ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Поняття призми та види призм

Означення.Призмоюназивається многогранник, у якого дві грані – рівні n-кутники, а решта n-граней – паралелограми.

Рис.2

Означення.Рівні n-кутники , називаються основами; паралелограми , , … - бічними гранями; а відрізки ( ), які сполучають відповідні вершини, називаються бічними ребрами призми (рис.2).

Означення.Призма, бічні ребра якої перпендикулярні площинам основ, називається прямою призмою.

Означення.Якщо бічні ребра призми не перпендикулярні площинам основ, то її називають похилою призмою.

Означення.Пряма призма, основою якої є правильний многокутник, називається правильною призмою.

Поняття паралелепіпеда

Означення.Паралелепіпедом називається призма, основами якої є паралелограми.

Означення.Дві грані паралелепіпеда, що мають спільне ребро, називаються суміжними, а ті, що не мають спільного ребра – протилежними.

Означення.Дві вершини, що не належать одній грані, називаються протилежними.

Означення.Відрізок, що сполучає протилежні вершини, називається діагоналлю паралелепіпеда.

Означення.Якщо бічні ребра паралелепіпеда перпендикулярні до площини його основи, то паралелепіпед називається прямим.

Означення.Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом.

Означення.Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Властивості паралелепіпеда

Теорема.У паралелепіпеда:

1) протилежні грані рівні і паралельні;

2) усі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

Теорема.У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його лінійних вимірів.

Бічна поверхня призми

Означення.Перпендикулярним перерізом називається многокутник, який отримано при перерізі призми площиною, що перпендикулярна до кожного бічного ребра. Сторони цього многокутника перпендикулярні до ребер.

Теорема. Бічна поверхня призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра.

Означення.Площею повної поверхні призми називається сума площ її бічних граней (площа бічної поверхні) і площ основ призми: .

Теорема. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його лінійних вимірів.

Теорема. Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

Теорема. Об’єм похилої призми дорівнює добутку площі основи на висоту.

ПІРАМІДА

Означення.Пірамідою називається многогранник, у якого одна грань, що називається основою,

Площина поверхні та об’єми призми

  Похила призма Пряма призма
Бічна поверхня , де – периметр перпендикулярного перерізу, – довжина бічного ребра , - периметр основи, Н - висота
Повна поверхня
Об’єм ; , де – площа перпендикулярного перерізу, - бічне ребро , де - площа основи призми, Н - висота

Паралелепіпед

Паралелепіпедом називається призма, в основі якої лежить паралелограм. Усі грані паралелепіпеда — паралелограми. Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.

Теорема 1. Протилежні грані паралелепіпеда є паралельними й рівними.

Теорема 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл.

Із цього випливає, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.

Якщо дві діагоналі прямого паралелепіпеда виходять із сусідніх вершин, то більша з них та, яка проектується у більшу діагональ основи, тобто таку діагональ паралелограма, яка лежить проти тупого кута. Отже, якщо на рис.37 вважати кут ABC тупим, отримаємо , .

Рис.37

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом(рис.38).

Рис.38

Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники, які можна розбити на три пари рівних між собою. Довільну грань прямокутного паралелепіпеда можна вважати його основою. Враховуючи, що при паралельному проектуванні довільний паралелограм може зображуватися довільним паралелограмом, зображення прямокутного паралелепіпеда ніяк не відрізняється від зображеня будь-якого прямого паралелепіпеда. Довжини непаралельних ребер називаються лінійними розмірами(вимірами) прямокутного паралелепіпеда.

Теорема 3. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда є прямими. Прямокутний паралелепіпед має три пари рівних між собою діагональних перерізів. Кожний із цих перерізів є прямокутником (рис.39).

Рис.39

Кожна пара перерізів перетинається по прямій, яка проходить через точки перетину діагоналей протилежних граней. Відрізки між цими точками є паралельними й дорівнюють одному з ребер прямокутного паралелепіпеда. Прямокутним є трикутник, який утворюється діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, діагоналлю бічної грані й стороною основи (рис.40).

Рис.40

Прямокутний паралелепіпед має центр симетрії — це точка перетину його діагоналей. Він також має три площини симетрії, які проходять через центр симетрії паралельно граням.

Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника — основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи — вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Висота піраміди — перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи. Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Трикутна піраміда називається тетраедром. Бічна грань піраміди — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

На рис.41 SO — висота піраміди. Тоді < OАS — кут між бічним ребром і площиною основи (SO — перпендикуляр, — похила, — проекція).

Рис.41

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром многокутника. Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту. Бічні ребра правильної піраміди рівні, бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані, проведена з вершини піраміди, називається апофемою. Вона є бісектрисою та медіаною бічної грані, оскільки та є рівнобедреним трикутником.

Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему. , де Р — периметр основи, а — сторона основи, l — довжина апофеми.

Правильна трикутна піраміда

В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник, який зображується довільним трикутником (рис.42).

Рис.42

Центром перетину (АВС) є точка перетину його бісектрис, котрі водночас є висотами і медіанами. Медіани при паралельному проектуванні зображуються медіанами. Точка їх перетину — основа висоти піраміди. Зображуємо висоту, а потім з’єднуємо вершину піраміди з вершинами основи. Отримаємо бічні ребра. На рис.42 < SBO = α — кут нахилу бічного ребра до площини основи (однаковий для всіх ребер); < SDO = φ — кут нахилу бічної грані до площини основи (однаковий для всіх граней).

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти