ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Рухи площини. Властивості рухів

Загрузка...

 

Перетворення площини зберігає відстані, якщо відстань між будь-якими двома точками А і В площини рівна відстані між їхніми образами А¢ і В¢, тобто .

Перетворення площини, яке зберігає відстані, називається рухом.

Найбільш простим прикладом руху є тотожне перетворення площини, тобто перетворення, при якому кожна точка площини переходить в себе.

Приведемо ще один приклад руху.

Розглянемо на площині вектор . Кожній точці М площини поставимо у відповідність точку М¢ так, щоб = . Ми отримаємо деяке відображення ƒ: ® , яке є перетворенням площини . Воно називається паралельним перенесенням на вектор . Якщо = , то паралельне перенесення – тотожне перетворення.

Доведемо, що паралельне перенесення є рухом.

Нехай М1 і М2- дві точки площини (рис. 1), а М1¢ і М2¢ – їх образи. Потрібно показати, що .

За означенням паралельного перенесення: – паралелограм, тому .

Отже, паралельне перенесення – рух площини.

Впорядковану трійку точок A, B, C площини, які не лежать на одній прямій називають репером.

Позначають:

Точку A називають початком, а B і C – вершинами.

Якщо – довільний, то репер називається афінним(рис.2).

Якщо , і , то репер називають ортонормованим.

Фактично репер – це система координат, де А – початок, а В і С кінці базисних векторів.

Очевидно, що при рухові репер переходить в репер, причому ортонормований репер переходить в ортонормований репер (так як переходить у рівний йому трикутник ).

Теорема 2. Нехай два довільні ортонормовані репери площини. Тоді існує єдиний рух, який переводить , причому будь-яка точка М з даними координатами в репері переходить в точку з такими ж координатами в репері .

Доведення.

Доведемо спочатку, що такий рух існує.

Задамо відображення так щоб будь-якій точці М в репері R відповідала точка з такими ж координатами в репері : .

При цьому відображенні маємо:

,

,

.

Таке відображення буде взаємно-однозначним, тобто є перетворенням площини.

Покажемо, що зберігає відстані між точками, тобто є рухом. Розглянемо точки і . Тоді

,

,

і . Отже, , тобто є рухом.

Покажемо, що єдиний рух площини, який переводить і зберігає координати точок.

Припустимо, що існує ще один рух такий, що задовольняє умову теореми. Але тоді на площині існує така точка М, що її образ при рухові f не співпадає з її образом при рухові g.

Так як , і , то

, тобто точка рівновіддалена від точок і .

Аналогічно , і

, отже точка рівновіддалена від точок і і , , то

, отже, точка рівновіддалена від точок і .

Таким чином точки , і належать серединному перпендикуляру відрізка , отже, вони лежать на одній прямій, чого бути не може, так як ( , , ) – репер. Отже, припущення не вірне і існує єдиний рух f, який задовольняє умову теореми.

Зупинимося на властивостях руху.

1. Рух переводить пряму у пряму, причому паралельні прямі в паралельні прямі.

Доведення.

Розглянемо ортонормований репер і його образ після руху . Нехай пряма l в репері R має рівняння . Тоді, згідно теореми 2, образ цієї прямої в репері визначається таким же рівнянням (як множина образів всіх точок прямої l) отже, є прямою.

Очевидно, що пряма в репері R має рівняння . При рухові вона перейде в пряму з таким же рівнянням в репері отже, .

2. Рух зберігає просте відношення трьох точок.

Доведення.

Нагадаємо, що простим відношенням трьох точок, які лежать на одній прямій (рис.3) називають таке число

Нехай в репері R три довільні точки А, В, С прямої мають координати: , , .

Тоді координати точки С обчислюються за формулами :

, .

Нехай репер – образ репера при русі. Тоді точки , і мають такі ж координати як і точки А, В, С, а отже вони пов’язані такими ж формулами, тобто точка ділить відрізок в тому ж відношенні .

Як наслідок, середина відрізка переходить в середину відрізка.

З попереднього легко отримати:

3. Рух зберігає поняття „лежати між”.

4.Рух переводить півплощину з границею l в півплощину з границею , де – образ прямої l.

5. Рух переводить промінь в промінь.

6. Рух переводить кут в рівний йому кут (так як переводить трикутник в рівний йому трикутник).

Отже, перпендикулярні прямі при русі переходять в перпендикулярні прямі.

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти