ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Загрузка...

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1. 1 Визначники

1. 1. 1 Короткі теоретичні відомості

Розглянемо квадратну таблицю чисел: . Кожний її елемент має вигляд аij, де і- номер рядка, j- номер стовпця, у яких розташований цей елемент.

1. Визначником 2-го порядку D називається число, що знаходиться з елементів таблиці за наступним правилом: D = а11а22 – а12а21.

2. Визначник 3-го порядку квадратної таблиці чисел знаходиться за формулою: D = а11а22 а33 + а12а23а31 + а21а32а13 - a13a22a31 - a21a12a33 - а32а23а11 ( правило Саріуса ). Цю формулу легко запам`ятати, користуючись схемою:

 

3. Мінором Мij елемента аij визначника називається визначник, який утворюється з даного в результаті викреслення і-го рядка та j-гo стовпця.

4. Алгебраїчним доповненням Аij елемента аij називається його мінор, взятий з відповідним знаком за формулою: .

5. Визначник n - го порядку квадратної таблиці чисел знаходиться за наступним правилом: D = аі1Аі1+ аі2Аі2+...+ аіnАіn Цей метод називається розкладом визначника за елементами і-го рядка. Аналогічно можна обчислити визначник шляхом розкладу за елементами будь-якого стовпця. Користь цього метода полягає у зниженні порядку визначника.

6. Деякі властивості визначників:

1) у визначнику рядки та стовпці мають однакові властивості;

2) якщо у визначнику два рядки (стовпці) поміняти місцями, то визначник змінить знак;

3) якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) нулі, то D = 0;

4) якщо визначник має два однакових або пропорційних рядка (стовпця), то D = 0;

5) спільний множник всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак D;

6) якщо кожний елемент і-го рядка (стовпця) є сумою двох доданків, то D дорівнює сумі визначників, у одного з яких і-й рядок (стовпець) складається з перших доданків, а у другого - з других;

7) визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число, відмінне від нуля.

 

Елементи теорії матриць

1. 2. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Прямокутна таблиця чисел, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді або A = (aіj), називається матрицею, де

aіj - елемент матриці, і = 1, ..., m - номер рядка, j = l, ..., n - номер стовпця,

m x n - розмірність матриці.

Окремі випадки: m х 1 - матриця - стовпець, 1 х n - матриця - рядок, n х n - квадратна матриця, n - її порядок.

2. Множина елементів а11, а22, ..., аnn називається головною діагоналлю матриці, an1, а(n-1)2, ..., a1n - допоміжною діагоналлю.

3. Квадратна матриця називається діагональною, якщо при i ¹ j всі aіj = 0, наприклад, діагональна матриця 3-го порядку: .

4. Діагональна матриця називається одиничною , якщо при i = j всі aіj = 1 і позначається Е. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку: .

5. Нульовою називається матриця, всі елементи якої aіj = 0 і позначається О.

6. Транспонованою матрицею АТ до матриці А називається матриця (aіj)Т= (аji), тобто рядки і стовпці якої міняються місцями.

7. Визначник є числовою характеристикою квадратної матриці. Квадратна матриця називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю.

8. Дії над матрицями:

1) Множення на число: добутком матриці Amxn = (aіj) на число k (або k на А) , називається матриця Вmxn = (bij), де bij = kaіj " i, j .

2) Алгебраїчна сума матриць визначена лише для матриць однакового розміру за правилом: С = А± В, де Amxn = (aіj), Вmxn = (bij), Сmxn = (сij): сij = aіj ± bij, " i, j.

3) Множення двох матриць визначено лише для узгоджених матриць.

Матриця Amxn називається узгодженою з матрицею Вnхk , якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. Amxn × Bnxk = Cmxk. Квадратні матриці взаємно узгоджені.

Властивості:

1. А× В ¹ В× А;

2. А× Е = Е× А = А;

3. А× О = О× А = О;

4. (k× A)В = A(k× B) = k(A× B).

Правило множення: сij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj , тобто кожний елемент сij дорівнює сумі добутків відповідних елементів і-го рядка матриці А та j-гo стовпця матриці В.

4) Ділення двох матриць можна розглядати як множення на обернену матрицю: = В×А-1

Матриця А-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується умова: А×А-1 = А-1×А = Е.

Для існування А-1 необхідно і достатньо, щоб матриця А була невиродженою, тобто D(А) ¹ 0, тоді обернена матриця знаходиться за формулою:

.

ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

2. 1 Дії з векторами

2. 1. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Вектори – це величини, що мають числове значення і напрям, тому геометрично - це напрямлені відрізки.

2. Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює 1.

3. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора , називається ортом .

4. Нульовим називається вектор, почток якого збігається з кінцем: . Довжина нульового вектора дорівнює 0, напрям невизначений.

5. Вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній або паралельних прямих.

6. Вектори і називаються компланарними, якщо вони лежать на одній або паралельних площинах.

7. Проекцією вектора на вісь l називається довжина вектора взята із знаком "+", якщо напрям вектора і осі однакові, і з знаком "-", якщо вони протилежні (рис. 2. 1). Позначається: .

рис. 2. 1

8. Кутом між векторами називається менший з кутів, що утворюють вектори, за умови, що вони зведені до спільного початку: .

9. Розглянемо вектор у ПДСК (OXУZ). Позначимо та знайдемо його проекції на вісі.

Координатами вектора називаються його проекції на осі координат:

, де , , аналогічно для просторового випадку .

10. Косинуси кутів, що утвоює вектор з відповідними осями координат (cos a, cos b, cos g) називаються напрямними косинусами цього вектора.

11. Довжина вектора знаходиться за формулою: .

12. Дії з векторами: Додавання та віднімання векторів в координатній формі: , , .

Множення вектора на число в координатній формі: .

Скалярний добуток векторів: × = | | | | cos j - в результаті одержуємо число. Геометричний зміст скалярного добутку: = | | , = | | .

Скалярний добуток в координатній формі: = , , × = axbx+ ayby + azbz.

13. Умова перпендикулярності векторів: кут між векторами j = p/2, тому cos j = 0 і × = 0, або в координатній формі axbx+ ayby + azbz = 0.

14. Умовою паралельності векторів є пропорційність їхніх координат: = k ;

k = .

15. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:

( ) =| || |cos0 = | | .

16. Відношенням, у якому точка М поділяє відрізок М1М2, називається число l, що задовольняє рівності . Зв`язок між координатами точок М(х, у, z), М11, у1, z1), М22, у2, z2) та l задається рівностями: ; ; . В окремому випадку при діленні відрізка М1М2 навпіл (l = 1), формули набувають вигляду: ; ; .

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3. 1 Пряма на площині

3. 1. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Рівняння прямої, що проходить через задану точку М00; у0) перпендикулярно до заданого вектора = (А; В) ( - нормаль): А(х – х0) + В(у – у0) = 0.

2. Рівняння прямої, що проходить через задану точку М00; у0) паралельно заданому вектору = (l; m) (канонічне рівняння, - напрямний вектор):

.

3. Параметричне рівняння прямої: , t – параметр.

4. Загальне рівняння прямої: Ах + Ву + С = 0.

5. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки М11; у1) та М22; у2):

.

6. Рівняння прямої у відрізках на осях (пряма відтинає від координатних осей ОХ та ОУ відрізки а і b відповідно): .

7. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (пряма проходить через задану точку М00; у0) під кутом a до додатнього напрямку осі ОХ: у – у0 = tga (х – х0), або

у = kx + b (k = tga).

8. Ознаки паралельності та перпендикулярності прямих, знаходження кута між прямими.

1) Дві прямі, задані загальними рівняннями паралельні (перпендикулярні), якщо паралельні (перпендикулярні) їхні нормалі. Нехай дві прямі задані загальними рівняннями: А1х + В1у + С1 = 0, = (А1; В1),

А2х + В2у + С2 = 0, = (А2; В2).

- умова паралельності прямих,

А1А2 + В1В2 = 0 – умова перпендикулярності прямих.

Кут між прямими дорівнює куту між нормалями:

= .

2) Дві прямі, задані канонічними рівняннями паралельні (перпендикулярні), якщо паралельні (перпендикулярні) їхні напрямні вектори. Нехай дві прямі задані канонічними рівняннями: , = (l1; m1) ,

, = (l2; m2).

- умова паралельності прямих,

l1l2 + m1m2 = 0 – умова перпендикулярності прямих.

Кут між прямими дорівнює куту між напрямними векторами:

= .

3) Дві прямі, задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом: у = k1x + b1, у = k2x + b2 паралельні, якщо k1 = k2 і перпендикулярні, якщо k1 × k2 = -1.

Кут між прямими: .

9. Відстань від точки М00; у0) до прямої Ах + Ву + С = 0 обчислюється за формулою: .

Пряма та площина в просторі

3. 2. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Рівняння площини, що проходить через задану точку М00; у0; z0) перпендикулярно до заданого вектора = (А; В; C):

А(х – х0) + В(у – у0) + C(z – z0) = 0.

2. Загальне рівняння площини в просторі: Ах + Ву + Cz + D = 0.

3. Рівняння площини, що проходить через три точки М11; у1; z1), М22; у2; z2) та М33; у3; z3) знаходять за формулою: .

4. Рівняння площини у відрізках на осях: , де а, b, c – відрізки, що відтинає площина від координатних осей ОХ, ОУ, ОZ відповідно.

5. Канонічне рівняння прямої у просторі – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М00; у0; z0) паралельно заданому вектору = (l; m; р) :

.

6. Параметричне рівняння прямої: , де t – параметр.

7. Рівняння прямої у просторі, що проходить через дві задані точки М11; у1; z1) та М22; у2; z2): .

8. Відстань від точки М00; у0; z0) до площини Ах + Ву + Сz + D = 0 обчислюється за формулою: .

Неперервність функцій

4.2.1. Короткі теоретичні відомості

 

1. Функція у = f (x), визначена в точці х0 і деякому околі цієї точки, називається неперервною в точці хо, якщо $ .

Іншими словами, якщо х ® х0 , тобто (х - х0) ® 0, то , тобто

( - ) ® 0

х - х0 = Dx - називається приростом аргументу;

f(x) - f(x0) = f(x0 + Dx) - f(x0) = Dу - приріст функції, отже означення неперервної функції можна дати по-іншому:

Функція у = f (x), визначена в точці х0 і деякому околі цієї точки, називається неперервною в точці х0, якщо та в цій точці є нескінченно малими величинами (тобто нескінченно малому приросту аргумента відповідає нескінченно малий приріст функції).

 

2. Якщо функція неперервна в " точці деякого інтервала, то вона називається неперервною в інтервалі.

3. Умови неперервності:

Функція у = f (x) буде неперервною в точці х0 тоді і тільки тоді, коли вона визначена в деякому околі точки х0 і виконується:

Якщо хоча б одна рівність не виконується, то х0 - точка розриву.

1) - розрив 1 роду усувний або ліквідовний.

2) , обидві границі скінченні - розрив 1 роду, стрибок;

величина стрибка d = | |

3) , причому хоча б одна з границь не існує або нескінченна, - розрив 2 роду.

 

Надалі будемо використовувати такі умовні позначення:

- 0 – від`ємна нескінченно мала;

+ 0 – додатна нескінченно мала;

- ¥ - від`ємна нескінченно велика;

+ ¥ - додатна нескінченно велика;

а – 0 – число, що менше за а на нескінченно малу;

а + 0 – число, що більше за а на нескінченно малу.

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Невизначені інтеграли

7. 1. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Поставимо задачу: за заданою функцією F(х) знайти f(х) таку, що f(х) = F'(х). Як відомо, ця дія називається диференціюванням. Обернена задача: за заданою f(х), знайти таку F(х), щоб F'(х) = f(x). Така дія називається інтегруванням. Отже, диференціювання та інтегрування - взаємно обернені дії.

 

2. Функція F(х) називається первісною функції f(х), якщо " х F'(х) = f(х).

Якщо F(х) - первісна функції f(х), то вираз F(х) + С називається невизначеним інтегралом від f(х) і позначається , де

f(х)- підінтегральна функція;

f(х)dx - підінтегральний вираз;

С - довільна стала інтегрування.

 

3. Властивості невизначеного інтеграла:

1) ;

2) ;

3) .

4. Правила інтегрування:

1) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

2) Інтеграл від алгебраїчної суми кількох функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій:

 

На відміну від правил диференціювання, загальних формул для інтегрування добутку та частки функцій не існує. Інтеграли від добутків та часток розподілені на певні класи та розроблено відповідні методи інтегрування кожного класу.

 

5. Таблиця інтегралів основних елементарних функцій безпосередньо випливає з таблиці похідних. Справедливість формул перевіряється диференціюванням.

Нехай u = u(x). Тоді

1) (un)' = n un-1 ·u' Þ , n ¹ -1. При n = 0 ;

2) (au)' = au ln a ·u' Þ ;

3) (eu)' = eu ·u' Þ ;

4) (ln u)' = ·u' Þ ;

5) (sin u)' = cos u ·u' Þ ;

6) (cos u)' = - sin u ·u' Þ ;

7) (tg u)' = ·u' Þ ;

8) (ctg u)' = ·u' Þ ;

9) (arcsin u)' = ·u' Þ ;

10) (arctg u)' = ·u' Þ .

 

6. Часто на практиці використовуються інтеграли, які безпосередньо не випливають з таблиці похідних, а знайдені застосуванням певних методів інтегрування:


11) ;   12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) .

 

Основними методами інтегрування є:

 

7. Безпосереднє інтегрування. Цей метод полягає в обчисленні інтегралів за допомогою правил інтегрування і таблиці інтегралів. У разі потреби підінтегральну функцію певними алгебраїчними перетвореннями зводять до елементарної табличної функції.

 

8. Метод заміни змінної (підстановки).

Суть цього методу полягає у введенні нової змінної інтегрування. Він ґрунтується на наступній теоремі:

Теорема 7. 1

Нехай F(х) - первісна функції f(х) на проміжку (а;b), тобто , xÎ(а;b), і нехай функція х = j (t) визначена і диференційована на проміжку (a;b), причому множина значень цієї функції є проміжок (а;b). Тоді справедлива формула:

, t Î (a;b)

 

Цю теорему застосовують у два способи:

1) Заміна змінної:

-

введення функції під знак диференціала.

2) Підстановка:

= -

виведення функції з-під знаку диференціала.

 

Найпростіша заміна змінної:

=

 

9. Метод інтегрування частинами.

Цей метод застосовується, коли підінтегральна функція є добутком двох функцій, принаймні одна з яких є трансцендентною.

Нехай u = u(х), v = v(х) - деякі диференційовані функції. Тоді справедлива формула

.

Застосування: , де Р(х) - многочлен, а

1) j(х) = , sin kx, соs kх, kÎ R.

Тоді P(х) = u, j(х) dx = dv.

2) j(х) = ln x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Тоді j(х) = u, P(х) dx = dv.

 

10. Інтегрування раціональних дробів.

Раціональним дробом називається функція вигляду:

Якщо n < m - дріб правильний, якщо n ≥ m, дріб неправильний, тоді його треба представити у вигляді суми цілої частини та правильного дробу:

.

Далі знаменник дробу розкладається на множники за теоремою 7. 2.

 

Теорема 7. 2

Всякий многочлен n-го степеня можна подати у вигляді:

де х - змінна, решта - сталі, причому , а всі мають D < 0. Цей вираз називається розкладом многочлена на множники. Він має дійсні та комплексні корені, прості та кратні.

 

Залежно від множників, на які розкладено раціональний дріб, він може бути представлений у вигляді суми елементарних дробів за теоремою 7. 3.

 

Елементарними раціональними дробами називаються правильні раціональні дроби чотирьох типів:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

 

Теорема 7. 3

Нехай знаменник правильного раціонального дробу розкладено на множники за формулою з теореми 7. 2, тоді цей дріб можна подати у вигляді суми елементарних дробів за формулою:

 

Невідомі сталі в чисельниках елементарних дробів знаходяться методом порівняння коефіцієнтів.

 

Інтегрування елементарних дробів:

1) ;

2) ;

3) = = = =

= + =

= + =

= + ;

4) - розв`язується за допомогою такої ж підстановки, що і інтеграл третього типу і повторним інтегруванням частинами.

 

11. Інтегрування ірраціональних функцій

Ірраціональні функції (ті, що містять змінну у дробових степенях) інтегруються за допомогою підстановок.

1) - нехай k - спільний знаменник дробів . Тоді застосовується підстановка: ;

2) Підстановка: х = а sin t, або х = а соs t;

3) Підстановка: х = а/sin t, або х = а/соs t;

4) Підстановка: х = а tg t, або х = а сtg t.

 

12. Інтегрування тригонометричних функцій.

1) . Застосовується універсальна тригонометрична підстановка: , тоді , ,

x = 2 arctg t, ;

2) , заміна змінної sin x = t;

3) , заміна змінної соs x = t;

4) , заміна змінної tg x = t.

 

Також для інтегрування тригонометричних функцій використовуються тригонометричні формули зниження степеня:

, ,

та формули розкладення добутку тригонометричних функцій в суму:

;

;

,

Та інші формули перетворення тригонометричних функцій.

Визначені інтеграли

7. 2. 1 Короткі теоретичні відомості

 

1. Нехай функція у = f(х) визначена на відрізку [а; b], а < b (рис. 7. 1). Розіб'ємо [а; b] на n елементарних відрізків точками х1, х2, ..., хn-1. На кожному відрізку розбиття виберемо довільну точку Î [ xi-1; хi ] та обчислимо f( ). Площа і-го прямокутника: Sі = f( )Dхi, деi = хi - xi-1 .

Площа східчастої фігури називається інтегральною сумою.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої у = f(х), у = 0, х = а, х = b:

Рис. 7. 1

 

Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при максимальному відрізку розбиття, прямуючому до нуля, незалежна від способу розбиття та вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції f(х) на відрізку [а; b] і позначається :

= .

а, b - нижня та верхня межі інтегрування.

 

2. Властивості визначеного інтеграла:

= ; = ± ; = 0; = - ; Якщо с Î [а; b] , то = ;

Якщо " х є [а; b] f(x) £ g(x), то £ ;

Якщо m та М - найменше та найбільше значення f(х) на [а; b], то

m(b – a) £ £ М(b - а) (див. рис. 7. 2);

8) Якщо f(х) неперервна на [а; b], то знайдеться така точка с Î [а; b], що

= f(с)(b – a)

 

3. Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона - Лейбніца

Нехай функція у = f(х) неперервна на відрізку [а; b], тоді вона інтегрована на кожному відрізку [а; х] Î [а; b] ( х Î [а; b] ), тобто $ = Ф(х) - інтеграл із змінною верхньою межею (t º х).

Теорема 7.4 Похідна визначеного інтеграла із змінною верхньою межею по верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі:

Ф¢(х) = ( ) = f(x).

Наслідок: Ф(х) - одна з первісних функції f(х).

 

Теорема 7.5 Якщо F(х) є якою-небудь первісною неперервної функції f(х), х Î [а; b], то справедлива формула Ньютона – Лейбніца:

= F(b) – F(a).

 

4. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Якщо функції u = u(х) та v = v(x) мають на [а; b] неперервні похідні, то

= -

5. Заміна змінної у визначеному інтегралі

Теорема 7.6 Нехай задано , де f(х) неперервна на [а; b] . Введемо

нову змінну х = j (t), t Î [a; b]. Якщо:

j (a) = a, j (b) = b;

j (t), j¢ (t) неперервні на [a; b];

3) f(j (t)) визначена та неперервна на [a; b], то

=

 

6. Застосування визначеного інтеграла

6.1 Обчислення площі криволінійної трапеції

Геометричний зміст визначеного інтеграла - це площа криволінійної трапеції S, обмеженої у = f(х), у = 0, х = а, х = b. Якщо функція змінює свій знак на відрізку [а; b], то S = .

6.2 Обчислення довжини дуги кривої

Обчислення довжини дуги l кривої у = f(х) від точки х1 = а до х2 = b здійснюється за формулою .

6.3 Обчислення об`єму тіл обертання

При обертанні криволінійної трапеції навколо однієї з осей координат, утворюється просторова фігура, яка називається тілом обертання. Нехай криволінійна трапеція, що обмежена графіком функції у = f(х), у = 0, х = а, х = b, обертається навколо осі ОХ (рис. 7. 4).

Розіб`ємо відрізок [а; b] на n елементарних відрізків точками хі (1£ і £ n, хn = b). Проведем дві площини перпендикулярно до осі ОХ через точки хі-1 та хі. Позначимо хі - хі-1 = Dхі. Оберем довільну точку Î [ xi-1; хi ] та обчислимо f( ). При і ® 0 утворену між перерізами фігуру можна вважати циліндром з висотою і та основою – колом з радіусом f( ). Площа основи буде дорівнювати p . Отже, об`єм елементарного циліндра дорівнює іp . Об`єм усього тіла обертання (V) наближено дорівнює сумі об`ємів елементарних циліндрів - це інтегральна сума, тому переходячи до границі при n ® ¥ (або maxDхі ® 0) одержимо або .

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

 

8. 1 Короткі теоретичні відомості

 

При досліжденні різноманітних процесів та явищ, що містять елементи руху, користуються математичними моделями у вигляді рівнянь, до яких, крім незалежних змінних та функцій, входять похідні цих функцій. Такі рівняння називаються диференціальними та поділяються на два основних класи: звичайні (невідома функція є функцією однієї змінної) та рівняння у частинних похідних (невідома функція є функцією багатьох змінних). Розглянемо клас звичайних диференціальних рівнянь.

 

1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов'язує незалежну змінну х, шукану функцію у = f(х) та її похідні у', у", ..., у(п): F (х, у, у', у", ..., у(n)) = 0

 

2. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить у рівняння.

 

3. Розв'язком диференціального рівняння називається " у = f(х), яка при підстановці в рівняння, перетворює його на тотожність. Процес відшукання розв`язку називається інтегруванням диф

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти