ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


РядМаклорена для функцій sinx та cosx.

Загрузка...

- рівняння Тейлора. Якщо х=0, то це є рівняння Маклорена..

14.2.Реалізація методів наближень (інтерполяція та апроксимація) в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

Апроксимацією (наближенням) функції називається находжня такої функції (апроксимуючої функції), яка була б близька заданої. Критерії близькості функцій і можуть бути різними.
У тому випадку, коли наближення будується на дискретному наборі точок, апроксимацію називають точковою або дискретною.
У тому випадку, коли апроксимація проводиться на безперервному безліч точок (відрізку), апроксимація називається безперервною або Інтегральною. Прикладом такої апроксимації може служити розкладання функції в ряд Тейлора, тобто заміна деякої функції статечним МНВ-гочленом.
Найбільш часто зустрічають виглядом точкової апроксимації є інтерполяція (у широкому сенсі).
Лінійна інтерполяція на Mathcad'е здійснюється за допомогою вбудованої функції linterp

 

15.2.Диференціальні рівняння як моделі реальних явищ, процесів. Побудова диференціального рівняння для радіоактивного розпаду.

Розпад ядра завжди вважається подією випадковою, яка може відбутись в довільний момент часу. Це означає, що у відношенні до розпаду всі моменти часу є фізично еквівалентними. Тому радіоактивні ядра не мають природного віку, хоча і мають середній час життя.

Нехай в момент часу t = 0 є N0 радіоактивних ядер. За час dt відбувається dN актів розпаду, пропорційного числу ядер N(t) в момент часу t, тобто

dN = - N(t)dt, (3.2.1.1)

де  - стала радіоактивного розпаду в с-1 .

Диференціальне рівняння (3.2.1.1) має вигляд

N(t) = N0 e-t, (3.2.1.2)

де N0 – початкове число ядер на момент часу t=0; N(t) – число ядер, які ще не розпались на момент часу t.

Рівняння (3.2.1.2) дістало назву закону радіоактивного розпаду.

Закон радіоактивного розпаду дає можливість визначити період піврозпаду Т і середній час життя радіоактивних ядер. За час півперіоду t = T число радіоактивних ядер зменшується вдвоє порівняно з початковим числом N0,, тобто .

Звідки одержуємо (3.2.1.3)

В інтервалі часу t і t + dt розпадається Ndt ядер , кожне із яких має час життя t . Загальний час життя цих ядер дорівнює tNdt, а сумарний час життя всіх цих N0 ядер дорівнює інтегралу від добутку tNdt в межах від нуля до безмежності. Середній час життя радіоактивних ядер дорівнює відношенню інтеграла до N0: .Після інтегрування одержуємо

Формула (3.2.1.4) показує, що чим більша стала розпаду , тим швидше розпадаються радіоактивні ядра. Порівнюючи (3.2.1.3) і (3.2.1.4) , бачимо, що Т і мають один і той же порядок, причому

 

Основні задачі числових методів алгебри.

Методы решения

Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы:

Метод Гауса

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2,...,bn и x1,x2,...,xn, либо набор c1,c2,...,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A - 1 — матрицу, обратную к матрице A: Так как A − 1A = E, получаем X = A - 1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Итерационные методы

Метод Ньютона (метод касательных): Одномерный случай. Для того, чтобы решить уравнение пользуясь методом простой итерации, необходимо привести его к виду где — сжимающее отображение. Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации x * выполнялось

удем искать решение данного уравнения в виде:

Воспользуемся тем, что и получим окончательную формулу для С учётом этого сжимающая функция примет вид: Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

Метод релаксации

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод релаксации - приближённый метод решения систем линейных уравнений.

Система линейных уравнений

приводится к виду

где , , Находятся невязки Rj:

Выбирается начальное приближение X(0) = 0. На каждом шаге необходимо обратить в ноль максимальную невязку:

Условие остановки:

Ответ находится по формуле:

 

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти