ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Класифікація перетворень подібності

Класифікацію перетворень подібності проведемо в залежності від існування інваріантних точок і прямих. Будемо розглядати перетворення подібності відмінне від руху.

Власні перетворення подібності.

Нехай перетворення подібності з коефіцієнтом k має тільки одну нерухому точку, позначимо її О. Позначимо h - гомотетію з центром О і коефіцієнтом k. За теоремою 3 існує такий рух g, що . Оскільки і h власні перетворення подібності то і рух g – власний причому . Таким чином – поворот навколо точки О. Можливі три випадки :

1) g – тотожне перетворення . В цьому випадку = , отже, - гомотетія з додатним коефіцієнтом

2) g – центральна симетрія. Тоді - гомотетія з від’ємним коефіцієнтом .

3) g – поворот на кут , і . В цьому випадку - композиція гомотетії і повороту. Вона називається центрально-подібним поворотом.

Отже, власне перетворення подібності, відмінне від руху гомотетія, або центрально-подібний поворот.

Невласні перетворення подібності.

Згідно теореми 4 перетворення подібності з коефіцієнтом k має єдину нерухому точку О ( ). За теоремою 3 , де g – невласний рух. Так як О – нерухома точка руху g, то g – осьова симетрія. У цьому випадку - композиція гомотетії і осьової симетрії і називається центрально-подібною симетрією.

Отже, існує три типи перетворення подібності, відмінного від руху:

1) Гомотетія.

2) Центрально-подібний переворот.

3) Центрально-подібна симетрія.

 

Група подібності та її підгрупи

 

Позначимо Р – множину всіх перетворень подібності. Покажемо, що Р – група. Згідно теореми 1, потрібно перевірити дві умови: замкненість і існування оберненого елемента. Замкненість ми уже довели (див §7). Там ми показали, що композиція двох перетворень подібності буде подібністю (навіть вказали її коефіцієнт подібності ).

Очевидно, що для будь-якого перетворення подібності з коефіцієнтом k існує обернене з коефіцієнтом . Отже, множина Р всіх перетворень подібності утворює групу. Операція тут – послідовне виконання двох перетворень подібності (їх композиція).

Називається вона групою подібностей.

Так як будь-який рух є частковим випадком перетворення подібності ( подібність з коефіцієнтом k=1), то група рухів є підгрупою групи подібностей. Ясно що всі підгрупи групи рухів (див §5) будуть в свою чергу підгрупами і групи подібностей.

Розглянемо приклади інших підгруп групи Р. Нехай P1 – множина всіх власних перетворень подібності. Замкненість операції на цій множині очевидна (композиція двох власних перетворень подібності буде власним перетворенням подібності). Існування оберненого до будь-якого власного перетворення подібності також очевидне. Отже, P1 - група власних перетворень подібності, підгрупа групи Р.

Позначимо Р(М0) множину всіх гомотетій з центром в точці М0. Неважко перевірити, що Р(М0) – група, підгрупа групи Р.

 

Афінні перетворення

Перетворення площини називається афінним, якщо воно довільні три точки які лежать на одній прямій переводить в точки , які належать одній прямій і зберігає їх просте відношення, тобто ( )=( )

Очевидно, що будь-яке перетворення подібності і будь-який рух являються афінними перетвореннями (оскільки вони зберігають просте відношення трьох точок).

Лема 1. Якщо афінні перетворення і переводять дві точки А і В відповідно в точки і , то , де М довільна точка прямої АВ.

Доведення.

Нехай М – довільна точка прямої АВ , відмінна від А і В, а .

Так як і – афінні перетворення, то і , тому і співпадають, тобто .

Теорема 5. Нехай R=(A,B,C) і – довільні репери площини. Тоді існує єдине афінне перетворення f, яке переводить репер R в . При цьому будь-яка точка М з даними координатами в репері R переходить в точку з тими ж координатами в репері .

Доведення.

Покажемо спочатку, що таке афінне перетворення існує. Поставимо у відповідність довільній точці М з координатами х,у в репері R точку з такими ж координатами в репері : . Відображення буде взаємно-однозначним відображенням площини на себе, яке переводить R в (див. доведення теореми 2 §2).

Покажемо що – афінне перетворення.

Нехай – три довільні точки однієї прямої, які в репері R мають координати: , .

Їх образи в репері мають такі ж координати: , .

Отже, , оскільки в обох випадках ми маємо одні і ті ж формули ділення відрізка у відношенні :

, . Тому f – афінне перетворення.

Доведемо єдиність перетворення f. Припустимо, що f1- ще одне афінне перетворення, яке задовольняє умову теореми. Нехай М – довільна точка площини, а її образ при перетвореннях f і f1.

Через точку М проведемо пряму так, щоб вона перетинала будь-які дві із прямих АВ, ВС або АС в різних точках N і Р (рис.7)

Згідно леми , отже, і співпадають.

Тому – єдине афінне перетворення, яке задовольняє умови теореми.

Наслідок. Якщо точки , які не належать одній прямій, являють собою нерухомі точки афінного перетворення , то – тотожне перетворення.

Очевидно (як і для рухів), що будь-яке афінне перетворення або зберігає, або змінює орієнтацію площини (репери R і однаково або протилежно орієнтовані). Отримаємо афінні перетворення 1-го і 2-го роду.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти