ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Найбільше та найменше значення функції у замкненій області

5. 4. 1. Короткі теоретичні відомості

1. Нехай функція z = z(х, у) визначена в області D, точка М00, у0) Î D. Якщо існує окіл точки М0 з області D, і для всіх відмінних від М0 точок М цього околу виконується нерівність z(М) < z(М0) (z(М) > z(М0)), то М0 називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції z(х, у), а число z(М0) - локальним максимумом (мінімумом).

 

2. Необхідна умова екстремуму

Якщо функція z = z(х, у) досягає в точці М00, у0) екстремуму (ехtr), то 0 та 0 або не існують в цій точці. Такі точки називаються критичними (стаціонарними) або підозрілими на ехtr.

 

3. Достатня умова екстремуму

Нехай точка М00, у0) - критична точка функції z = z(х, у) і в цій точці та деякому її околі функція має неперервні частинні похідні 2-го порядку.

Позначимо а11 = , а22 = , а12 = а21 = .

, тоді

1) якщо D > 0, то М0 - ехtr, причому при а11 < 0 - mах, а при а11 > 0 min;

2) якщо D < 0, то т.М0 - не є ехtr;

3) якщо D = 0, то потрібні додаткові методи дослідження.

 

4. Нехай z = z(х, у) задана та неперервна в замкненій області G. Для того, щоб знайти найбільше (М) та найменше (m) значення функції в цій області, треба:

дослідити її на екстремум;

відібрати серед екстремальних точок ті, що належать області G;

дослідити функцію на екстремум на межі області G. Для цього рівняння межі у = у (х) слід підставити в z = z(х, у), одержати функцію однієї змінної z = z(х) і дослідити її на екстремум;

обчислити значення функції z = z(х, у) в кутових точках області (якщо вони є);

серед екстремальних точок в середині області, на її межі та кутових точок обрати найбільше та найменше.

 

5. 4. 2 Приклади розв`язування задач

 

Дослідити функцію z = z(х, у) на безумовний екстремум:

1.

Розв`язування:

Знайдемо критичні точки функції z за необхідною умовою екстремуму:

. Після перетворень маємо: Þ Þ . Перше рівняння після перетворень набуває вигляду: , це біквадратне рівняння, розв`язуючи яке знаходимо . Таким чином, маємо 4 розв`язки: у1 = 2, у2 = -2; у3 = 1; у4 = -1. Відповідні значення х: х1 = 1, х2 = -1; х3 = 2; х4 = -2.

Отже, критичними точками є М1 (1; 2), М2 (-1; -2), М3 (2; 1), М4 (-2; -1). Далі перевіряємо їх на екстремум за достатньою умовою. Для цього знаходимо всі похідні другого порядку функції z. , , . Складаємо визначник: = 36 ( ). Обчислимо значення визначника в кожній критичній точці, підставивши їхні координати:

D (М1) = 36 (1 – 4) = - 108 < 0, тобто т. М1 не є екстремальною.

D (М2) = - 108 < 0, т. М2 також не є екстремальною.

D (М3) = 36 (4 – 1) = 108 > 0, тобто т. М3 екстремум, причому > 0, значить М3 точка мінімуму.

D (М4) = 108 > 0, значить М4 також екстремум, причому < 0, отже М4 точка максимуму.

Таким чином, серед чотирьох критичних точок екстремальними виявились лише дві. Знайдемо значення функції z в цих точках, підставивши їхні координати в z: zmin (2; 1) = - 28; zmax(-2; -1) = 28.

 

2.

Розв`язування:

Дослідження проводимо за тією ж схемою, що й у попередньому прикладі:

Þ . Домножимо перше рівняння на 3, а друге - на 2 і почленно додамо їх: 5у – 20 = 0 Þ у = 4. Підставивши це значення у в будь-яке з рівнянь системи одержимо відповідне значення х: х = 1. Отже, критична точка одна: М(1; 4). Перевіряємо достатню умову:

, , . Складаємо визначник: = -5 < 0, тобто т. М не є екстремальною.

Відповідь: задана функція екстремумів не має.

 

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Невизначені інтеграли

7. 1. 1 Короткі теоретичні відомості

1. Поставимо задачу: за заданою функцією F(х) знайти f(х) таку, що f(х) = F'(х). Як відомо, ця дія називається диференціюванням. Обернена задача: за заданою f(х), знайти таку F(х), щоб F'(х) = f(x). Така дія називається інтегруванням. Отже, диференціювання та інтегрування - взаємно обернені дії.

 

2. Функція F(х) називається первісною функції f(х), якщо " х F'(х) = f(х).

Якщо F(х) - первісна функції f(х), то вираз F(х) + С називається невизначеним інтегралом від f(х) і позначається , де

f(х)- підінтегральна функція;

f(х)dx - підінтегральний вираз;

С - довільна стала інтегрування.

 

3. Властивості невизначеного інтеграла:

1) ;

2) ;

3) .

4. Правила інтегрування:

1) Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

2) Інтеграл від алгебраїчної суми кількох функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій:

 

На відміну від правил диференціювання, загальних формул для інтегрування добутку та частки функцій не існує. Інтеграли від добутків та часток розподілені на певні класи та розроблено відповідні методи інтегрування кожного класу.

 

5. Таблиця інтегралів основних елементарних функцій безпосередньо випливає з таблиці похідних. Справедливість формул перевіряється диференціюванням.

Нехай u = u(x). Тоді

1) (un)' = n un-1 ·u' Þ , n ¹ -1. При n = 0 ;

2) (au)' = au ln a ·u' Þ ;

3) (eu)' = eu ·u' Þ ;

4) (ln u)' = ·u' Þ ;

5) (sin u)' = cos u ·u' Þ ;

6) (cos u)' = - sin u ·u' Þ ;

7) (tg u)' = ·u' Þ ;

8) (ctg u)' = ·u' Þ ;

9) (arcsin u)' = ·u' Þ ;

10) (arctg u)' = ·u' Þ .

 

6. Часто на практиці використовуються інтеграли, які безпосередньо не випливають з таблиці похідних, а знайдені застосуванням певних методів інтегрування:


11) ;   12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) .

 

Основними методами інтегрування є:

 

7. Безпосереднє інтегрування. Цей метод полягає в обчисленні інтегралів за допомогою правил інтегрування і таблиці інтегралів. У разі потреби підінтегральну функцію певними алгебраїчними перетвореннями зводять до елементарної табличної функції.

 

8. Метод заміни змінної (підстановки).

Суть цього методу полягає у введенні нової змінної інтегрування. Він ґрунтується на наступній теоремі:

Теорема 7. 1

Нехай F(х) - первісна функції f(х) на проміжку (а;b), тобто , xÎ(а;b), і нехай функція х = j (t) визначена і диференційована на проміжку (a;b), причому множина значень цієї функції є проміжок (а;b). Тоді справедлива формула:

, t Î (a;b)

 

Цю теорему застосовують у два способи:

1) Заміна змінної:

-

введення функції під знак диференціала.

2) Підстановка:

= -

виведення функції з-під знаку диференціала.

 

Найпростіша заміна змінної:

=

 

9. Метод інтегрування частинами.

Цей метод застосовується, коли підінтегральна функція є добутком двох функцій, принаймні одна з яких є трансцендентною.

Нехай u = u(х), v = v(х) - деякі диференційовані функції. Тоді справедлива формула

.

Застосування: , де Р(х) - многочлен, а

1) j(х) = , sin kx, соs kх, kÎ R.

Тоді P(х) = u, j(х) dx = dv.

2) j(х) = ln x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Тоді j(х) = u, P(х) dx = dv.

 

10. Інтегрування раціональних дробів.

Раціональним дробом називається функція вигляду:

Якщо n < m - дріб правильний, якщо n ≥ m, дріб неправильний, тоді його треба представити у вигляді суми цілої частини та правильного дробу:

.

Далі знаменник дробу розкладається на множники за теоремою 7. 2.

 

Теорема 7. 2

Всякий многочлен n-го степеня можна подати у вигляді:

де х - змінна, решта - сталі, причому , а всі мають D < 0. Цей вираз називається розкладом многочлена на множники. Він має дійсні та комплексні корені, прості та кратні.

 

Залежно від множників, на які розкладено раціональний дріб, він може бути представлений у вигляді суми елементарних дробів за теоремою 7. 3.

 

Елементарними раціональними дробами називаються правильні раціональні дроби чотирьох типів:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

 

Теорема 7. 3

Нехай знаменник правильного раціонального дробу розкладено на множники за формулою з теореми 7. 2, тоді цей дріб можна подати у вигляді суми елементарних дробів за формулою:

 

Невідомі сталі в чисельниках елементарних дробів знаходяться методом порівняння коефіцієнтів.

 

Інтегрування елементарних дробів:

1) ;

2) ;

3) = = = =

= + =

= + =

= + ;

4) - розв`язується за допомогою такої ж підстановки, що і інтеграл третього типу і повторним інтегруванням частинами.

 

11. Інтегрування ірраціональних функцій

Ірраціональні функції (ті, що містять змінну у дробових степенях) інтегруються за допомогою підстановок.

1) - нехай k - спільний знаменник дробів . Тоді застосовується підстановка: ;

2) Підстановка: х = а sin t, або х = а соs t;

3) Підстановка: х = а/sin t, або х = а/соs t;

4) Підстановка: х = а tg t, або х = а сtg t.

 

12. Інтегрування тригонометричних функцій.

1) . Застосовується універсальна тригонометрична підстановка: , тоді , ,

x = 2 arctg t, ;

2) , заміна змінної sin x = t;

3) , заміна змінної соs x = t;

4) , заміна змінної tg x = t.

 

Також для інтегрування тригонометричних функцій використовуються тригонометричні формули зниження степеня:

, ,

та формули розкладення добутку тригонометричних функцій в суму:

;

;

,

Та інші формули перетворення тригонометричних функцій.

Визначені інтеграли

7. 2. 1 Короткі теоретичні відомості

 

1. Нехай функція у = f(х) визначена на відрізку [а; b], а < b (рис. 7. 1). Розіб'ємо [а; b] на n елементарних відрізків точками х1, х2, ..., хn-1. На кожному відрізку розбиття виберемо довільну точку Î [ xi-1; хi ] та обчислимо f( ). Площа і-го прямокутника: Sі = f( )Dхi, деi = хi - xi-1 .

Площа східчастої фігури називається інтегральною сумою.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої у = f(х), у = 0, х = а, х = b:

Рис. 7. 1

 

Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при максимальному відрізку розбиття, прямуючому до нуля, незалежна від способу розбиття та вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції f(х) на відрізку [а; b] і позначається :

= .

а, b - нижня та верхня межі інтегрування.

 

2. Властивості визначеного інтеграла:

= ; = ± ; = 0; = - ; Якщо с Î [а; b] , то = ;

Якщо " х є [а; b] f(x) £ g(x), то £ ;

Якщо m та М - найменше та найбільше значення f(х) на [а; b], то

m(b – a) £ £ М(b - а) (див. рис. 7. 2);

8) Якщо f(х) неперервна на [а; b], то знайдеться така точка с Î [а; b], що

= f(с)(b – a)

 

3. Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона - Лейбніца

Нехай функція у = f(х) неперервна на відрізку [а; b], тоді вона інтегрована на кожному відрізку [а; х] Î [а; b] ( х Î [а; b] ), тобто $ = Ф(х) - інтеграл із змінною верхньою межею (t º х).

Теорема 7.4 Похідна визначеного інтеграла із змінною верхньою межею по верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі:

Ф¢(х) = ( ) = f(x).

Наслідок: Ф(х) - одна з первісних функції f(х).

 

Теорема 7.5 Якщо F(х) є якою-небудь первісною неперервної функції f(х), х Î [а; b], то справедлива формула Ньютона – Лейбніца:

= F(b) – F(a).

 

4. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Якщо функції u = u(х) та v = v(x) мають на [а; b] неперервні похідні, то

= -

5. Заміна змінної у визначеному інтегралі

Теорема 7.6 Нехай задано , де f(х) неперервна на [а; b] . Введемо

нову змінну х = j (t), t Î [a; b]. Якщо:

j (a) = a, j (b) = b;

j (t), j¢ (t) неперервні на [a; b];

3) f(j (t)) визначена та неперервна на [a; b], то

=

 

6. Застосування визначеного інтеграла

6.1 Обчислення площі криволінійної трапеції

Геометричний зміст визначеного інтеграла - це площа криволінійної трапеції S, обмеженої у = f(х), у = 0, х = а, х = b. Якщо функція змінює свій знак на відрізку [а; b], то S = .

6.2 Обчислення довжини дуги кривої

Обчислення довжини дуги l кривої у = f(х) від точки х1 = а до х2 = b здійснюється за формулою .

6.3 Обчислення об`єму тіл обертання

При обертанні криволінійної трапеції навколо однієї з осей координат, утворюється просторова фігура, яка називається тілом обертання. Нехай криволінійна трапеція, що обмежена графіком функції у = f(х), у = 0, х = а, х = b, обертається навколо осі ОХ (рис. 7. 4).

Розіб`ємо відрізок [а; b] на n елементарних відрізків точками хі (1£ і £ n, хn = b). Проведем дві площини перпендикулярно до осі ОХ через точки хі-1 та хі. Позначимо хі - хі-1 = Dхі. Оберем довільну точку Î [ xi-1; хi ] та обчислимо f( ). При і ® 0 утворену між перерізами фігуру можна вважати циліндром з висотою і та основою – колом з радіусом f( ). Площа основи буде дорівнювати p . Отже, об`єм елементарного циліндра дорівнює іp . Об`єм усього тіла обертання (V) наближено дорівнює сумі об`ємів елементарних циліндрів - це інтегральна сума, тому переходячи до границі при n ® ¥ (або maxDхі ® 0) одержимо або .

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

 

8. 1 Короткі теоретичні відомості

 

При досліжденні різноманітних процесів та явищ, що містять елементи руху, користуються математичними моделями у вигляді рівнянь, до яких, крім незалежних змінних та функцій, входять похідні цих функцій. Такі рівняння називаються диференціальними та поділяються на два основних класи: звичайні (невідома функція є функцією однієї змінної) та рівняння у частинних похідних (невідома функція є функцією багатьох змінних). Розглянемо клас звичайних диференціальних рівнянь.

 

1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов'язує незалежну змінну х, шукану функцію у = f(х) та її похідні у', у", ..., у(п): F (х, у, у', у", ..., у(n)) = 0

 

2. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить у рівняння.

 

3. Розв'язком диференціального рівняння називається " у = f(х), яка при підстановці в рівняння, перетворює його на тотожність. Процес відшукання розв`язку називається інтегруванням диференціального рівняння.

 

4. Найпростіше диференціальне рівняння першого порядку, розв'язане відносно похідної, у¢ = f(х).Оскільки диференціал функції , то , підставляючи в рівняння, одержимо Þ Þ Þ y = F(x) + C.

 

5. Кожне диференціальне рівняння має нескінченну множину розв'язків, що відрізняються лише довільною сталою y = F(x) + C. Ця сукупність розв'язків називається загальним розв 'язком диференціального рівняння. Кількість довільних сталих загального розв'язку дорівнює порядку рівняння.

 

6. Якщо загальний розв'язок є неявною функцією відносно у: Ф ( у, х, С ) = 0, то він називається загальним інтегралом рівняння.

 

7. Надаючи довільній сталій С конкретних числових значень, одержимо частинні розв'язки диференціального рівняння, отже дістанемо нескінченну множину розв`язків. Графік частинного розв`язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння. Усі інтегральні криві одного рівняння відрізняються лише сталим доданком, тому графічно загальний роз`язок утворює сім`ю паралельних кривих (рис. 8. 1). Для того, щоб із загального розв'язку одержати частинний, треба задати початкову умову, тобто вказати пару значень х та у : х = х0, у = у0.

 

8. Сумісне завдання диференціального рівняння та початкових умов, кількість яких дорівнює порядку рівняння, називається задачею Коші.

Геометрично розв`язати задачу Коші означає визначити єдину інтегральну криву, що проходить через задану точку площини (х0; у0).

 

9. Методи розв'язування диференціальних рівнянь першого порядку

 

9.1 Рівняння з відокремленими змінними

Диференціальне рівняння, в якому множник при dx є функцією, залежною тільки від змінної х, а при dy – залежною тільки від у, називається рівнянням з відокремленими

змінними.

Þ Þ

 

9.2 Рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння, з якого шляхом елементарних алгебраїчних перетворень можна одержати рівняння з відокремленими змінними, називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Þ Þ

 

9.3 Однорідні рівняння

Функція f(х, у) називається однорідною, якщо "t ¹ 0 виконується f(tx; ty) = f(x; y).

Диференціальне рівняння у' = f(х, у) називається однорідним, якщо функція f(х, у) є однорідною.

Однорідне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки у = uх, де u = u(х), а х - незалежна змінна.

При цьому t = , тоді f(х, у) = f(tх, tу) = f(1, u). Отже, рівняння у' = f(х, у) набуде вигляду u¢ х + u = f(1, u).

 

9.4 Лінійні диференціальні рівняння

Диференціальне рівняння вигляду у' + р(х) у = q(х) називається лінійним рівнянням.

Лінійне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки у = uv, де u = u(х), v = v(х) – певні функції, одна з яких довільна, друга визначається з рівняння. Підставляючи у = uv в рівняння, одержимо

u'v + v'u + р(х)uv = q(х) Þ u'v + u(v¢ + р(х)v) = q(х)

Нехай v = v(x) – довільна. Виберемо її такою, щоб v' + р(х)v = 0 Þ v = .

З рівняння залишилось u'v = q(х) Þ u = .

Відповідь: у = uv = ( ) = ( ).

 

9.5 Рівняння Бернуллі

Рівнянням Бернуллі називається рівняння вигляду у' + р(х) у = q(х)уa, a ¹ 0; a ¹1.

При a = 0 рівняння є лінійним, при a = 1 - з відокремлюваними змінними.

Рівняння Бернуллі зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою такої ж підстановки, як і лінійне

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти