ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


Постановка задачі чисельного інтегрування функцій. Квадратурні формули прямокутників, трапецій, Симсона. Похибки чисельного інтегрування.

Дамо означення інтегралу. Нехай на відрізку задана функція . За допомогою точок розіб’ємо відрізок на п елементарних відрізків ( ), причому . На кожному з цих відрізків виберемо довільну точку ( ) та знайдемо добуток значення функції в цій точці на довжину елементарного відрізка :

. (1) Складемо суму всіх таких добутків:

. (2)

Сума називається інтегральною сумою. Означеним інтегралом від функції на відрізку називається границя інтегральної суми при необмеженому збільшенні кількості точок розбиття; при цьому довжина найбільшого з елементарних відрізків прямує до нуля:

. (3)

В багатьох випадках, коли підінтегральна функція задана в аналітичному вигляді, означений інтеграл вдається визначити безпосередньо за допомогою невизначеного інтеграла (вірніше, первісної) за формулою Ньютона-Лейбніца. Вона полягає в тому, що означений інтеграл дорівнює приросту первісної на відрізку інтегрування: .

Але на практиці цією формулою часто не можна скористатися внаслідок основних причин: Аналітичний вигляд функції не дозволяє безпосередньо провести інтегрування згідно (4), оскільки первісну неможливо виразити через елементарні функції.

Значення функції задані лише на фіксованій скінченій множині точок , тобто функція задана у вигляді таблиці і є дискретною.

У цих випадках використовують методи чисельного інтегрування. Вони основані на інтерполяції підінтегральної функції деяким більш простішим виразом, наприклад многочленами.

Метод прямокутників

Найпростішим методом чисельного інтегрування є метод прямокутників. В ньому здійснюється заміна означеного інтеграла інтегральною сумою. За точки можуть вибиратися ліві ( ) або праві ( ) границі елементарних відрізків. Позначивши , , отримаємо наступні формули метода прямокутників відповідно до цих двох випадків:

, (5) . (6)

Широко поширеним та найбільш точним є вигляд формули прямокутників, що використовує значення функції в середніх точках елементарних відрізків (метод середніх прямокутників):

, (7)

Метод трапеційМетод трапецій використовує лінійну інтерполяцію, тобто графік функції подається у вигляді ламаної, що з’єднує точки . В цьому випадку площа всієї фігури (криволінійної трапеції) складається з площ елементарних прямолінійних трапецій. Площа кожної такої трапеції рівна: . Додаючи всі ці рівності, отримуємо формулу трапецій для чисельного інтегрування:

. (8) Важливим частинним випадком розглянутих формул є їх застосування при чисельному інтегруванні з постійним кроком ( ). Формули прямокутників і трапецій в цьому випадку приймають відповідно вигляд

(9) (10)

Метод парабол (метод Сімпсона)

Розіб’ємо відрізок інтегрування на парне число рівних частин з кроком . На кожному відрізку , , ... , , ... , підінтегральну функцію замінимо інтерполяційним многочленом другого степеня:

.

Коефіцієнти цих квадратних тричленів можуть бути знайдені з умов рівності многочлена в точках відповідним табличним даним . За можна прийняти інтерполяційний многочлен Лагранжа другого степеня, що проходить через точки , , :

.

Елементарна площа може бути знайдена за допомогою означеного інтеграла. Враховуючи рівність , отримаємо

.

Провівши такі розрахунки для кожного елементарного відрізку , просумуємо отримані вирази:

.

Дані вирази для приймається за значення означеного інтегралу:

. (11)

Отримане співвідношення називається формулою Сімпсона.

 

1 1.Числові розв’язки системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Правило Крамера.

2.Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних.

2 1.Мінор матриці. Алгебраїчне доповнення до елеметна . Вираз для визначення матриці через його доповнення.

2.Диференціальне рівняння для коливних процесів в акустині, електродинаміці та для встановлених процесів (на прикладі поля електричного поля).

3 1.Ряд Тейлора для функції багатьох змінних та його роль в чисельних методах. Приклад. Похибки функцій багатьох змінних на основі її ряду Тейлора. Приклад.

2.Реалізація методів чисельного диференціювання та інтегрування в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

4 1.Причини виникнення похибок обчислень та їх класифікація.

2.Інтерполяційний многочлен Лагранджа.

5 1.Складання математичної таблиці для значень функції . Реалізація методу складання математичної таблиці для значень функції в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

2.Проблеми вибору апроксимуючих функцій. Похибка апроксимації.

6 1.Метод січних (хорд) розв’язку (знаходження коренів) нелінійних рівнянь. Метод простих ітерацій. Приклад.

2.Метод сіток для рівнянь диференціального рівняння в частинних похідних параболічного типу (на прикладі рівняння теплопровідності).

7 1.Задачі наближення функцій (експеремнтальних даних) та використання результатів наближень.

2.Поняття про числові методи математичної статистики.

8 1.Формула ейлера та її розв’язок з розкладами в ряди функцій sinx та cjsx.

2.Використання в задачах диференціювання інтерполяційних многочленів.

9 1.Метод половинного ділення в задачі уточнення кореня нелінійного рівняння. Абсолютна похибка методу.

2.Початкові та граничні умови для рівнянь в частинних похідних (на прикладі рівняння теплопровідності).

10 1.Визначник (детермінант) матриці, алгоритм його обчислення.

2.Вивід диференціального рівняння теплопровідності.

11 1.Матриця. Основні види матриць. Транспонована матриця, рівні матриці. Основні дії над матрицями.

2.Побудова диференціального рівняння для математичного маятника та для маятника поперечних коливань.

12 1.Предмет «Чисельні методи», його роль в сучасній науці.

2.Загальна постановка задачі інтерполяції. Сітка, рівномірна сітка, вузли інтерполяції. Інтерполяційний поліном.

13 1.Значущі цифри числа, вірні значущі цифри, точність числа до . Заокруглення числа.

2.Сплайн-інтерполяції. Поліноміальний сплайн.

14 1.РядМаклорена для функцій sinx та cosx.

2.Реалізація методів наближень (інтерполяція та апроксимація) в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

15 1.Основні задачі числових методів алгебри.

2.Диференціальні рівняння як моделі реальних явищ, процесів. Побудова диференціального рівняння для радіоактивного розпаду.

16 1.Постановка задачі та етапи числових методів розв’язку нелінійних рівнянь (знаходження коренів нелінійних рівнянь).

2.Різницевий метод розв’язку крайової задачі для лінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку.

17 1.Метод Гауса розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Реалізація методів знаходження розв’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

2.Задача Коші та крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь. Поняття про аналітичні методи розв’язку звичайних диференціальних рівнянь. Приклади.

18 1.РядМаклорена для функції однієї змінної. Приклад розкладу в ряд для функції .

2.Апроксимція функції. Метод найменших квадратів і його використання в задачах апроксимації.

19 1.Знаходження коренів функції багатьох змінних: градієнтний метод.

2.Метод сіток для рівнянь диференціального рівняння в частинних похідних еліптичного типу (на прикладі рівняння двох змінних).

20 1.Способи відділення коренів нелінійних рівнянь.

2.Реалізація числових методів розв’язку звичайних диференціальних рівнянь в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

21 1.Реалізація методів лінійної алгебри в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

2.Задача Коші та крайова задача для рівняння першого порядку та їх розв’язок різницевим методом.

22 1.Метод Ньютона розв’язку (знаходження коренів) нелінійних рівнянь. Спрощений метод Ньютона.

2.Наближені методи розв’язку крайових задач: метод коллокацій, метод найменших квадратів.

23 1.Реалізація методів знаходження коренів функцій однієї і багатьох змінних в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

2.Реалізація методів чисельного розв’язку диференціальних рівнянь в частинних похідних в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

24 1.Ряд Тейлора для функції однієї змінної на основі її ряду Тейлора. Приклад.

2.Постановка задачі чисельного інтегрування функцій. Квадратурні формули прямокутників, трапецій, Симсона. Похибки чисельного інтегрування.

25 1.Складання математичної таблиці для значень функцій sinx та cosx. Реалізація методу складання математичних таблиць для значень функцій sinx та cosx в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

2.Постановка задачі чисельного диференціювання. Найпростіші формули числового диференціювання: різницева, центральна різницева та друга різницева похідні. Похибки різницевої, центральної різницевої та другої різницевої похідних.

 

26 1.Чисельний метод знаходження числа пі.

2.Поліномний кубічний сплайн. Похибка наближення поліноміальними сплайнами.

27 1.Обернена матриця. Приклад.

2.Класифікація диференціальних рівнянь.

28 1.Ряд Тейлора для функції двох змінних та його роль в чисельних методах. Приклад. Похибка функції двох змінних на основі її ряду Тейлора. Приклад.

2.Метод Монте-Карло обчислення інтегралів.

29 1.Похибка числа, абсолютна і відносна похибки, гранична абсолютна похибки.

2.Скінченні та розділені різниці. Інтерполяційний многочлен Ньютона. Похибка інтерполяції.

30 1.Реалізація числових методів знаходження коренів нелінійних рівнянь в середовищі Mathcad, Matlab, Maple, Exel.

2.Метод сіток для рівнянь диференціального рівняння в частинних похідних гіперболічного типу (на прикладі рівнянь двох змінних).

 

 

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти