ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Дотичні до кривих другого порядку

 

Розглянемо еліпс і пряму задану параметричними рівняннями: .

Для знаходження точок перетину прямої з еліпсом потрібно розв’язати систему трьох даних рівнянь (фактично підставити рівняння прямої у рівняння еліпса). Отримаємо:

або

Якщо отримане квадратне рівняння має два дійсних кореня то отримаємо дві точки перетину прямої і еліпса.

Якщо розв’язки рівняння збігаються то пряма буде мати з еліпсом одну спільну точку, тобто буде дотичною до еліпса в точці з параметром . Підставивши це значення параметра в рівняння прямої , отримаємо координати точки дотику. Оскільки ця точка належить еліпсу, то її координати задовольняють рівняння еліпса: .

Отримаємо

Так як корені рівняння і , то і . Це можливо лише тоді, коли . Знайшовши з рівнянь прямої , і підставивши в останню рівність, отримаємо рівняння .

Враховуючи, що будемо мати рівняння дотичної до еліпса: (18)

Аналогічно міркують, отримаємо рівняння дотичних в точці з координатами до гіперболи (19)

та параболи: . (20)

 

Приклад 7.

Скласти рівняння дотичних до еліпса , перпендикулярних до прямої .

Розв’язання: Позначимо точку дотику . Нормальний вектор даної прямої буде направляючим для дотичної отже, , або .

Так як точка належить еліпсу, то , крім того для дотичної .

У нашому випадку маємо .Розв’язавши систему

, отримаємо два розв’язки: , і

, . Записавши рівняння прямих, які проходять через ці точки, паралельно вектору , отримаємо рівняння дотичних: і .

 

Оптичні властивості еліпса, гіперболи та параболи

Якщо джерело світла розмістити в одному із фокусів еліпса, то після відбиття від еліпса всі промені пройдуть через інший фокус.

Якщо розмістити джерело світла у фокусі гіперболи, то після дзеркального відбиття від неї промені будуть мати такий напрямок, ніби вони виходять з іншого фокуса.

Якщо ж джерело світла розмістити у фокусі параболи, то після дзеркального відбиття від неї всі промені будуть паралельними до її вісі. На цій властивості параболи ґрунтується будова прожекторів, телескопів і ін.

Доведемо це. Покажемо, що дотична до параболи в точці утворює рівні кути з фокальним радіусом і прямою , де проекція точки на директрису (рис. 16)

Знайдемо координати точки – перетину дотичної з віссю :

, або

.

Отже, .

Покажемо, що трикутник рівнобедрений.

Дійсно і отже, і кути . Але як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих, тому і , що і потрібно було довести.

Приклад 8.

Із фокуса параболи під кутом 450 до осі виходить промінь світла. Знайти рівняння прямої, якій буде належати промінь після дзеркального відбиття від параболи.

Розв’язання: Очевидно, що фокус параболи: . Знайдемо рівняння прямої, якій належить промінь світла, що виходить з фокуса. Скористаємося рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом: . Оскільки , то .

Знайдемо точку параболи, в якій промінь відбивається. Для цього розв’яжемо систему . Знайшовши з першого рівняння і підставивши в друге отримаємо:

або .

Звідки і . За умовою задачі нам потрібен додатній корінь точка перетину променя (а не всієї прямої) з параболою, тому рівняння шуканої прямої .

Розглянемо ще один приклад на зведення загального рівняння кривої 2-го порядку до канонічного вигляду в евклідовому просторі та її побудову.

Приклад 9.

Привести до канонічного вигляду рівняння кривої

простору за допомогою переходу до нової прямокутної системи координат. Вказати вид кривої. Побудувати її.

Розв’язання: Спочатку за допомогою ортогонального перетворення приведемо до канонічного вигляду квадратичну форму даної кривої: (див.§ 13).

Для цього запишемо її матрицю: ,

складемо характеристичне рівняння:

і знайдемо корені цього рівняння: , .

Отже, дана квадратична форма має канонічний вигляд

.

Знайдемо базисні вектори і нової прямокутної системи координат. Вони є власними векторами лінійного оператора, що має ту ж матрицю, що і дана квадратична форма; отже, їх координати задовольняють системі рівнянь:

При одержимо систему, еквівалентну рівнянню . Один з розв’язків цього рівняння . Вектор – власний вектор, який відповідає значенню .

Нормуючи цей вектор, отримаємо:

Аналогічно знайдемо – власний вектор, який відповідає значенню , і вектор

Знаючи вектори і , запишемо формули ортогонального перетворення, яке приводить дану квадратичну форму до канонічного вигляду: (а)

Як бачимо, це формули перетворення координат при переході до прямокутної системи координат, одержаної із старої системи за допомогою обертання навколо початку координат на кут φ=45˚. Щодо цієї нової системи крива матиме рівняння:

або

Запишемо це рівняння у вигляді:

Якщо одержану вище систему координат піддати паралельному перенесенню, поклавши

(b),

то рівняння кривої прийме канонічний вигляд:

Отже, дана крива – еліпс.

Підставляючи (b) в (a),

одержимо формули:

переходу від початкової системи координат до тієї, в якій крива має канонічне рівняння.

Щодо даної системи координат новий початок і нові базисні вектори мають координати:

, .

Побудувавши їх, отримаємо нову систему координат розташування якої відносно даної прямокутної системи координат та зображення еліпса показано на рисунку 17.

Поверхні обертання

 

Поверхня, яка разом з будь-якою своєю точкою містить все коло, отримане обертанням цієї точки навколо деякої фіксованої прямої, називається поверхнею обертання (рис. 18).

Пряма, навколо якої виконується обертання, називається віссю обертання. Якщо поверхню обертання перетинати площинами, перпендикулярними до вісі обертання, то отримаємо кола. Такі кола називаються паралелями поверхні. Площини, які проходять через вісь обертання, перетинають поверхню обертання по лініях, які називаються меридіанами.

Нехай в прямокутній системі координат ( ) задана лінія , яка лежить в площині . Тоді вона має рівняння . Знайдемо рівняння поверхні, яка утвориться при обертанні лінії навколо осі . Візьмемо на поверхні довільну точку і проведемо через неї площину, перпендикулярну до осі . В перетині з поверхнею обертання отримаємо коло з центром в точці , радіуса . З іншого боку, цей радіус є абсцисою точки лінії , апліката якої . Підставивши в рівняння лінії , , отримаємо рівняння поверхні обертання навколо осі : , або

(21)

Отже, щоб отримати рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням лінії , що лежить в площині , навколо осі , потрібно в рівнянні цієї лінії замінити x на .

Аналогічно можна отримати поверхні обертання навколо інших координатних осей.

Еліпсоїд

Еліпсоїдомназивається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням:

(22)

Величини a, b, c називаютьсяпівосямиеліпсоїда.

Дослідимо форму еліпсоїда і побудуємо його:

1.Так як x, y, z, входять в рівняння (22) тільки в парних степенях, то еліпсоїд симетричний відносно координатних площин, осей і початку координат. Центр симетрії еліпсоїда називається центром еліпсоїда, а вісі симетрії – його осями.

Точки перетину еліпсоїда з осями координат: А1(а,0,0); А2(-а,0,0); В1(0,b,0); В2(0,-b,0); С1(0,0,с); С2(0,0,-с) називаються вершинами еліпсоїда.

2.Із рівняння (1) маємо: . Аналогічно для y і z: і Отже, всі точки еліпсоїда лежать всередині прямокутного паралелепіпеда із сторонами 2а, 2b, 2с (крім вершин), з центром в точці О.

3.Розглянемо перерізи еліпсоїда координатними площинами і площинами, паралельними до них.

Площина XOY і паралельні до неї площини мають рівняння z=h.

В перетині еліпсоїда з такими площинами отримаємо або .

Можливі три випадки:

1). ú h÷ < c, тоді маємо – еліпс. При зменшенні ú h÷ піввісі його збільшуються і коли h=0, одержуємо еліпс в площині XOY. Побудуємо його (див. рис. 19).

2). ú h÷ = c, то одержуємо – дві уявні прямі, що перетинаються в дійсних точках С1(0,0,с); С2(0,0,-с).

3). ÷ h÷ > c, то одержуємо рівняння уявного еліпса, отже в цьому випадку площина z=h з еліпсоїдом не має спільних точок.

Повністю аналогічно розглядаються перерізи еліпсоїда площинами x=h і y=h . Побудувавши еліпси в координатних площинах, отримаємо зображення еліпсоїда (рис.19).

Відмітимо, що якщо в рівнянні (22) а,b,с – різні, то еліпсоїд називається трьохвісним, а якщо які-небудь дві із півосей рівні, наприклад а=с, то в перетині з площинами y=h, де ú h÷ < b, отримаємо кола (рис.20).

В цьому випадку еліпсоїд можна одержати обертанням еліпса навколо осі OY. Такий еліпсоїд називається еліпсоїдом обертання. Якщо ж в рівнянні (22) а=b=с, то отримаємо сферу радіуса а.

Конус

Конусом 2-го порядкуназивається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням:

(23)

Покажемо, що конус складається із прямих, які проходять через початок системи координат. Нехай точка М0(x0,y0,z0) – довільна точка конуса (23), відмінна від точки О(0,0,0). Тоді координати точки М0 задовольняють рівняння конуса отже, . Розглянемо точку М(tx0,ty0,tz0), де tÎ R. Точка М також належить конусу, оскільки . Таким чином разом з точкою М0 конусу належить вся пряма, яка проходить через початок координат і має направляючий вектор . Отже, конус можна розглядати як множину деяких прямих, які проходять через точку О, які називаються твірними. Точка О називається вершиною конуса.

Так як змінні x,y,z входять в рівняння конуса лише в парних степенях, то він симетричний відносно координатних площин, осей і початку координат.

Дослідимо форму конуса (23) методом перерізів і побудуємо його.

1). Розглянемо перерізи конуса площиною XOY і паралельними до неї площинами. Їх рівняння z=h. В перетині отримаємо:

або . Можливі випадки:

а) якщо h=0, то одержимо точку О(0,0,0),

b) якщо h ¹ 0, то фігура перетину – еліпс (рис. 21).

Таким чином, конус, який має рівняння (23) – це множина всіх прямих простору, які проходять через точку О і точки будь-якого еліпса з центром в точці Q, яка належить вісі OZ (Q ¹ О).

У цьому випадку еліпс називається направляючим, авісь OZ називається віссю конуса.

Відмітимо, що направляючою конуса називається довільна лінія розміщена на ньому і для якої виконується умова, що будь-яка прямолінійна твірна перетинає її в одній і тільки одній точці.

2). Розглянемо перерізи конуса площиною XOZ і паралельними до неї площинами. Їх рівняння y=k. В перетині отримаємо:

або

a) в площині XOZ, тобто коли k=0, маємо пару прямих, які перетинаються в точці О(0,0,0) (рис.21),

b) якщо k¹0 то отримаємо гіперболу з дійсною віссю паралельною до OZ.

3). Аналогічні до другого випадку перерізи отримаємо і в площині YOZ та паралельних до неї площинах: x=m.

Якщо в рівнянні (23) a=b, то конус називається конусом обертання, або круговим конусом.

Переріз конуса з площиною, яка не проходить через точку О може бути як еліпсом, гіперболою, так і параболою (переріз площиною, яка паралельна деякій твірній). Таким чином криві другого порядку (еліпс, гіперболу, параболу) можна розглядати як перерізи конуса другого порядку площинами. Тому їх часто називають конічними перерізами.

Однопорожнинний гіперболоїд

Однопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням: (24)

Додатні числа a,b,c називаються півосями однопорожнинного гіперболоїда.

Оскільки змінні входять в рівняння (24) тільки в парних степенях, то однопорожнинний гіперболоїд симетричний відносно всіх координатних площин, осей і початку системи координат.

Дві вісі OX і OY перетинають однопорожнинний гіперболоїд. Вони називаються дійсними, а вісь OZ не перетинає його, тому називається уявною. Точки перетину поверхні з координатними осями називаються вершинами.

Дослідимо форму однопорожнинного гіперболоїда методом перерізів і побудуємо його.

1). Розглянемо перерізи однопорожнинного гіперболоїда площиною YOZ і паралельними до неї площинами. Їх рівняння x=k. В перетині отримаємо:

.

Можливі три випадки:

а) якщо ÷ k÷ < a то маємо гіперболу з асимптотами (з дійсною віссю, яка паралельна до осі OY),

b) якщо ÷ k÷ = a – одержуємо пару прямих, що перетинаються,

c) якщо ÷ k÷ > a – одержуємо гіперболу з дійсною віссю, яка паралельна до вісі OZ).

Якщо k=0 – одержуємо гіперболу в площині YOZ, яку і будуємо (дивись рис. 22).

2). Повністю аналогічні до попереднього перерізи отримуються в перетині однопорожнинного гіперболоїда площиною XOZ і паралельними до неї площинами: y=m.

3). Розглянемо перерізи однопорожнинного гіперболоїда площиною XOY і паралельними до неї площинами. В перетині отримаємо:

- еліпс.

Якщо h=0, то одержуємо, горловий еліпс: . При зростанні ÷ h÷ піввісі еліпса необмежено збільшуються разом із еліпсом. побудуємо горловий еліпс, та пару еліпсів в площинах паралельних до XOY (на однаковій відстані до неї) (рис.22).

Якщо a=b, то отримаємо рівняння у вигляді: . Це однопорожнинний гіперболоїд обертання. Його можна отримати обертанням гіперболи : навколо вісі OZ.

Всі асимптоти однопорожнинного гіперболоїда проходять через точку О і задовольняють рівняння: , тобто належать конусу, який називається асимптотичним конусом однопорожнинного гіперболоїда.

 

Двопорожнинний гіперболоїд

 

Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат має рівняння:

(25)

Додатні числа a,b,c називаються півосями двопорожнинного гіперболоїда.

Оскільки змінні x,y,z входять в рівняння (25) тільки в парних степенях, то двопорожнинний гіперболоїд симетричний відносно всіх координатних площин, осей і початку системи координат.

Вісі OX і OY не перетинають двопорожнинний гіперболоїд. Вони називаються уявними, а вісь OZ перетинає його в точках . які називаються вершинами. Вісь OZ називається дійсною.

Дослідимо форму двопорожнинного гіперболоїда методом перерізів і побудуємо його.

1). Розглянемо перерізи двопорожнинного гіперболоїда площиною XOY і паралельними до неї площинами:

.

Можливі три випадки:

a). Якщо÷ h÷ < c то в перетині – порожня множина.

b). Якщо÷ h÷ = c то отримаємо , тобто маємо точки .

c). Якщо÷ h÷ > c то маємо еліпс, який збільшується з ростом ÷ h÷.

2). В площині YOZ і паралельних до неї площинах отримаємо: або це гіпербола з віссю паралельною до OZ. Побудуємо її в площині YOZ (рис.23).

3). В площині XOZ і паралельних до неї площинах маємо:

– гіпербола з віссю паралельною до OZ. Побудуємо її в площині XOZ (рис.23).

Так як і в попередньому випадку гіперболоїд необмежено наближається до конуса, але знаходиться при цьому всередині кожної з порожнин. Тому й називається двопорожнинним. Якщо в рівнянні (25) а=b, то поверхня називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання. Його можна одержати обертанням гіперболи , яка знаходиться в площині XOZ навколо вісі OZ.

 

Еліптичний параболоїд

 

Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка в деякі прямокутній системі координат має рівняння:

(26)

Так як в рівняння (26) змінні x I y входять в парній степені, а z в непарній степені, то еліптичний параболоїдсиметричний відносно площин XOZ і YOZ та вісі OZ. Відносно інших координатних осей і площини XOY він не симетричний. Точка О(0,0,0) належить еліптичному параболоїду і називається вершиною.

Дослідимо форму еліптичного параболоїдаметодом перерізів і побудуємо його.

1). Розглянемо перерізи еліптичного параболоїдаплощиною XOY і паралельними до неї площинами:

. Отримаємо:

1. Якщо h<0 – порожня множина.

2. Якщо h=0 – точка О(0,0,0).

3. Якщо h>0 – еліпс.

2). В площині YOZ і паралельних до неї площинах отримаємо:

це парабола з віссю, яка паралельна до вісі OZ (якщо k=0, то парабола з віссю OZ і з вершиною в точці О(0,0,0). Її і будуємо (рис.24)).

3). В площині XOZ і паралельних до неї площинах отримаємо параболу (повністю аналогічно до попереднього) (рис.24).

Якщо в рівнянні (26) a=b, то отримаємо параболоїд обертання (навколо вісі OZ).

 

Гіперболічний параболоїд

 

Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, яка в деякі прямокутній системі координат визначається рівнянням:

(27)

Так як в рівняння (27) змінні x I y входять в парній степені, а z в непарній степені, то гіперболічний параболоїдсиметричний відносно площин XOZ і YOZ та вісі OZ. Відносно інших координатних осей і площини XOY він не симетричний. Точка О(0,0,0) належить гіперболічному параболоїду і називається вершиною.

Дослідимо форму гіперболічного параболоїдаметодом перерізів і побудуємо його.

1). Розглянемо перерізи гіперболічного параболоїдаплощиною XOY і паралельними до неї площинами:

.

Можливі три випадки:

a). Якщо h=0, то в перетині отримаємо пару прямих, що перетинаються в точці О(0,0,0).

b). Якщо h>0, то отримаємо гіперболу з віссю, яка паралельна до вісі OX.

c). Якщо h<0, то маємо гіперболу з віссю, яка паралельна до вісі OY.

2). В площині YOZ і паралельних до неї площинах отримаємо

– параболу з віссю паралельною до вісі OZ (вітки направлені вниз) (рис. 25).

3). В перетині гіперболічного параболоїда зплощиною XOZ і паралельними до неї площинами також отримаємо параболу з віссю паралельною до вісі OZ (вітки направлені вверх):

. (рис. 25).

 

Циліндричні поверхні

Поверхня, яка разом з будь-якою своєю точкою містить і всю пряму, яка проходить через цю точку, паралельно до деякого вектора називається циліндричною.

Циліндричну поверхню можна отримати, якщо провести через деяку криву (направляючу) прямі лінії (твірні), які паралельні до . Якщо паралельний до вісі OZ, то за направляючу можна взяти лінію, яка лежить в площині XOY. Тоді циліндричну поверхню можна задати рівнянням від двох змінних F(x,y)=0 – тобто направляючою. Дійсно, в цьому випадку, якщо точка належить циліндричній поверхні (її координати задовольняють рівняння F(x,y)=0), то цій поверхні буде належати і точка (так як її координати задовольнятимуть це ж рівняння F(x,y)=0) отже, поверхні буде належати і вся пряма, яка паралельна до вісі OZ.

Циліндр другого порядку може бути (в залежності від направляючої) еліптичним, гіперболічним, параболічним, а також виродженим циліндром, який розпадається на пару площин, що перетинаються, пару паралельних площин, пару площин що співпадають (див. §14).

Еліптичним циліндромназивається поверхня, яка в деякі прямокутній системі координат визначається рівнянням:

. (28)

Дослідимо форму еліптичного циліндраметодом перерізів і побудуємо його.

1). Розглянемо перерізи еліптичного циліндраплощиною XOY і паралельними до неї площинами:

– еліпс.

2). В перетині еліптичного циліндра зплощиною XOZ і паралельними до неї площинами отримаємо:

або

а). Якщо то маємо пару прямих, що співпали (будуємо пряму паралельну до вісі OZ) (рис 26).

b). Якщо маємо порожню множину.

с). Якщо отримаємо пару паралельних прямих (які паралельні до вісі OZ).

3). Перетин еліптичного циліндра зплощиною YOZ і паралельними до неї площинами повністю аналогічний до попереднього (рис.26).

Як бачимо для побудови циліндра можна і не використовувати метод перерізів, а просто побудувати направляючу і провести твірні, паралельні до вісі циліндра (в нашому випадку до вісі OZ).

Гіперболічним циліндром (рис.27)називається поверхня, яка в деякі прямокутній системі координат визначається рівнянням:

. (29)

Параболічним циліндром (рис.28)називається поверхня, яка в деякі прямокутній системі координат визначається рівнянням:

. (30)

Приклад 10.

Побудувати зображення циліндричної поверхні, заданої рівнянням .

Розв’язання: Рівняння з двома змінними х і у визначає циліндричну поверхню, твірні якої паралельні до вісі OZ. За направляючу можна взяти лінію перетину поверхні з координатною площиною XOY.

Так як площина XOY має рівняння z=0, то направляюча задається системою рівнянь:

Щоб привести до канонічного вигляду рівняння виконаємо паралельне перенесення системи

координат за формулами:

при якому початок

координат переходить в точку

. У нових координатах

одержуємо систему рівнянь:

Така система рівнянь Рис.29

визначає параболу, у якої вершина

розташована в точці O', а вісь направлена по осі O'X', яка співпадає з віссю OX (рис.29). Для уточнення побудови корисно побудувати точки перетину цієї параболи з віссю OY. Для цього розв’яжемо систему рівнянь одержимо: . Відзначимо на малюнку точки і і проведемо через них направляючу параболу.

Щоб отримати наочне зображення, побудуємо ще одну параболу, утворену з направляючої паралельним перенесенням уздовж осі OZ. Проведемо ще декілька твірних, сполучаючи точки цих двох парабол, які розташовані на одній паралелі до осі OZ.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти