ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Аналітичне задання афінного перетворення. Група афінних перетворень

Загрузка...

Нехай – дане афінне перетворення. Виберемо на площині афінний репер R і точку М з координатами х і у у цьому репері. Тоді, згідно теореми 5, репер R перейде при перетворенні в репер , а точка М в точку з такими ж координатами х і у в . Позначимо і координати точки в репері R. Потрібно виразити і через х і у . Таким чином, задача зводиться до звичайної задачі перетворення афінних систем координат (див. §15[12]): точка в старому репері має координати , , а в новому х, у, виразити , через х, у. Такі формули мають вигляд:

(8)

Визначник – якщо афінне перетворення першого роду, – афінне перетворення другого роду.

Зупинимося тепер на групі афінних перетворень та її підгрупах.

Позначимо через А множину всіх афінних перетворень площини. Покажемо, що А – група.

Розглянемо два афінних перетворення і .

Тоді, за означення афінного перетворення, будь-які три точки А, В і С прямої перейдуть при перетворенні в точки причому просте відношення

При перетворенні точки і перейдуть в точки і ( ) = ( ).

Таким чином послідовне виконання двох афінних перетворень і відобразить точки А, В і С в точки і = (АВ,С), тобто композиція двох афінних перетворень є афінним перетворенням. Замкненість доведено. Покажемо, що якщо , то і .(існування оберненого) Дійсно, якщо точки належать одній прямій, то за означенням і їх образи також належать одній прямій і Отже, множина всіх афінних перетворень площини утворює групу.

Вона називається групою афінних перетворень площини.

Група подібності площини і група всіх рухів площини є підгрупами групи А. Очевидно, що і всі їх підгрупи є також підгрупами групи А. Неважко перевірити, що існують і інші підгрупи групи А. Наприклад, множина всіх афінних перетворень першого роду; множина всіх афінних перетворень для яких – нерухома точка (група центрально-афінних перетворень); множина всіх афінних перетворень, для яких пряма а складається з нерухомих точок.

 

Поняття квадратичної форми

 

Відомо, що рівняння першої степені від двох змінних: Ax+By+C=0 визначає пряму лінію на площині, рівняння Ax+By+Cz+D=0 визначає площину у тривимірному векторному просторі. Аналогічно, в n –вимірному векторному просторі рівняння першої степені від n змінних визначає так-звану гіперплощину. Зустрічалися нам і рівняння кола та сфери, які є рівняннями другої степені. На площині нам відомі і інші лінії: гіпербола, парабола, еліпс. В просторі поверхні: циліндричні, канонічні і т. д. Зрозуміло що деякі криві і поверхні можуть мати рівняння і вище другої степені, але основні лінії: еліпс, парабола, гіпербола, та поверхні: сфера, еліпсоїд, параболоїди, гіперболоїди задаються якраз рівняннями другої степені. Відмітимо, що еліпс, парабола та гіпербола вивчалися ще стародавніми греками. Аполлоній описав їх основні властивості ще в третьому столітті до нашої ери. Ці криві часто використовуються в фізиці, астрономії, архітектурі.

Лінією (кривою) другого порядку на площині будемо називати лінію, яка визначається рівнянням другої степені.

Загальне рівняння другої степені від двох змінних має вигляд:

a11x2+a22y2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33=0, (7)

де а11, а22, а12 не рівні нулю одночасно.

Поверхнею другого порядку будемо називати поверхню, яка визначається рівнянням другої степені.

Очевидно, що таке рівняння, в загальному випадку, має вигляд:

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+

+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0, (8)

де коефіцієнти а11, а22, а33, а12, а13, а23 не рівні нулю одночасно.

Відмітимо, що при переході від однієї системи координат до іншої рівняння 2-го порядку перейде в рівняння 2-го порядку.

Однією з основних задач аналітичної геометрії є зведення рівнянь (7) та (8) до канонічного вигляду:

Ax¢ 2+By¢ 2=Qабо Ax¢ 2+By¢ 2+Cz¢ 2=Q, де Q – многочлен не вище першої степені.

По аналогії з трьохвимірним векторним простором (див. §17 [12]), можна отримати формули перетворення афінних систем координат в n–вимірному векторному просторі:

 

x1=c11y1+c12y2+…+c1nyn+c1,

x2=c21y1+c22y2+…+c2nyn+c2,

… … … … … … … … … …

xn=cn1y1+cn2y2+…+cnnyn+cn ,

де нові базисні вектори і новий початок координат мають координати: =(c11, c21, ... , cn1 ), … , =(c1n, c2n, ... , cnn ), в старому базисі.

Квадратичною формою від n–змінних x1, x2, …, xn називається однорідна функція другої степені від цих змінних, тобто функція вигляду:

F (x)= ,де (aij=aji) (9)

Ясно, що в рівнянні (7) квадратична форма F(x)=a11x2+a22y2+2a12xy, а в рівнянні (8)

F(x)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz.

Квадратична форма називається канонічною, якщо вона має вигляд: (10)

§ 13. Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду в n-вимірному векторному просторі

Теорема 6.

У n-вимірномувекторному просторі завжди існує такий базис в якому квадратична форма (9) маєканонічний вигляд (10).

Доведення:

Розглянемо квадратичну форму (9): F(x)=

Покажемо, що за допомогою заміни базису ця квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду.

Скористаємося методом математичної індукції:

1. Нехай n=1 тоді F(x)=a11x отже, квадратична форма в канонічному вигляді.

2. Нехай n >1. Будемо вважати твердження теореми вірним для квадратичної форми від меншого ніж n числа змінних.

Розглянемо два випадки:

a). Серед коефіцієнтів aii (i=1,…,n) квадратичної форми (9) є відмінні від нуля. Нехай, наприклад, а11¹ 0, тоді згрупуємо всі члени, які містять x1 і запишемо:

(a11x1+a12x2+…+a1nxn)2=a11x12+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+A=

= a11x12+ + A, де А – многочлен, який не містить x1.

Таким чином квадратичну форму F(x) можна записати так:

F(x)= (a11x1+a12x2+…+a1nxn)2+G(x2,x3,…,xn).

Позначимо:

y1=a11x1+a12x2+…+a1nxn , x1= y1 y2 –…– yn ,

y2=x2 , Þ x2=y2 , (11)

………….. ……………

yn=xn . xn=yn .

Після заміни базису за останніми формулами перетворення афінних систем координат, отримаємо квадратичну форму:

F(y)= y12+G(y2,y3,…,yn), де G(y2,y3,…,yn) квадратична форма

від n-1 змінної, яка за припущенням індукції приводиться до

канонічного вигляду.

б). Всі коефіцієнти квадратичної форми a11=a22=…=ann=0. Тоді існують коефіцієнти aij ¹ 0. В такому випадку потрібно так замінити базис, щоб появилися квадрати змінних. Нехай для конкретності а12¹ 0. Тоді квадратична форма F(x)=2a12x1x2+… . Використаємо формули перетворення афінних систем координат:

x1=y1 + y2,

x2=y1 – y2,

x3=y3, (12)

... ... ...

xn=yn.

Після заміни базису, отримаємо:

F(y)=2a12(y12 – y22)+… . Отже, в квадратичній формі появилися квадрати змінних і маємо перший випадок.

 

Приклад 1.Привести квадратичну форму до канонічного вигляду і знайти базис у якому вона має такий вигляд:

а) .

Розв’язання. Оскільки квадрати змінних в даній квадратичній формі відсутні, то маємо випадок б) теореми 6. Скористаємося формулами (12):

(*)

Отримаємо

Згрупуємо всі додатки, які містять (за теоремою 6, випадок а) отримаємо):

.

Згідно формул (11) в цьому випадку отримаємо формули переходу до нової системи координат:

(**)

В новій системі координат квадратична форма має канонічний вигляд:

.

Так як базис замінювався двічі, то загальні формули перетворення отримаємо, підставивши рівності (**) в (*).

Одержимо:

Таким чином квадратична форма матиме канонічний вигляд в базисі: , ,

b) .

Розв’язання. Згрупуємо всі доданки, які містять (за теоремою 6 випадок а):

Після заміни базису отримаємо:

.

Формули відповідного перетворення систем координат матимуть вигляд:

Згрупувавши доданки, які містять (аналогічно до попереднього), отримаємо:

Після заміни базису за формулами:

отримаємо квадратичну форму в канонічному вигляді:

Загальні формули перетворення афінних систем координат, які зводять квадратичну форму до канонічного вигляду матимуть вигляд:

.

Базисні вектори нової системи координат: , .

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти