ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Диференціальне числення функції однієї змінної

Загрузка...

4.3.1. Короткі теоретичні відомості

Однією з основних характеристик функції є її похідна в певній точці. Найбільш наочне уявлення про зміст похідної дає її геометрична інтерпретація. Тому розглянемо задачу про дотичну до кривої.

1. Дотичною до кривої у = f(x) в точці М(х; у) називається граничне положення січної ММ1, коли точка М1, рухаючись по кривій, прямує до точки дотику М.

Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної (рис. 4.18): надамо аргументу х приросту , відповідний йому приріст функції у буде , тоді координати точки М1 (х + Dх; у +Dу).

З MM1A: .

Якщо 0, точка М1 М, січна повертається навколо точки М і намагається зайняти положення дотичної, а кут . Тангенс кута нахилу дотичної до кривої в точці М і є похідною функції у цій точці.

 

2. Похідною функції у = f(x) по аргументу х називають границю відношення приросту функції до прироста аргумента, коли приріст аргумента прямує до нуля:

.

Похідна функції може позначатись у такий спосіб: .

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням, а функцію, що має похідну в деякій точці, називають диференційовною в цій точці.

 

3. Теорема (зв'язок між неперервністю та диференційовністю)

Якщо функція у = f (x) диференційовнана в деякій точці х0, то вона в цій точці неперервна.

Обернене твердження не справедливо: не кожна неперервна в точці функція буде диференційовною в цій точці.

 

4. Правила диференціювання:

Якщо С – стала, то С' = 0.

Якщо функції u = u(x) та v = v(x) диференційовні в точці х, то їхня алгебраїчна сума, добуток та частка (v(x) 0 ) теж диференційовні в цій точці і справедливі формули:

2.1. (u ± v)' = u' ± v';

2.2. (uv)' = u'v + v'u;

2.3. .

Сталий множник можна виносити за знак похідної: (Cu)' = Cu'.

Диференціювання складеної функції: якщо y = f(u), u = u(x) і функції f та u

диференційовні по своїх аргументах, то yx' = fu' ux'.

Диференціювання обернених функцій: нехай функція у = у(х) має обернену х = х(у), причому обидві функції диференційовні, тоді .

 

5. Таблиця похідних основних елементарних функцій.

Нехай u = u(x). Тоді

1. (un)' = n un-1 ·u' 8. (tg u)' = ·u'
2. (au)' = au ln a ·u' 9. (ctg u)' = ·u'
3. (eu)' = eu ·u' 10. (arcsin u)' = ·u'
4. (logau)' = logae ·u' = ·u' 11. (arccos u)' = - ·u'
5. (ln u)' = ·u' 12. (arctg u)' = ·u'
6. (sin u)' = cos u ·u' 13. (arcctg u)' = - ·u'
7. (cos u)' = - sin u ·u'  

6. Диференціювання функцій, що задані неявно та параметрично.

Неявно задана функція має вигляд F(х; у) = 0. Щоб продиференціювати її, треба взяти похідну по х від обох частин рівності, враховуючи, що у = у(х), і одержане рівняння розв'язати відносно у', у' = у'(х; у).

Параметрично задана функція має вигляд , a £ t £ b, t - параметр.

Її похідна обчислюється за формулою: .

7. Похідні вищих порядків

Нехай на інтервалі (а; b) задана диференційовна функція у = f (х), тоді її похідна f¢ (х) (похідна першого порядку) також є функцією від х. Якщо ця функція диференційовна на (а; b), то її похідна називається похідною другого порядку у² і т.д. Похідною n – го порядку функції у називається похідна 1 – го порядку від похідної (n – 1)-го порядку: у(n) = (у(n-1))' .

 

8. Правило Лопіталя

Правило, що дає змогу розкривати невизначеності вигляду та за допомогою похідних, сформульовано у наступній теоремі.

Теорема. Нехай функції f(x) та g(x) визначені та диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі = = 0 або = = ¥, причому g'(x) ¹ 0. Тоді якщо $ , то $ , і ці границі рівні між собою.

 

9. Диференціал та його геометричний зміст

Диференціалом dy функції у = f (х) в точці х називається головна, лінійна відносно , частина приросту функції f (х) в цій точці: dy = f ¢ (х) dx.

10. Основні теореми диференціального числення

Теорема Лагранжа

Якщо функція у = f(x), неперервна на відрізку [а; b], диференційовна в інтервалі (а; b), то в середині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка с Î (а; b), в який f(b) – f(a) = f `(c) (b-a)

 

Теорема Ролля

Якщо функція у = f(x), неперервна на відрізку [а; b], диференційовна в інтервалі (а; b) і на кінцях відрізка набуває однакових значень f(a) = f(b), то знайдеться хоча б одна точка с Î (а; b), в який f `(c) = 0

 

11. Функція у = f(x) називається монотонно зростаючою на (а; b), якщо " х1 < х2 з інтервалу (a; b) Þ f(x1) < f(x2)

Функція у = f(x) називається монотонно спадною на (а; b), якщо " х1 < х2 з інтервалу (a; b) Þ f(x1) > f(x2)


Рис. 4. 11

12. Теорема (необхідна ознака зростання (спадання) функції)

Якщо диференційовна на (а; b) функція зростає (спадає), то f ¢ (х) ³ 0 ( f ¢ (х) £ 0 )

Теорема (достатня ознака зростання (спадання) функції)

Якщо у = f(x) диференційовна на (а; b) функція і f ¢ (х) > 0 (f ¢ (х) < 0 ) на (а; b), то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.

 

13. Інтервали монотонності функції відділяються один від одного точками, у яких похідна = 0, або не існує. Такі точки називаються критичними точками 1 роду.

 

14. Функція у = f(x) має екстремум в точці х0, якщо $ такий окіл точки х0, для всіх х якого виконується нерівність: f(x) < f(x0) – для максимума і f(x) > f(x0) - для мінімума (рис. 4. 12).

 

15. Теорема (достатня умова екстремуму функції)

Нехай функція у = f(x) диференційовна в околі точки x0, крім можливо самої точки x0, яка є критичною точкою 1 роду. Тоді якщо

1) f ´(х) > 0 " х < х0 і f ´ (х) < 0 " х > х0, то х0 є точкою максимума;

2) f ´(х) < 0 " х < х0 і f ´ (х) > 0 " х > х0, то х0 є точкою мінімума;

3) якщо при переході через точку х0 похідна не змінює знак, то х0 не є екстремальною.

 

16. Крива у = f(x) називається опуклою на (а; b), якщо всі її точки лежать нижче довільної дотичної на цьому інтервалі.

Крива у = f(x) називається вгнутою на (а; b), якщо всі її точки лежать вище довільної дотичної на цьому інтервалі.

Точкою перегину називається така точка кривої, яка відділяє її опуклу частину від вгнутої. Отже, в точці перегину дотична перетинає криву (рис. 4. 13).

Рис. 4. 13

Теорема

Нехай функція у = f (x) двічі диференційовна на (а; b), тоді якщо

1) f `` (х) > 0 " х Î (а; b), то крива вгнута на цьому інтервалі;

2) f `` (х) < 0 " х Î (а; b), то крива опукла на (а; b).

 

Інтервали опуклості і вгнутості відділяються один від одного точками, де похідна другого порядку дорівнює 0, або не існує (критичними точками 2 роду).

 

17. Теорема (достатня умова існування точки перегину)

Нехай функція у = f (x) двічі диференційовна в околі точки х0, крім можливо самої точки х0, яка є критичною точкою 2 роду. Тоді якщо при переході через х0 похідна другого порядку змінює знак, то х0 є точкою перегину кривої у = f (x).

 

Пряма l називається асимптотою кривої, якщо відстань від змінної точки М кривої до l прямує до нуля, коли точка М, рухаючись по кривій, віддаляється на нескінченність (рис. 4. 14).

 

Рис. 4. 14

19. Асимптоти бувають вертикальними, горизонтальними та похилими.

Умова існування вертикальної асимптоти х = а : , або , або , тобто функція має розрив 2 роду.

Рівняння похилої асимптоти знаходять у вигляді у = kx + b, де

, а .

Якщо k = 0, то похила асимптота буде горизонтальною. Якщо принаймні одна з границь, що визначають k і b, не існує або дорівнює нескінченості, то похилої асимптоти немає.

 

20. При проведенні повного дослідження функції та побудові її графіка користуються наступним алгоритмом:

1. знаходять область визначення функції;

2. визначають точки перетину графіка з осями координат;

3. досліджують на парність та періодичність;

4. визначають точки та характер розриву функції;

5. знаходять інтервали монотонності та екстремуми;

6. визначають інтервали опуклості-вгнутості та точки перегину;

7. знаходять рівняння асимптот;

8. за даними дослідження будують графік функції.

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти