ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Границі числової послідовності та функції

4.1.1. Короткі теоретичні відомості

Умовні позначення: " - для всіх, кожний, будь-який; $ - існує.

1. Величиною називається все те, що можна охарактеризувати числовим значенням та виразити в певних одиницях виміру.

2. Величина, числове значення якої при умовах, що розглядаються, не змінюється, називається сталою, набуває різних значень - змінною.

3. Змінна величина х називається нескінченно малою величиною, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого числа e > 0: |х| < e.

Позначення: х ® 0 або lim х = 0

4. Змінна величина х називається нескінченно великою величиною, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого |х| стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед заданого числа М > 0 : |х| > М.

Позначення: х ® ¥ або lim х = ¥

5. Зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими обернений: нехай a - нескінченно мала, а b - нескінченно велика, тоді a = 1/ b.

6. Властивості нескінченно малих та нескінченно великих величин:

1) Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.

2) Добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Наслідки:

1) Добуток нескінченно малої на сталу величину є величина нескінченно мала.

2) Добуток скінченої кількості нескінченно малих є величина нескінченно мала.

Аналогічні властивості для нескінченно великих, за винятком різниці нескінченно великих.

 

7. Якщо " nÎN за певним правилом ставиться у відповідність число хn , то множину {х1, х2, ... , хn , ...} називають числовою послідовністю і позначають {хn, n ³ 1}.

 

8. Стала величина а називається границею числової послідовності {хn, n ³ 1}, якщо " e > 0, наперед заданого, як завгодно малого $ такий номер N = N(e), що " n > N виконується нерівність: |хn- а| < e.

 

Це означає, що інтервал (а - e ; а + e)містить всі члени числової послідовності, починаючи з деякого номера. Чим менше ми оберем e, тим пізніше почне виконуватись зазначена властивість (рис. 4. 1).

рис. 4. 1

Позначення: .

9. Послідовність, що має скінченну границю, називається збіжною, в інших випадках - розбіжною.

 

10. Якщо " х Î X за певним правилом поставлене у відповідність певне дійсне число у ÎУ ,токажуть, що у є функцією від х : y = f (x)

11. Нехай функція y = f (x) визначена в деякому околі точки х0 (крім можливо самої точки х0). Число А називається границею функції в точці х0, якщо " e > 0, наперед заданого, як завгодно малого $ число d = d (e) > 0 таке, що " х : |х - x0| < d виконується нерівність: |f(x) - A| < e.

Це означає, що для всіх значень х, які достатньо мало відрізняються від
числа x0, відповідні значення функції f(x) як завгодно мало
відрізняються від числа A.

 

Позначення:

рис. 4.3

 

12. При х ® ¥ число А називається границею функції на нескінченності, якщо для всіх достатньо великих значень х відповідні значення функції f(x) як завгодно мало відрізняються від числа А.

 

13. У наведених означеннях границь вважалось, що х ® х0 довільним способом, але можливі випадки, коли х ® х0, залишаючись зліва від х0 (тобто х < х0), або справа від х0 (тобто х > х0). Такі границі називають односторонніми і позначають:

- лівостороння границя;

- правостороння границя.

 

14. Теорема. Якщо кожна з функцій f(x) та g(x) має скінченну границю в точці х0, то в цій точці $ також границі функцій f(x) ± g(x); f(x)g(x) та f(x) / g(x) (якщо границя g(x) ¹ 0) і справедливі формули:

;

;

.

Наслідки:

с ; [ ]

 

15. Функції a1(х) та a2(х), нескінченно малі при х ® х0, називаються еквівалентними, якщо . Позначення: a1(х) ~ a2(х)

16. Теорема Нехай a1(х) ~ a1´(х), a2(х) ~ a2´(х), при х ® х0. Якщо $ , то $ і ці границі рівні між собою.

 

17. Еквівалентними нескінченно малими при х ® 0 є наступні функції:

sin х ~ х, arctg х ~ х, - 1 ~ х,
arcsin х ~ х, 1- cos х ~ , ln (1 + х) ~ х,
tg х ~ х , - 1 ~ lna ~ nх

18. Чудові границі:

1 чудова границя:

2 чудова границя: , де е – ірраціональне число, яке наближено дорівнює 2.71828…

Друга чудова границя може мати інший вигляд: зробимо заміну 1/х = у, тоді при х ® ¥, у ® 0 і

 

19. У найпростіших випадках знаходження границі зводиться до підстановки в f (x) граничного значення аргументу х0. Але пряма підстановка не завжди призводить до відповіді. Іноді однакові дії з нескінченно малими та нескінченно великими функціями дають різні результати. Наприклад, нехай a - нескінченно мала, a b = a2, g = 2a - теж нескінченно малі, тоді - будуть відповідно нескінченно малою, нескінченно великою та сталою величинами. Аналогічно для нескінченно великих. Така ситуація при знаходженні границь називається невизначеністю.

 

20. Основними типами невизначеностей є , , , , , , .

В разі, якщо підстановка граничного значення аргументу призводить до невизначеності, слід таким чином перетворити функцію f (x) , щоб позбутись цієї невизначеності. Таке перетворення функції називається розкриттям невизначеності. Методи розкриття невизначеностей залежать від типу функції f (x) та типу невизначеності.

Неперервність функцій

4.2.1. Короткі теоретичні відомості

 

1. Функція у = f (x), визначена в точці х0 і деякому околі цієї точки, називається неперервною в точці хо, якщо $ .

Іншими словами, якщо х ® х0 , тобто (х - х0) ® 0, то , тобто

( - ) ® 0

х - х0 = Dx - називається приростом аргументу;

f(x) - f(x0) = f(x0 + Dx) - f(x0) = Dу - приріст функції, отже означення неперервної функції можна дати по-іншому:

Функція у = f (x), визначена в точці х0 і деякому околі цієї точки, називається неперервною в точці х0, якщо та в цій точці є нескінченно малими величинами (тобто нескінченно малому приросту аргумента відповідає нескінченно малий приріст функції).

 

2. Якщо функція неперервна в " точці деякого інтервала, то вона називається неперервною в інтервалі.

3. Умови неперервності:

Функція у = f (x) буде неперервною в точці х0 тоді і тільки тоді, коли вона визначена в деякому околі точки х0 і виконується:

Якщо хоча б одна рівність не виконується, то х0 - точка розриву.

1) - розрив 1 роду усувний або ліквідовний.

2) , обидві границі скінченні - розрив 1 роду, стрибок;

величина стрибка d = | |

3) , причому хоча б одна з границь не існує або нескінченна, - розрив 2 роду.

 

Надалі будемо використовувати такі умовні позначення:

- 0 – від`ємна нескінченно мала;

+ 0 – додатна нескінченно мала;

- ¥ - від`ємна нескінченно велика;

+ ¥ - додатна нескінченно велика;

а – 0 – число, що менше за а на нескінченно малу;

а + 0 – число, що більше за а на нескінченно малу.

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти