ 0.

Для того, щоб знайти точку перетину прямої і площини, необхідно скласти параметричні рівняння прямої і розв’язати систему:

. Отримаємо параметр точки перетину. Підставивши його в рівняння прямої, знайдемо координати точки перетину.

Приклад 48.

З’ясувати взаємне розташування прямої: і площини .

Розв’язання:Направляючий вектор прямої а нормальний вектор площини

отже, пряма перетинає площину.

Для знаходження точки перетину розв'яжемо систему чотирьох заданих рівнянь. Фактично підставимо в рівняння площини замість і їх вирази через параметр :

звідки Підставивши це значення параметра в рівняння прямої, отримаємо координати точки перетину:

Приклад 49.

Знайти точку, симетричну точці відносно площини

Розв’язання:Знайдемо спочатку ортогональну проекцію точки A на дану площину. Для цього запишемо параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку A перпендикулярно до площини. Тоді за направляючий вектор прямої можна взяти нормальний вектор площини Отримаємо рівняння:

Проекцією точки A на площину буде точка перетину отриманої прямої і даної площини. Знайдемо її параметр, підставивши параметричні рівняння в рівняння площини:

звідси Отже, проекція точки A на дану площину має координати (Отримаємо підставивши в рівняння прямої). Для знаходження симетричної точки скористаємося формулами ділення відрізка навпіл: . Звідси Відповідь:

Приклад 50.Знайти ортогональну проекцію точки на пряму

Розв’язання:Ортогональною проекцією точки М на пряму буде точка Р, яку отримаємо в перетині даної прямої з площиною, що проходить через точку перпендикулярно до заданої прямої. Рівняння такої площини знайдемо за точкою і нормальним вектором (направляючий вектор прямої буде нормальним для площини): 2(x–4)+4(y–3)+5(z–10)=0 або 2x+4y+5z–70=0.

Знайдемо параметр точки перетину:

2(1+2t)+4(2+4t)+5(3+5t)–70=0, отже, t=1. Тоді x=3, y=6, z=8.

Відповідь: Р(3, 6, 8).

 

Метричні задачі на пряму і площину

Метричні задачі розглядаються в прямокутній системі координат.

1.Знаходження кута між двома прямими у просторі.

Кутом між прямими називається мінімальний кут між їх направляючими векторами.

Нехай прямі мають направляючі вектори 1 = (α111), і 2= (α222). Тоді із означення скалярного добутку знаходимо косинус кута між ними:

(46).

Сам кут знайдемо як арккосинус отриманого числа (враховуючи, що кут гострий).

Звідси одразу випливає умова перпендикулярності двох прямих: 1× 2 = 0.

Приклад 51.

Знайти кут між прямими: і

Розв’язання:Знайдемо направляючі вектори даних прямих:

1× 2=0, отже,

2.Кут між прямою і площиною

Кутом між прямою і площиною називається гострий кут між прямою і її проекцією на площину.

Позначимо цей кут – j (рис.28). Нехай пряма а має направляючий вектор =(α, β, γ), а площина задана рівнянням Ax+By+Cz+D=0. Тоді кут a між нормальним вектором площини =(А,В,С) і направляючим вектором прямої дорівнює 900– j; або 900+j, якщо нормальний вектор направлений вниз (рис.28).

Косинус кута між векторами знаходимо із скалярного добутку: . Враховуючи, що сos(900– φ) = sinφ, сos(900+j) = – sinφ, маємо sinj = |cosa|. Отже, ми отримали формулу для знаходження синуса кута між прямою і площиною:

(47)

Приклад 52.

Знайти кут між прямою: і площиною

Розв’язання: .

Отже,

3.Відстань від точки до прямої у просторі:

Нехай пряма а задана точкою М1(x1,y1,z1) і направляючим вектором =(α, β, γ). Потрібно знайти відстань d від точки М0(x0,y0,z0) до даної прямої а (рис.29).

Відкладемо вектор від точки М1. Отримаємо вектор = .

Розглянемо паралелограм М1М0Q0Q1. Ясно, що відстань d від точки М0 до даної прямої а дорівнює висоті паралелограма М1М0Q0Q1, яку обчислимо, розділивши площу паралелограма на довжину сторони М1Q1, тобто на модуль вектора . Площу паралелограма знайдемо як модуль векторного добутку векторів, які утворюють цей паралелограм:

S=d | |=|[ , ]|. Знайдемо координати вектора =(x0-x1,y0-y1,z0-z1).

Тоді .

Перейшовши до координат, отримаємо:

d = (48)

Відмітимо, що відстань d можна знайти і як відстань між двома точками: точкою М0 і її ортогональною проекцією на дану пряму (див. приклад 50).

Приклад 53.

Знайти відстань між паралельними прямими і

Розв’язання:Відстань між паралельними прямими можна знайти, як відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої. Наприклад, прямій, заданій параметричними рівняннями, належить точка Знайдемо відстань від неї до першої прямої; яка проходить через точку і має направляючим вектор Знайдемо координати вектора і скористаємось формулою (48):

Відповідь:

4.Відстань між мимобіжними прямими.

Розглянемо мимобіжні прямі а1, яка проходить через точку М1(x1,y1,z1), і має направляючий вектор 1 =(α111), та а2, яка проходить через точку М2(x2,y2,z2) і має направляючий вектор 2=(α222) (рис.30). Відкладемо вектор 2 від точки М1, тоді вектор = 2. Розглянемо паралелепіпед, побудований на векторах 1 , 2, і . Згідно теореми 12, об’єм цього паралелепіпеда рівний модулю змішаного добутку векторів 1 , 2, та : V=|( 1, 2, )|. З іншого боку, об’єм паралелепіпеда можна знайти як добуток площі основи на висоту. (площу основи знаходимо як модуль векторного добутку векторів, які утворюють паралелограм М1Q1P1N1, тобто векторів 1 і 2):

Отже, V=S× d=|[ 1, 2]|×d= |( 1, 2, )|.

Звідки d= (49)

Приклад 54.

Знайти відстань між мимобіжними прямими: і

Розв’язання:Перша пряма проходить через точку і має направляючий вектор Друга проходить через точку паралельно до вектора Знайдемо вектор і векторний добуток . Змішаний добуток раціонально обчислити, як скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів 1і 2: Отже,

Відмітимо, що відстань між мимобіжними прямими можна знайти й іншим способом, наприклад, як відстань від будь-якої точки однієї прямої до площини, яка проходить через другу пряму, паралельно до першої. Рівняння такої площини отримаємо за двома направляючими векторами і точкою (направляючими векторами площини будуть направляючі вектори даних прямих).

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти