ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

Стереометрія

Стереометрія – частинагеометрії, що вивчає властивості геометричних фігур у просторі.

АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ

. У просторі існує площина і (принаймні одна) точка, що не лежить у цій площині.

. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і вся пряма лежить у цій площині.

. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.

Теорема.Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Теорема.Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

 

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

Мимобіжні і паралельні прямі

Означення.Дві прямі, які не лежать в одній площині, називають мимобіжними.

Теорема (ознака мимобіжних прямих).Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину, але не перетинає першу пряму, то дані прямі мимобіжні.

Означення.Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Теорема.Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

Теорема.Дві прямі, паралельні третій, паралельні.

Паралельність прямої і площини

Означення.Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Теорема (ознака паралельності прямої і площини).Якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Паралельність площин

Означення.Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

Теорема (ознака паралельності площин).Якщо дві прямі, які перетинаються і лежать в одній площині, паралельні двом прямим другої площини, то такі площини паралельні.

Теорема.Паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих.

Теорема.Відрізки паралельних прямих, які відтинаються паралельними площинами, рівні.

Паралельне проектування і його властивості

Теорема.Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:

1) відрізки фігури зображаються відрізками;

2) паралельні відрізки – паралельними відрізками, або відрізками однієї прямої;

3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.

 

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

Кут між прямими. Перпендикулярність прямих

Теорема.Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні іншим прямим, що перетинаються, то кут між першими прямими дорівнює куту між другими.

Означення.Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіжним прямим.

Означення.Дві прямі називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

Теорема.Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої.

Перпендикулярність прямої і площини

Означення.Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині і проходить через точку перетину.

Теорема (ознака перпендикулярності прямої і площини).Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини.

Наслідки.

1) Пряма, перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, перпендикулярна до площини, яка проходить через ці прямі.

2) Пряма, перпендикулярна до площини, перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

3) Якщо пряма перпендикулярна до двох сторін трикутника, то вона перпендикулярна і до третьої його сторони (рис.1).

Рис.1

Теорема.Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і друга пряма перпендикулярна до цієї площини.

Теорема.Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні.

Перпендикулярні площини

Означення.Кутом між площинами, які перетинаються, називається кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину. Якщо площини паралельні, то вважають, що кут між ними дорівнює 0°.

Означення. Дві площини називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°.

Теорема (ознака перпендикулярності площин). Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Теорема. Пряма, проведена в одній з двох перпендикулярних площин перпендикулярно до прямої їх перетину, перпендикулярна до другої площини.

Ортогональне проектування

Означення.Якщо проектуючи прямі перпендикулярні до площини проекцій, таке проектування називають ортогональним.

Теорема. Площа проекції многокутника на площину дорівнює площі даного многокутника, помноженій на косинус кута між їх площинами.

Теорема (просторова теорема Піфагора). Квадрат довжини будь-якого відрізка дорівнює сумі квадратів довжин його проекцій на три взаємно перпендикулярні прямі.

ВІДСТАНІ І КУТИ

Означення.Відстанню між двома фігурами називають відстань між найближчими точками цих фігур (якщо такі точки існують). Якщо дві фігури мають спільні точки, то вважають, що відстань між ними дорівнює 0.

Означення.Відстанню від точки до прямої називають перпендикуляр, опущений з точки на пряму, коротший від будь-якого відрізка, що сполучає цю точку з даною прямою.

Означення. Відстань від точки до відрізка не завжди дорівнює відстані від точки до прямої, якій належить цей відрізок. Вона може дорівнювати відстані від даної точки до кінця відрізка.

Означення. Відстань від точки до площини дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину.

Означення.Відстанню між мимобіжними прямиминазивається довжина їхнього спільного перпендикуляра.

Означення.Відстань між паралельними площинами – довжина перпендикуляра, опущеного з будь-якої точки площини на паралельну їй площину.

Кут між прямою і площиною

Означення. Кутом між прямою і площиноюназивають кут між прямою і її проекцією на площину.

Теорема.Кут між похилою і площиною найменший з усіх кутів, які похила утворює з прямими, проведеними на площині через основу похилої.

Двогранні кути

Означення.Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує. Півплощини, які утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, – ребром двогранного кута.

Означення.Лінійним кутом двогранного кута називається кут, утворений перетином даного двогранного кута площиною, перпендикулярною до його ребра.

 

ГЕОМЕТРИЧНЕ ТІЛО

Означення.Геометричне тіло являє собою частину простору, яку займає фізичне тіло.

Означення.Геометричною фігурою називається будь-яка множина точок площини або простору.

Означення.Точка називається граничною для фігури в просторі, якщо в будь-якій кулі з центром у цій точці знайдеться як точка даної фігури, так і точка, що не належить цій фігурі.

Означення.Множина граничних точок фігури називається її границею.

Означення.Точка фігури, яка не лежить на її границі, тобто не є її граничною точкою, називається внутрішньою точкою фігури.

Означення.Множина внутрішніх точок фігури називається її внутрішністю.

Означення. Про точки простору, які не лежать ні на границі, ні всередині фігури, говорять, що вони лежать зовні фігури або є її зовнішніми фігурами.

Означення.Фігура, що містить всі свої граничні точки (тобто свою границю), називається замкненою.

Означення.Тілом називається фігура в просторі, яка має дві властивості:

1) у неї є внутрішні точки, і будь-які дві з них можна з’єднати ламаною (або відрізком), що цілком проходить всередині фігури, тобто складається з внутрішніх точок;

2) фігура містить свою границю, та її границя співпадає з границею її внутрішності.

Означення.Границя тіла називається його поверхнею.

Означення.Фігура в просторі називається обмеженою, якщо її можна заключити в яку-небудь сферу.

Означення.Фігура називається опуклою, якщо разом з будь-якими двома своїми точками містить усі точки відрізка, що з’єднує їх.

Означення.Поверхня обмеженого опуклого тіла називається замкненою опуклою поверхнею.

Означення.Фігура називається простою, якщо вона обмежена і кожна пряма має скінчене число окремих точок і відрізків спільних з границею цієї фігури або не має таких точок і відрізків.

Поняття площі та об’єму

Означення.Дві фігури називають рівними, якщо їх можна сумістити за допомогою руху.

Означення.Площею простої плоскої фігури називається невід’ємна величина визначена для кожної простої плоскої фігури так, що:

1) рівні фігури мають рівні площі;

2) якщо плоска фігура складена зі скінченого числа простих плоских фігур, то її площа дорівнює сумі площ складових фігур;

3) одиницею вимірювання площ є площа квадрату, довжина ребра якого прийнята за одиницю вимірювання довжин.

Означення.Площею поверхні многогранника називається сума площ усіх його граней.

Означення.Об’ємом простої фігури називається невід’ємна величина, визначена для кожної простої фігури в просторі так, що:

1) рівні прості фігури мають рівні об’єми;

2) якщо проста фігура складена зі скінченого числа простих фігур, то її об’єм дорівнює сумі їх об’ємів;

3) одиницею вимірювання об’ємів є об’єм куба, довжина ребра якого прийнята за одиницю вимірювання довжин.

Означення.Два тіла, що мають рівні об’єми, називають рівновеликими.

МНОГОГРАННИКИ

Поняття многогранника

Означення.Многогранник – це обмежене тіло, поверхня якого складається зі скінченого числа плоских многокутників.

Означення.Многокутники, із яких складається поверхня многогранника, називаються його гранями. Сторони граней називаються ребрами, а вершини граней – вершинами многогранниками.

Означення.Відрізок, який з’єднує дві вершини, що не належать одній грані, називається діагоналлю многогранника.

Означення.Діагональною площиною многогранника називається площина, що проходить через три вершини многогранника, які не лежать в одній грані.

Означення.Опуклим многогранником називається многогранник, який розташований з одного боку від площини кожної з граней.

Означення.Якщо поверхню многогранника розрізати по ребрах і розгорнути її так, щоб усі многокутники, які належать поверхні, лежали в одній площині, то отримаємо фігуру, яка називається розгорткою.

Теорема Ейлера.Якщо Г- число граней опуклого многогранника, Р – число ребер, В – число його вершин, то Г + В – Р = 2.

Правильні многогранники

Означення.Многогранник називається правильним, якщо всі його грані є рівними між собою правильними многокутниками і в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер.

Введемо позначення: а – ребро многогранника, Г – кількість граней, - кількість ребер (сторін) у кожної грані, - кількість ребер у кожної вершини, В – кількість вершин, Р – загальна кількість ребер, S – площа поверхні, V – об’єм, R – радіус описаної кулі, r – радіус вписаної кулі.

Назва многогранника Властивості многогранника та співвідношення між його елементами
Тетраедр (правильний чотиригранник) Г = 4, , , В = 4, Р = 6;
Гексаедр (правильний шестигранник – куб) Г = 6, , , В = 8, Р = 12;
Октаедр (правильний восьмигранник) Г = 8, , , В = 6, Р = 12;
Додекаедр (правильний дванадцятигранник) Г = 12, , , В = 20, Р = 30;
Ікосаедр (правильний двадцятигранник) Г = 20, , , В = 12, Р = 30;

 

ПРИЗМА ТА ПАРАЛЕЛЕПІПЕД

Поняття паралелепіпеда

Означення.Паралелепіпедом називається призма, основами якої є паралелограми.

Означення.Дві грані паралелепіпеда, що мають спільне ребро, називаються суміжними, а ті, що не мають спільного ребра – протилежними.

Означення.Дві вершини, що не належать одній грані, називаються протилежними.

Означення.Відрізок, що сполучає протилежні вершини, називається діагоналлю паралелепіпеда.

Означення.Якщо бічні ребра паралелепіпеда перпендикулярні до площини його основи, то паралелепіпед називається прямим.

Означення.Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом.

Означення.Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Властивості паралелепіпеда

Теорема.У паралелепіпеда:

1) протилежні грані рівні і паралельні;

2) усі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

Теорема.У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його лінійних вимірів.

Бічна поверхня призми

Означення.Перпендикулярним перерізом називається многокутник, який отримано при перерізі призми площиною, що перпендикулярна до кожного бічного ребра. Сторони цього многокутника перпендикулярні до ребер.

Теорема. Бічна поверхня призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра.

Означення.Площею повної поверхні призми називається сума площ її бічних граней (площа бічної поверхні) і площ основ призми: .

Теорема. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його лінійних вимірів.

Теорема. Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

Теорема. Об’єм похилої призми дорівнює добутку площі основи на висоту.

ПІРАМІДА

Означення.Пірамідою називається многогранник, у якого одна грань, що називається основою,

Паралелепіпед

Паралелепіпедом називається призма, в основі якої лежить паралелограм. Усі грані паралелепіпеда — паралелограми. Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.

Теорема 1. Протилежні грані паралелепіпеда є паралельними й рівними.

Теорема 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл.

Із цього випливає, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.

Якщо дві діагоналі прямого паралелепіпеда виходять із сусідніх вершин, то більша з них та, яка проектується у більшу діагональ основи, тобто таку діагональ паралелограма, яка лежить проти тупого кута. Отже, якщо на рис.37 вважати кут ABC тупим, отримаємо , .

Рис.37

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом(рис.38).

Рис.38

Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники, які можна розбити на три пари рівних між собою. Довільну грань прямокутного паралелепіпеда можна вважати його основою. Враховуючи, що при паралельному проектуванні довільний паралелограм може зображуватися довільним паралелограмом, зображення прямокутного паралелепіпеда ніяк не відрізняється від зображеня будь-якого прямого паралелепіпеда. Довжини непаралельних ребер називаються лінійними розмірами(вимірами) прямокутного паралелепіпеда.

Теорема 3. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда є прямими. Прямокутний паралелепіпед має три пари рівних між собою діагональних перерізів. Кожний із цих перерізів є прямокутником (рис.39).

Рис.39

Кожна пара перерізів перетинається по прямій, яка проходить через точки перетину діагоналей протилежних граней. Відрізки між цими точками є паралельними й дорівнюють одному з ребер прямокутного паралелепіпеда. Прямокутним є трикутник, який утворюється діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, діагоналлю бічної грані й стороною основи (рис.40).

Рис.40

Прямокутний паралелепіпед має центр симетрії — це точка перетину його діагоналей. Він також має три площини симетрії, які проходять через центр симетрії паралельно граням.

Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника — основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи — вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Висота піраміди — перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи. Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Трикутна піраміда називається тетраедром. Бічна грань піраміди — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

На рис.41 SO — висота піраміди. Тоді < OАS — кут між бічним ребром і площиною основи (SO — перпендикуляр, — похила, — проекція).

Рис.41

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром многокутника. Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту. Бічні ребра правильної піраміди рівні, бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані, проведена з вершини піраміди, називається апофемою. Вона є бісектрисою та медіаною бічної грані, оскільки та є рівнобедреним трикутником.

Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему. , де Р — периметр основи, а — сторона основи, l — довжина апофеми.

Правильна трикутна піраміда

В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник, який зображується довільним трикутником (рис.42).

Рис.42

Центром перетину (АВС) є точка перетину його бісектрис, котрі водночас є висотами і медіанами. Медіани при паралельному проектуванні зображуються медіанами. Точка їх перетину — основа висоти піраміди. Зображуємо висоту, а потім з’єднуємо вершину піраміди з вершинами основи. Отримаємо бічні ребра. На рис.42 < SBO = α — кут нахилу бічного ребра до площини основи (однаковий для всіх ребер); < SDO = φ — кут нахилу бічної грані до площини основи (однаковий для всіх граней).

Зрізана піраміда

Зрізаною пірамідою (рис.45) називається многогранник, який залишиться, якщо від піраміди відділити площиною, яка паралельна основі, піраміду з тією ж вершиною.

Теорема. Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає подібну піраміду.

Рис.45

Правильна зрізана піраміда — це зрізана піраміда, яку дістали з правильної піраміди. Її бічні ребра рівні й нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом. Її бічні грані дорівнюють рівнобічній трапеції і нахилені до площини нижньої основи під одним і тим самим кутом. Висоти бічних граней піраміди називаються апофемами. Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ і апофеми.

, де і - периметри відповідних основ, - апофема.

ТІЛА ОБЕРТАННЯ

Циліндр

Круговим циліндром називається тіло, яке складається з двох кругів, що не лежать в одній площині й суміщаються паралельними перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів (рис.46). Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, —твірними циліндра. Основи циліндра рівні й лежать у паралельних площинах. Твірні циліндра паралельні й рівні. Бічна поверхня циліндра складається з його твірних. Поверхня — з основі бічної поверхні. Радіус циліндра — це радіус його основи. Висота циліндра — відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ. Вісь циліндра паралельна твірним.

Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ. Прямий циліндр (далі просто «циліндр») можна дістати в результаті обертання прямокутника навколо сторони як осі. У прямому циліндрі висота дорівнює твірній.

Перерізом циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник. Дві його сторони — твірні циліндра, а дві інші — рівні й паралельні хорди основ. Осьовий переріз — переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь. Площина, паралельна осі циліндра, перпендикулярна до площин його основ (рис.46):

Рис.46

Відстанню від осі циліндра до площини перерізу, якщо ця площина паралельна осі циліндра, є перпендикуляр, проведений з точки , до хорди (або з О до АВ). Відрізок є висотою, тобто бісектрисою й медіаною в рівнобедреному трикутнику , де = = B (радіус циліндра). Хорду АВ видно з центра нижньої основи під кутом АОВ, а з центра верхньої основи — під кутом . Відрізок є бісектрисою, медіаною, висотою рівнобедренного , а є ортогональною проекцією на площу нижньої основи. Отже, . Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи (рис.47).

Рис.47

Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою , де С — довжина кола основи, R — радіус циліндра, H — його висота.

Конус

Круговим конусом називається тіло, яке складається з круга — основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга, — вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса.

Конус називається прямим (далі просто «конус»), якщо пряма, що сполучає вершини конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи. Прямий круговий конус можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета як осі. Висота конуса — перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи. Віссю прямого кругового конуса називається пряма, яка містить його висоту. Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, — рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса, а основою є хорда основи.

Рис.48

Розглянемо переріз CSD. Він перетинає основу конуса по хорді CD. Хорду CD видно з центра основи під кутом COD, а з вершини конуса — під кутом CSD. Сам переріз — рівнобедрений з основою CD, де SC = SD твірні конуса. Його ортогональною проекцією на площину основи конуса є рівнобедрений з основою CD і OC = OD = R. Відрізок OK є бісектрисою, медіаною, висотою , відстанню від точки O до хорди CD. Відрізок SK є бісектрисою, медіаною, висотою та відстанню від вершини конуса S до хорди CD. Кут SKO є лінійним кутом двогранного кута між площиною перерізу й площиною основи.

Зрізаний конус

Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню — по колу з центром на осі конуса. Така площина відтинає від конуса менший конус. Частина, що залишилась, називається зрізаним конусом (рис.49).

Рис.49

Осьовий переріз зрізаного конуса – рівнобічна трапеція, в якої основи — діаметри основ зрізаного конуса, бічні сторони — твірні, висота — висота зрізаного конуса. Отже, . , де , - формула для обчислення бічної поверхні конуса.

Куля

Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які розташовані від даної точки на відстані, що не більша за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань — радіусом кулі. Межа кулі називається кулевою поверхнею, або сферою.

Відрізок, що сполучає дві точки кульової поверхні й проходить через центр кулі, називається діаметром. Куля є тілом обертання, яке утворюється під час обертання півкруга навколо його діаметра як осі. Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

Рис.50

На рис.50 у кут = 90°, ОА – радіус кулі, - радіус перерізу, - відстань від центра кулі до площини перерізу (d).

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною. Переріз кулі діаметральною площиною називається великим кругом, а переріз сфери — великим колом, або екватором. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії. Центр кулі є її центром симетрії. Площина, яка проходить через точку А кульової поверхні та є перпендикулярною до радіуса, проведеного в точку А, називається дотичною площиною. Точка А називається точкою дотику. Дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику. Пряма, яка належить дотичній до кулі площині й проходить через точку дотику, називається дотичною до кулі в цій точці. Вона має з кулею тільки одну спільну точку. Лінією перетину двох сфер є коло. Площа сфери радіусом R обчислюється за формулою .

Кульовим сегментом називається частина кулі, яку відтинає від неї січна площина. На рис.51 H — висота кульового сегмента. Кульовий сегмент обмежується частиною сфери, площа якої обчислюється за формулою , і кругом, який називається основою сегмента. Кульовий сектор — це кульовий сегмент і конус, вершина якого в центрі кулі, а основою є основа сегмента.

Рис.51

 

 

КОМБІНАЦІЇ ГЕОМЕТРИЧНИХ ТІЛ

Циліндр, вписаний у кулю

Основи циліндра є рівновіддаленими від центра кулі (рис.52). Ця комбінація тіл є симетричною відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра. У перерізі тіла такою площиною дістанемо прямокутник і описане навколо нього коло (рис.53). Прямокутник ABCD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло — велике коло даної кулі. Отже, діагональAC є діаметром описаної кулі.

Рис.52 Рис.53

Конус, вписаний у кулю

Вершина конуса лежить на сфері (рис.56). Основа конуса лежить на сфері. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса. У такому перерізі дістанемо трикутник, вписаний у коло (рис.57).

Рис.56 Рис.57

Трикутник рівнобедрений. Бічні сторони — твірні конуса, коло — велике коло описаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, описаного навколо осьового перерізу конуса.

Куля, вписана в конус

Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії (рис.58). Осьовий переріз комбінації є рівнобедреним трикутником, у який вписане коло (рис.59). Трикутник — це осьовий переріз конуса, тобто SA = SB — твірні конуса, AB — діаметр основи конуса, а коло — велике коло вписаної кулі. Отже, радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в .

Рис.58 Рис.59

Описані кулі

Кожна грань вписаного у сферу многогранника є вписаним у деяке коло многокутником. Основи перпендикулярів, які опущені з центра описаної кулі на площини граней, є центрами описаних навколо граней кіл. Отже, центром кулі, описаної навколо многогранника, є точка перетину перпендикулярів до площини граней, які проведені через центри кіл, описаних навколо граней. Якщо призма вписана в кулю, то вона є прямою і навколо її основи можна описати коло.

Наприклад, довільна правильна призма може бути вписана в кулю. Центром описаної кулі буде середина висоти призми, яка проходить через центри кіл, що описані навколо основ призми.

Центр описаної навколо призми кулі може буде розташований всередині призми, поза призмою, на бічній грані. Навколо будь-якої правильної піраміди можна описати кулю. Центр її лежить на осі піраміди. Центр описаної навколо піраміди кулі може лежати всередині піраміди, поза пірамідою, на бічній грані, на основі.

Центр описаної навколо піраміди кулі — точка перетину перпендикуляра, проведеного до основи піраміди через центр описаного навколо основи кола, й серединного перпендикуляра до бічного ребра, проведеного в площині, яка проходить через бічне ребро й названий вище проведений до основи піраміди перпендикуляр. Для правильної піраміди центр описаної кулі — це точка перетину прямої, яка містить висоту піраміди, й серединного перпендикуляра до бічного ребра.

Якщо зрізана піраміда вписана в кулю, то її основи — многокутники, навколо яких можна описати коло. Бічні грані такої зрізаної піраміди — рівнобічні трапеції. Отже, всі бічні ребра дорівнюють одне одному. Із цього випливає, що бічні ребра вихідної піраміди рівні, значить, основа висоти вихідної піраміди — центр кола, описаного навколо її основи. Центр описаної кулі знаходимо так само, як і для повної піраміди.

Вписані кулі

Якщо куля вписана в призму, то в її перпендикулярний переріз можна вписати коло. Висота призми дорівнює діаметру кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми, тобто діаметру вписаної кулі. Центр кулі — середина висоти призми, що проходить через центр кола, яке вписане в перпендикулярний переріз. Центр кулі, яка вписана в пряму призму, — це середина висоти призми, що проходить через центр кола, яке вписане в основу призми.

Описана піраміда

Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, яке є вписаним в основу піраміди, то центр вписаної кулі — точка перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при ребрі основи (рис.65). У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю, центр якої лежить на висоті піраміди. Точки дотику кулі й бічних граней лежать на висотах бічних граней, а точка дотику вписаної кулі й основи є центром кола, вписаного в основу.

O — центр кола, яке вписане в основу; P — центр вписаної в піраміду кулі; SO — висота піраміди; SD — висота бічної грані.

Рис.65

Стереометрія

Стереометрія – частинагеометрії, що вивчає властивості геометричних фігур у просторі.

АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ

. У просторі існує площина і (принаймні одна) точка, що не лежить у цій площині.

. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і вся пряма лежить у цій площині.

. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.

Теорема.Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Теорема.Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

 

ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти