ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Метод Гауса розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Реалізація методів знаходження розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

Метод Гауса - класичний метод рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівнозначучим системі ступеневої (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться всі інші змінні .

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные и .

 

17.2.Задача Коші та крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь. Поняття про аналітичні методи розв’язку звичайних диференціальних рівнянь. Приклади.

Задача Коші – одна з основних задач теорії диф. рівнянь, полягає в пошуку розв’язку диф. рівняння (інтеграл) , що задовольняє початковим умовам. Від крайових задач задача Коші відрізняється тим, що область в якій повинен бути вказаний шуканий розв’язок , тут заздалегідь не вказується. Проте задачу Коші можна розглядати як одну з крайових задач.

 

 

18.1.РядМаклорена для функції однієї змінної. Приклад розкладу в ряд для функції .

Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

Таким образом, получаем

Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение ex.

Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

причем остаток

Отметим, что для любого x  R остаточный член

Действительно, так как ξ  (0; x), то величина eξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 eξ < ex. Докажем, что при фиксированном x

Имеем

Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.

Обозначим Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать

Но , не зависящая от n, а так как q<1. Поэтому Следовательно,

Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить ex с любой степенью точности.

Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

.

Так как , то аналогично разложению ex можно показать, что для всех x.

Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

 

 

18.2.Апроксимація функції. Метод найменших квадратів і його використання в задачах апроксимації.

Резюмуючи попереднє, можна зазначити, що інтерполювання може бути здійснено лише на невеликому інтервалі по кількох вузлах інтерполяції, процес обчислення скінченних різниць є нестійким. Окрім того, якщо значення подають значення функції, яка наближується, зі значними похибками, інтерполювати ці значення не доцільно.

За таких умов застосовують середньо-квадратичне наближення. Найбільш ефективним методом побудови середньо-квадратичного наближення функції є метод найменших квадратів (МНК).

Нехай є відомими значень ( ) деякої фізичної величини , виміряної у моменти часу . Припустимо, що ці значення подають істинні значення функції у відповідні моменти часу зі значними похибками, значення яких невідомі, але припускається, що ці похибки є випадковими з математичним сподіванням, що дорівнює нулю.

Будемо наближати невідому функцію за допомогою лінійної комбінації деяких відомих функцій : , (6.34)

де функції , , . . . , називатимемо базовими функціями.

Задачєю є визначення невідомих коефіцієнтів ( ) з умови, щоб квадрат середньо-квадратичного відхилення (СКВ) апроксимуючої функції від апроксимованої (обчисленого за заданих значень аргумента )

(6.35)

був мінімальним (саме тому відповідний метод називається МНК).

Квадрат СКВ (35) є функцією невідомих коефіцієнтів ( ). Тому для відшукання його мінімуму слід знайти часткових похідних від цього квадрата СКО по окремих коефіцієнтах

; (6.36)

і прирівняти їх нулю. В результаті одержується система з лінійних алгебричних рівнянь з невідомими , ,..., :

(6.37)

Визначником цієї системи є визначник Грама сукупності функцій :

(6.38)

Як відомо, якщо функції складають сукупність взаємо-незалежних функцій (тобто ніяку з цих функцій неможливо подати як лінійну комбінацію решти з них), то визначник Грама (38) цих функцій не дорівнює нулю.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти