ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Об алгоритмах интегрирования

Результат численного интегрирования - это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от встроенной константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на расчеты. По умолчанию TOL=O.OOI. Для того чтобы ускорить вычисления, можно установить меньшее значение TOL.

Кроме нее, пользователь имеет возможность выбирать сам алгоритм численного интегрирования. Для этого:
1. Щелкните правой кнопкой мыши в любом месте на левой части вычисляемого интеграла.
2. В появившемся контекстном меню выберите один из четырех численных алгоритмов.
Обратите внимание, что перед тем как один из алгоритмов выбран впервые флажок проверки в контекстном меню установлен возле пункта AutoSelect(Автоматический выбор). Это означает, что алгоритм определяется MathCAD, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой.

Разработчиками MathCAD запрограммированы четыре численных метода интегрирования:
- Romberg(Ромберга) - для большинства функций, не содержащих особенностей;
- Adaptive(Адаптивный) - для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования;
- Infinite Limit(Бесконечный предел) - для интегралов с бесконечными пределами ();
- Singular Endpoint- для интегралов с сингулярностью на конце. Модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования.
Старайтесь все-таки оставить выбор численного метода за MathCAD, установив флажок AutoSelect(Автоматический выбор) в контекстном меню. Попробовать другой метод можно, например, чтобы сравнить результаты расчетов в специфических случаях, когда у вас закрадываются сомнения в их правильности.
Если подынтегральная функция "хорошая", т. е. не меняется на интервале интегрирования слишком быстро и не обращается на нем в бесконечность, то численное решение интеграла не принесет никаких неприятных сюрпризов.

О расходящихся интегралах
Если интеграл расходится (равен бесконечности), то вычислительный процессор MathCAD может выдать сообщение об ошибке, выделив при этом оператор интегрирования, как обычно, красным цветом. Чаще всего ошибка будет иметь тип "Found a number with a magnitude greater than 10Л307"(Найдено число, превышающее значение 10307) или "Can't converge to a solution"(Не сходится к решению). Тем не менее, символьный процессор справляется с интегралом, совершенно правильно находя его бесконечное значение.

При попытке численного решения задачи рисунка методом, отличным от алгоритма вычисления интегралов с бесконечными пределами (Infinite Limit),будет получено неверное решение - вместо бесконечности выдано большое, но конечное число.

Для вычисления двукратных интегралов необходимо:

1. Введите, как обычно, оператор интегрирования.

2. В соответствующих местозаполнителях введите имя первой переменной интегрирования и пределы интегрирования по этой переменной.

3. На месте ввода подынтегральной функции введите еще один оператор интегрирования.

4. Точно так же введите вторую переменную, пределы интегрирования и подынтегральную функцию (если интеграл двукратный) или следующий оператор интегрирования (если более чем двукратный) и т. д., пока выражение с многократным интегралом не будет введено окончательно. Обратите внимание, что символьный процессор "угадывает" точное значение интеграла, а вычислительный определяет его приближенно и выдает в виде числа 3,142.

Дифференцирование
С помощью MathCAD можно вычислять производные скалярных функций любого количества аргументов, от 0-го до 5-го порядка включительно. И функции, и аргументы могут быть как действительными, так и комплексными. Невозможно дифференцирование функций только вблизи точек их сингулярности.
Вычислительный процессор MathCAD обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования. Но больше всего пользователь оценит возможности символьного процессора, который позволяет с легкостью осуществить рутинную работу вычисления производных громоздких функций, поскольку, в отличие от всех других операций, символьное дифференцирование выполняется успешно для подавляющего большинства аналитически заданных функций.

В MathCAD для ускорения и повышения точности численного дифференцирования функций, заданных аналитически, автоматически задействуется символьный процессор.

Первая производная

Для того чтобы продифференцировать функцию f (х) в некоторой точке:

1. Определите точку х, в которой будет вычислена производная, например, х:=1.

2. Введите оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative(Производная) на панели Calculus(Вычисления) или введите с клавиатуры вопросительный знак .

3. В появившихся местозаполнителях введите функцию, зависящую от аргумента х, т. е. f (х), и имя самого аргумента х.

4. Введите оператор <=> численного или <- символьного вывода для получения ответа.

Не забывайте предварительно определять точку, в которой производится численное дифференцирование, как это сделано в первой строке листинга.

Конечно, можно, как и при использовании других операторов, предварительно определить функцию в отдельном выражении, а затем посчитать ее производную; или применить оператор дифференцирования для определения собственных функций пользователя.

Для численного дифференцирования MathCAD применяет довольно сложный алгоритм, вычисляющий производную с точностью до 7-8-го знака после запятой. Этот алгоритм (метод Риддера) описан во встроенной справочной системе MathCAD. Погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL или CTOL, в противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом.

Исключение составляют функции, которые дифференцируются в окрестности сингулярной точки; например для рассмотренной нами функции f(x)=l/x это будут точки вблизи х=0. При попытке найти ее производную при х=0 будет выдано сообщение об одной из ошибок деления на ноль "Can't divide by zero"(Деление на ноль невозможно) или "Found a singularity while evaluating this expression. You may be dividing by zero"(Найдена сингулярность при вычислении этого выражения. Возможно, вы делите на ноль) Если попробовать численно определить производную очень близко к нулю, например, при х=10100, то может появиться сообщение об ошибке "Can't converge to a solution"(Невозможно найти решение). Встретившись с одной из упомянутых ошибок, присмотритесь повнимательнее к дифференцируемой функции и убедитесь, что вы не имеете дело с точкой сингулярности.

 

 

4.1.Причини виникнення похибок обчислень та їх класифікація.

Основною проблемою чисельних методів є похибка.

Похибка вимірювання — це відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної фізичної величини .

Причини виннекнення похибок:

1.Вихідні дані є не точними.

2.Не точні методи обчислень .

3.В процесі обчислень проводяться заокруглення.

Абсолютна похибка— абсолютна різниця між результатом вимірювання та умовно істинним значенням вимірюваної величини.

Нехай a — абсолютне значення вимірювальної величини, b — її наближення. Тоді абсолютна похибка вимірювання ε визначається як

ε = | ab |

Відносна похибка - це похибка вимірювання, виражена як відношення абсолютної похибки до дійсного чи виміряного значення.

Відносну похибку у долях вимірюваної величини або в процентах знаходять із співвідношень

або

граничну абсолютну похибку наближеного числа , рівну по можливості найменшому числу, що є більшим за абсолютну похибку .

Значення і дозволяють вказати інтервал, що містить точне значення : .

 

4.2.Інтерполяційний многочлен Лагранджа.

Інтерполяцій́ний многочле́н Лагра́нжа — многочлен мінімального степеня, що приймає дані значення у даному наборі точок.

Приклад з 5 вузлами:

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

 

 

5.1.Складання математичної таблиці для значень функції . Реалізація методу складання математичної таблиці для значень функції в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

Для виведення математичних таблиць використовують формулу Тейлора. Для цього потрібно розкласти функцію в ряд Тейлора. Нижче наведено приклад для функції sinx:

 

5.2.Проблеми вибору апроксимуючих функцій. Похибка апроксимації.

Апроксима́ція (лат. approximare — наближати) — наближене вираження одних математичних об'єктів іншими, простішими, напр. кривих ліній — ламаними, ірраціональних чисел — раціональними, неперервних функцій — многочленами і т. д

Однією із задач, які розв¢язує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції. Ця задача може постати, наприклад, у випадку, коли або функція задана своїми значеннями у вигляді таблиці результатів експерименту, або коли функція має складну аналітичну будову і знаходження її значення у деяких точках викликає обчислювальні труднощі. Так, зокрема, всі широко вживані на практиці функції sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), ch(x), sh(x) та багато інших визначаються при обчисленнях на ЕОМ за допомогою функціональних рядів або ланцюгових дробів.

В останні роки різко зріс інтерес до класичних методів раціональної апроксимації функцій. Це пов¢язано з тим, що такі апроксимації знайшли різноманітне застосування в обчислювальних задачах теоретичної фізики та механіки.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:

аналитический

графический

табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.

Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей,а действие замены аппроксимацией.

φ(х)
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

φ(х)- аппроксимирующая функция.

 

 

6.1.Метод січних (хорд) розв’язку (знаходження коренів) нелінійних рівнянь. Метод простих ітерацій. Приклад.

Метод січних

Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку (рисунок 2). Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким де - наближена оцінка похідної, що розглядається як січна, а не як дотична, і може бути оцінена за формулою Чи де h — деякий невеликий крок.

Алгоритм цього методу подібний методу Ньютона, але з іншою ітераційною формулою.

Рис. 2. Метод січних Метод простої ітерації

Метод простої ітерації застосовується до розв’язування нелінійного рівняння виду . (7) Перейти від рівняння (1) до рівняння(7) можна багатьма способами, наприклад, вибравши , де - довільна знакостала неперервна функція.

Вибравши нульове наближення x0, наступні наближення знаходяться за формулою . (9) Наведемо достатні умови збіжності методу простої ітерації.

Теорема 1. Нехай для вибраного початкового наближення x0 на проміжку (10) функція j(x) задовольняє умові Ліпшиця (11) де 0<q<1, і виконується нерівність

. (12) Тоді рівняння (7) має на проміжку S єдиний корінь , до якого збігається послідовність (9), причому швидкість збіжності визначається нерівністю . (13)

Зауваження: якщо функція j(x) має на проміжку S неперервну похідну , яка задовольняє умові , то функція j(x) буде задовольняти умові (11) теореми 1.

З (13) можна отримати оцінку кількості ітерацій. які потрібно провести для знаходження розв’язку задачі (7) з наперед заданою точністю e:

(15) Наведемо ще одну оцінку. що характеризує збіжність методу простої ітерації: . (16)

 

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти