![]() |
Електричне поле у діелектриках
Основні формули 1. Диполь – це система двох однакових за модулем і протилежних за знаком зарядів, які розміщені на деякій відстані один від одного. Електричний момент р диполя це вектор, який напрямлений від негативного заряду до позитивного і який дорівнює добутку заряду |q| на вектор
Диполь має назву точкового, якщо плече l диполя значно менше відстані r від центра диполя до точки, у якій визначається дія диполя (l<<r). 2. Напруженість поля точкового диполя визначається за формулою
де r – абсолютне значення радіуса вектора, який проведений від центра диполя до точки, напруженість поля в якій визначається;
Напруженість поля точкового диполя у точці, яка лежить на осі диполя (
і в точці, яка лежить на перпендикулярі до плеча диполя, що проведений із його середини (а =
3. Потенціал поля точкового диполя на відстані r від диполя
4. Потенціал поля точкового диполя у точці, яка лежить на осі диполя (
і в точці, яка лежить на перпендикулярі до плеча диполя, який проведений із його середини (
Напруженість і потенціал неточкового диполя визначаються як для системи зарядів. Механічний момент, який діє на диполь з електричним моментом
де а – кут між напрямками векторів У неоднорідному електричному полі, окрім механічного моменту (пари сил), на диполь діє ще деяка сила. У випадку поля, яке має симетрію відносно осі х, ця сила виражається співвідношенням
де При а > 5. Електричне зміщення D пов'язане з напруженістю Е електричного поля таким співвідношенням
Це співвідношення може бути застосованим лише для ізотропних діелектриків. 6. Потік вектора електричного зміщення визначається аналогічно потоку вектора напруженості електричного поля: – у випадку однорідного поля
– у випадку неоднорідного поля
де Dn – проекція вектора 7. Теорема Гаусса для поля в діелектриках. Потік вектора електричного зміщення через будь-яку замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі сторонніх зарядів, які охоплені цією поверхнею:
де п – кількість сторонніх зарядів, які охоплені замкнутою поверхнею. Провідники в електричному полі Основні формули
1. Електроємність ізольованого провідника або конденсатора
де dq – заряд, переданий провіднику (конденсатору); d 2. Електроємність ізольованої провідної сфери радіусом R, яка розміщена у нескінченному середовищі з діелектричною проникністю
Якщо сфера порожня і заповнена діелектриком, то електроємність її від цього не змінюється. 3. Електроємність плоского конденсатора
де S – площа кожної з пластин; d – відстань між ними;
Електроємність плоского конденсатора, який заповнений n шарами діелектрика товщиною d кожний, діелектричні проникності яких
4. Електроємність сферичного конденсатора (дві концентричні сфери радіусами R1 і R2, простір між якими заповнено діелектриком з діелектричною проникністю
5 Електроємність циліндричного конденсатора (два коаксіальних циліндри довжиною l i радіусами R1 і R2, простір між якими заповнено діелектриком з діелектричною проникністю
6. Електроємність послідовно з'єднаних конденсаторів визначається формулою
де п – кількість конденсаторів; У випадку двох конденсаторів
У випадку п однакових конденсаторів з електроємністю СІ кожний
7. Електроємність паралельно з'єднаних конденсаторів:
де п – кількість конденсаторів. У випадку двох конденсаторів:
У випадку п однакових конденсаторів з електроємністю С2кожний
С = nC2. Енергія електричного поля Основні формули
1. Енергія зарядженого провідника виражається через заряд q, потенціал
2. Енергія зарядженого конденсатора
де С – електроємність конденсатора; U – різниця потенціалів на його пластинах. 3. Об'ємна густина енергії (енергія електричного поля, що припадає на одиницю об'єму)
де Е – напруженість електричного поля в середовищі з діелектричною проникністю
Приклади розв’язання задач
Приклад 1. У вершинах квадрата перебувають однакові точкові заряди 30 нКл. Який негативний заряд треба помістити в центрі квадрата, щоб зазначена система зарядів перебувала в рівновазі?
q1 = q2 = q3 = q4 = 30 нКл = 30.10-9 Кл. _______________________________ q5 = ? Розв’язання. Всі заряди, розташовані у вершинах квадрата, перебувають в однакових умовах. Тому досить з'ясувати, який заряд слід помістити в центр квадрата, щоб який-небудь із чотирьох зарядів, наприклад q1, перебував у рівновазі. Заряд q1 буде перебувати в рівновазі, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнює Рисунок 6 нулю (рис.6)
де
За законом Кулона, маючи на увазі, що q1 = q2 = q3 = q4 = q, одержимо
F2 = F4 =
F3 =
F5 =
де a – сторона квадрата; r = a Як видно з рис. 6, рівнодійна сил F + F3 - F5 = F2
Рівність (5) з урахуванням (2) – (4) матиме вигляд
Звідки
Здійснивши обчислення, одержимо
Слід зазначити, що рівновага системи зарядів буде нестійкою.
Дано: q1 = 2 нКл q2 = - 1 нКл d = 5 см r1 = 6 см r2 = 4 см ____________ Е – ? j – ? Рисунок 7 Розв’язання. Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів кожен заряд створює поле незалежно від наявності в просторі інших зарядів. Напруженість результуючого поля
E1 =
E2 = Напрямки векторів
де a – кут між векторами З рис.7 видно, що Отже,
Із трикутника зі сторонами r1, r2, d за теоремою косинусів знаходимо
cos b = ( r12 + r22 - d2) / (2r1r2).
Обчислимо cos
cosb =
Виразимо всі величини в одиницях СІ: q1 = 2.10-9 Кл, q2 = -10-9 Кл, r1 = 6.10-2 м, r2 = 4.10-2 м, 1/4pe0 = 9.109 м/Ф, e = 1. Зробивши обчислення за формулами (1), (2), (4), (5), одержимо:
E1 =
E2 =
При обчисленні Е2 знак заряду q2 опущений, тому що знак мінус визначає напрямок вектора
За принципом суперпозиції потенціал результуючого поля, створюваного зарядами q1 й q2, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів j1 та j2, тобто j = j1 + j2 або
Зробивши обчислення, одержимо
Приклад 3. На тонкій нитці, вигнутій по дузі кола радіусом 6 см, рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною 20нКл/м. Визначити напруженість і потенціал електричного поля, створюваного розподіленим зарядом у точці, яка збігається із центром кривизни дуги, якщо довжина нитки становить 1/3 довжини кола.
R = 6 см l = 2/3 R ___________ Е - ? Розв’язання. Виберемо осі координат так, щоб початок координат збігався із центром кривизни дуги, а вісь ОY була б розташована симетрично до кінців дуги (рис.8). Рисунок 8
Розіб'ємо нитку на елементарні ділянки й виділимо елемент довжиною dl із зарядом dq = Визначимо напруженість електричного поля в точці О. Для цієї точки напруженість поля, створюваного зарядом dq, дорівнює
де Розіб'ємо вектор d
де dEY = dЕ sin a. Оскільки r = R й dl = Rd dEy=
Після підстановки (2) в (1), проведемо інтегрування в межах зміни кута від 0 до E=
Знайдемо потенціал електричного поля у точці О. У цій точці потенціал поля, створеного точковим зарядом dq, дорівнює
Потенціал результуючого поля одержимо шляхом інтегрування виразу (4) по довжині нитки
Оскільки l = 2
Виразимо всі величини в одиницях СІ: t = 2.10-8 Кл/м, R = 6.10-2 м, 1/4pe0 = 9.109 м/Ф, e = 1, e0 = 8,85.10-12 Ф/м. Здійснивши обчислення за формулами (3) і (5), одержимо:
E =
Приклад 4. Електричне поле створене довгим циліндром радіусом 1 см, рівномірно зарядженим з лінійною густиною заряду 20 нКл/м. Визначити роботу сил поля з переміщення точкового заряду 25 нКл із точки, що перебуває на відстані 1 см, у точку, що перебуває на відстані 3 см від поверхні циліндра в середній його частині. Дано: R = 1 см = 1.10-2 м t = 20 нКл/м = 2.10-8 Кл/м q = 25 нКл = 2,5. 10-8 Кл a1 = 1 см = 1.10-2 м a2 = 3 см = 3.10-2 м _____________________ А - ? Розв’язування. Робота сил поля з переміщення заряду дорівнює
А = q(j1 - j2).
Для знаходження різниці потенціалів скористаємося співвідношенням Е =
Інтегруючи цей вираз, знайдемо різницю потенціалів між двома точками, які відстоять від осі циліндра на відстанях r1 й r2
де r1 = a1 + R, r2 = a2 + R.
Оскільки циліндр довгий і точки взяті поблизу його середньої частини, то можна скористатися формулою напруженості поля, створюваного нескінченно довгим циліндром
Підставивши (2) в (1), одержимо
або Таким чином,
Перевіримо чи дає розрахункова формула одиницю роботи. Для цього в праву частину замість символів величин підставимо їх одиниці
Виразимо всі величини в одиницях СІ: e = 1; t = 2.10-8 Кл/м; q = 2,5.10-8 Кл; 1/2peо = 2,9 109 м/Ф. Оскільки величини r2 й r1 входять у формулу (3) у вигляді відношення, то їх можна виразити в сантиметрах. Виконавши необхідні розрахунки, одержимо
А = 2,5.10-8.2,9.109 .2. 10-8
Приклад 5. Електричне поле створене тонкою нескінченно довгою ниткою, рівномірно зарядженою з лінійною густиною заряду Дано: a = 20 см R = 1 см b = 30о _____________ DNЕ - ?
Розв’язання. Поле, створюване ниткою (дуже тонким циліндром), є неоднорідним, тому воно змінюється в просторі
Потік вектора
де
Замінюючи <E>й <cos З рис.10 видно, що cos З урахуванням цього формула (2) матиме вигляд Рисунок 9 Виразимо всі величини в одиницях СІ: t = 3.10-8 Кл/м; e = 1; a = 0,2 м; R = 10-2 м; 1/2peо = 2,9.109 м/Ф. Зробивши обчислення, одержимо Приклад 6. Електрон рухається в однорідному електричному полі вздовж силової лінії. У деякій точці поля з потенціалом 100 В електрон мав швидкість 4 Мм/с. Визначити потенціал точки поля, дійшовши до якої, електрон втратить половину своєї швидкості. Дано: j1 = 100 В ___________________ j2 – ? Розв’язання. Через відсутність сил тертя повна механічна енергія електрона не змінюється, тобто W = де Повна енергія на початку руху
наприкінці руху з урахуванням того, що
Прирівнявши вирази (1) і (2), одержимо для потенціалу
Виразимо всі величини в одиницях СІ: Виконавши обчислення, одержимо
Можливий й інший підхід до розв’язання. Зміна кінетичної енергії частинки дорівнює роботі результуючої сили, тобто
Оскільки електрон гальмується силами поля, то А = - е(j1 - j2).
Приклад 7. Сила взаємного притягання пластин плоского повітряного конденсатора 50 мН. Площа кожної пластини 200 см2. Визначити об'ємну густину енергії поля конденсатора. Дано: F = 50 мН = 5.10-2 Н S = 200 см2 = 2.10-2 м2 __________________ w - ? Розв’язання. Об'ємна густина енергії поля конденсатора
де Е =s/ee0 – напруженість електричного поля між пластинами конденсатора; s – поверхнева густина заряду на пластинах. Підставивши вираз для Е в (1), одержимо
Знайдемо силу взаємного притягання пластин. Заряд q = sS однієї пластини перебуває в полі напруженістю Е1 = s / 2ee0, створеному зарядом іншої пластини конденсатора. Отже, на заряд першої пластини діє сила
Виразивши s2 з формули (3) і підставивши її в (2), одержимо
w = F / S
Виразимо всі величини в одиницях СІ: F = 5.102 Н, S = 2.10-2 м2. Виконавши необхідні обчислення, одержимо
Приклад 8. Між пластинами плоского конденсатора, зарядженого до різниці потенціалів 600 В, перебувають два шари діелектриків – скло товщиною 5 мм та ебоніт товщиною 3 мм. Площа кожної пластини 200 см2. Визначити: а) напруженість електричного поля, індукцію й спад напруги в кожному шарі; б) електричну ємність конденсатора.
Дано: U = 600 В скло, d1 = 5 мм = 5.10-3 м ебоніт d2 = 3 мм = 3.10‑ 3 м S = 200 см2 = 2.10-2 м2 ________________ Е – ? D – ? U 1– ? U2 – ? С – ? Розв’язання. При переході через межу поділу діелектриків нормальна складова вектора У конденсаторі силові лінії вектора
D1 = D2 = D. (1)
Врахувавши, що D = ee0Е, і скорочуючи на e0, з рівності (1) одержимо
e1E1 = e2Е2 , (2) де Е1 й E2 – напруженості електричного поля в першому й у другому шарах діелектриків; e1 й e2 – діелектричні проникності діелектриків. Різниця потенціалів між пластинами конденсатора очевидно дорівнює сумі напруг на шарах діелектриків
U = U1 + U2 . (3)
У межах кожного шару поле однорідне, тому U1 = E1d1 й U2 = Е2d2. З урахуванням цього рівність (3) набуде вигляду
U = Е1d1 + E2d2. (4)
Розв’язавши спільно рівняння (2) і (4), одержимо
Виразимо всі величини в одиницях СІ: d1 = 5.10-3 м; d2 = 3.10-3 м; e1= 7; e2 = 3; e 0 = 8,85.10-12 Ф/м. Виконавши необхідні обчислення, одержимо
Визначимо ємність конденсатора
С =
де q =
Виконавши необхідні обчислення, одержимо
Електричний струм Основні формули
1. Сила постійного струму
де q – заряд, що пройшов через поперечний переріз провідника за час t.
2.Густина електричного струму є векторна величина, яка дорівнює відношенню сили струму до площі S поперечного перерізу провідника:
де k – одиничний вектор, який за напрямком збігається з напрямком руху позитивних носіїв заряду. 3. Опір однорідного провідника
де l – його довжина. 4. Провідність G провідника і питома провідність
5. Залежність питомого опору від температури
де t – температура (за шкалою Цельсія);
4. Опір послідовно з'єднаних провідників:
Опір паралельно з'єднаних провідників
де Rі – опір і-го провідника; п – кількість провідників.
7. Закон Ома в інтегральній формі: - для неоднорідної ділянки кола
- для однорідної ділянки кола (
- для замкнутого кола (
де (
U – напруга на ділянці кола; R – опір кола (ділянки кола);
8. Правила Кірхгофа. Перше правило: алгебраїчна сума сил струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю, тобто
де п – кількість струмів, що сходяться у вузлі. Друге правило: у замкненому контурі алгебраїчна сума спадів напруги на всіх ділянках контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил, тобто
де І – сила струму на і-й ділянці; Rі – активний опір на і-й ділянці;
п – кількість ділянок, що містять активний опір; k – кількість джерел струму на всіх ділянках замкнутого контуру.
9. Робота, яка виконується електростатичним полем і сторонніми силами на ділянці кола постійного струму за час t
10. Потужність струму
11. Закон Джоуля-Ленца
де Q – кількість теплоти, що виділяється на ділянках кола за час t. Закон Джоуля - Ленца має місце за умови, що ділянка кола нерухома і в ній не здійснюються хімічні перетворення. 12. Густина струму j, середня швидкість
де q – елементарний заряд. 13. Закон Ома у диференціальній формі
де Е – напруженість електричного поля; τ – середній час вільного руху носіїв струму; m – масса електрона. 14. Закон Джоуля - Ленца у диференціальній формі
де 15. Закони електролізу Фарадея. Перший закон
де т – маса речовини, що виділилась на електроді під час проходження через електроліт електричного заряду Q; k – електрохімічний еквівалент речовини. Другий закон
де F – стала Фарадея (F = 96,5 кКл/моль);
n – валентність іонів. Об'єднаний закон
де І – сила струму, що проходить через електроліт; t – час, протягом якого протікав струм. 16. Рухливість іонів
де <υ> – середня швидкість впорядкованого руху іонів; Е – напруженість електричного поля. 17. Закон Ома у диференціальній формі для електролітів і газів при самостійному розряді в області, яка далека від насичення,
де Q – заряд іона; п – концентрація іонів; b+ і b- – рухливість відповідних іонів; 18. Густина струму насичення
де по – кількістьпар іонів, які створює іонізатор в одиниці об'єму за одиницю часу; d – відстань між електродами (п0 =N/(Vt), де N – кількість пар іонів, що створює іонізатор за час t у просторі між електродами; V – об'єм цього простору. Приклади розв’язання задач
Приклад 1. Резистор опором 5 Ом, вольтметр і джерело струму з'єднані паралельно. Вольтметр по |
|
|