динаміки обертового руху твердого тіла у випадку, коли під час руху момент інерції тіла не змінюється. Визначити момент інерції тіла і момент І сили тертя.

Обладнання: установка РМ-06.

Установка РМ-06 складається з: хрестовини 1, противаг 2, шківів різного діаметра 3, блока 4, стержня 5, нитки 6, тягарця 7, фотоелектричних датчиків 8, блока відліку часу 9.

Теоретичні відомості

З механіки відомо, що швидкість зміни моменту імпульсу твердого тіла відносно заданої вісі обертання, дорівнює сумі моментів сил, які діють на тіло вздовж цієї ж вісі

. (6.1)

Момент імпульсу відносно заданої вісі ОZ можна знайти як добуток момент інерції тіла на кутову швидкість обертання його навколо цієї вісі

. (6.2)

Підставивши значення моменту імпульсу з рівняння (6.2) в рівняння (6.1), отримаємо

Якщо , то . Відомо, що , де — кутове прискорення, тоді основне рівняння динаміки обертового руху набере вигляду

. (6.3)

Якщо тіло має тільки одну вісь обертання, то індекси, які вказують на вісь, відносно якої відбувається обертання, можна опустити. Розглянемо саме такий випадок, при чому віссю обертання є вісь шківа. Якщо до кінця нитки, намотаної на шків, прив'язати тягарець і відпустити його, то на шків діятиме момент сили натягу нитки (рис.6.2):

, (6.4)

де Т — сила натягу нитки. В протилежному напрямі буде діяти момент сили тертя, тому рівняння (6.3) набере вигляду

. (6.5)

Моменти М, М_тр і кутове прискорення напрямлені вздовж вісі обертання, причому М і М_тр напрямлені в протилежні сторони, отже рівняння (6.5) в скалярній формі матиме вигляд:

, (6.6)

. (6.7)

Рівняння (6.7) аналогічне лінійному рівнянню у = а + bх, тобто між М і ε повинна існувати лінійна залежність. Вимірявши декілька значень М і відповідних їм значень кутового прискорення ε, побудуємо графік в координатах М і ε. Якщо рівняння (6.7) справджується, то побудований графік буде прямою лінією (рис. 6.3). Відрізок, який відтинається прямою на вісі моментів, дорівнює М_тр. З цього графіка може бути визначений момент інерції, а саме

. (6.8)

З допомогою установки РМ—05 можна експериментально визначити кутове прискорення ε і момент сили М. З рис.6.2 видно, що рівняння руху тягарця, в скалярній формі має вигляд

або ,

де m — маса тягарця, а — прискорення, з яким рухається тягарець. Отже, момент

. (6.9)

Прискорення а можна визначити, знаючи висоту падіння і час падіння:

. (6.10)

Висоту падіння визначаємо по шкалі, нанесеній на стержні, а час — електронним секундоміром. Радіус виразимо через діаметр шківа. Тоді рівняння (6.9) набуде вигляду

. (6.11)

Прискорення тягарця а таке ж, як і прискорення точок на ободі шківа, бо нитка не проковзує, значить а =а_τ. В свою чергу

. (6.12)

Тоді, очевидно

. (6.13)

Враховуючи (6.10), формула (6.13) набуде вигляду

(6.14)

Порядок виконання роботи

1. Встановити тягарці на хрестовині так, щоб система знаходилася в стані байдужої рівноваги.

2. Намотати нитку на один із шківів, прив'язавши до кінця нитки найменший тягарець. Визначити середній час падіння тягарця з п'яти дослідів.

3. Виміряти діаметр шківа і висоту падіння тягарця (віддаль між двома фотодатчиками).

4. За формулою (6.11) і (6.14) визначити момент сили і кутове прискорення.

5. Пункти 2,3,4, виконати з тягарцями різної маси.

6. Побудувати графік залежності М від ε і визначити М_тр і I.

Контрольні запитання

1. Що називається моментом інерції тіла відносно заданої вісі?

2. Що називають моментом сили?

3. Що називають моментом імпульсу?

4. Як формулюється основне рівняння динаміки обертового руху тіл?

Лабораторна робота № 7

ВИЗНАЧЕННЯ ГОЛОВНИХ ОСЕЙ ІНЕРЦІЇ

Мета роботи: на досліді переконатись, що момент інерції тіла

залежить від вибору осі обертання, а також

встановити, які з осей обертання є головними,

до якого типу дзиґ належить кожне з

досліджуваних тіл.

Обладнання: установка РМ-05.

Установка РМ-05 складається з стержня 1, рамки в якім закріплене досліджуване тіло 2, електромагніту 3, електродного блоку відліку часу і кількості коливань 4 (рис.7.1).

Теоретичні відомості

Інерціальні властивості тіла при обертовому русі визначаються моментом інерції відносно заданої осі обертання. При зміні осі обертання момент інерції тіла змінюється.

З другого боку, якщо якесь тіло привести в обертання навколо довільної осі і після цього залишити це тіло само на себе, то положення осі обертання в просторі буде змінюватись. В той же час існують осі, орієнтація яких в просторі зберігається без дії на тіло зовнішніх моментів сил. Такі осі називаються вільними осями обертання або головними осями інерції.

В теоретичній механіці показано, що для будь-якого тіла з довільним розподілом мас, існують три головні осі інерції. Вони обов’язково проходять через центр інерції і є взаємно перпендикулярними. Момент інерції відносно однієї з них буде найбільший, а відносно другої найменший, порівняно з моментом інерції відносно всіх інших осей, що проходить через центр інерції цього тіла. Відносно третьої з головних осей момент має проміжне значення. Головні осі інерції, відносно яких момент інерції є максимальний або мінімальний є осями стійкого обертання. Обертання же навколо головної осі, відносно якої момент інерції має проміжне значення, є нестійким. Це означає, що при незначному відхиленні осі обертання, виникають сили інерції, які, в першому випадку, повертають її в попереднє положення, а в другому випадку відхиляють її ще більше від попереднього положення.

У симетричних тілах головними осями інерції є осі симетрії. Так, в тілах з осьовою симетрією (наприклад, у однорідного циліндра) одна з головних осей є фіксована. Це вісь осьової симетрії ОО , дві інші - це будь які дві взаємно перпендикулярні осі, що лежать у площині перпендикулярній до вісі симетрії і проходять через центр мас (рис. 7.2). У тіла з центральною симетрією, наприклад, кулі, будь яка вісь, що проходить через центр мас, буде головною віссю інерції.

В загальному випадку момент інерції тіла відносно головних осей різні I₁≠ I₂ ≠ I₃. Таке тіло називають асиметричною дзиґою. Тіло, в якого I₁≠ I₂= I₃(як у випадку циліндра), називають симетричною дзиґою. І, нарешті, якщо момент інерції відносно всіх головних осей однакові I₁= I₂= I₃, (як у випадку кулі), таке тіло називають кульовою дзиґою. Слід зауважити, що при певному розподілі мас не тільки куля, а і тіло довільної форми може бути кульовою дзиґою.

Момент інерції твердого тіла відносно будь якої вісі обертання можна визначити за допомогою крутильного маятника. З теорії коливань відомо, що період коливань крутильного маятника Т зв'язаний з моментом його інерції співвідношенням

, (7.1)

де І — момент інерції крутильного маятника, k — коефіцієнт кручення дротини. Якщо досліджуване тіло закріплене в рамці, яка має момент інерції І₀, то формула (7.1) набере вигляду

. (7.2)

З цього рівняння можна визначити момент інерції тіла закріпленого в рамці:

. (7.3)

З рівняння (7.2) випливає, що в разі збільшення моменту інерції збільшується і період коливань крутильного маятника.

Отже, якщо закріплювати тіло в рамці так, щоб воно здійснювало крутильні коливання відносно різних осей) то внаслідок зміни моменту інерції, буде мінятись і період коливань. Таким чином, для визначення головних осей інерції не обов'язково порівнювати моменти інерції відносно різних осей, обчислюючи їх за формулою (7.3), досить порівняти періоди коливань. Більші періоди коливань будуть відповідати більшим значенням моментів інерції і навпаки.

Порядок виконання роботи

1. Закріпити тіло в рамці відносно якоїсь вісі обертання.

2. Відхилити рамку від положення рівноваги і зафіксувати електромагнітом.

3. Натиснути кнопку "пуск". Електромагніт звільнить рамку і вона разом з тілом почне коливатись,

4. Натиснути кнопку "сброс". Почнеться відлік часу і кількість коливань.

5. Коли на екрані (кількість коливань) з'явиться цифра ”9” натиснути кнопку "стоп". Відлік часу продовжується до „10” коливань.

6. Поділити зафіксований час на 10, визначити період коливань.

7. Дослід повторити три рази і визначити середнє значення періоду. Похибки обчислити згідно методичних вказівок.

8. Пункти 1-7 виконати для кожного з трьох тіл відносно осей, вказаних на рис. 7.3 (для паралелепіпеда, в малому перерізі якого є прямокутник, осі, відносно яких потрібно визначити період коливань, позначені цифрами. Для тіла, в малому перерізі якого квадрат, з міркувань симетрії, не потрібно визначати періоди коливань відносно вісі 33, бо він буде такий же, як і відносно вісі 11 не потрібно визначати період коливань і відносно вісі 77,. так як він буде таким же, як і відносно вісі 66; для куба, з міркувань симетрії, визначити період лише відносно осей 11, 44, 66).

9. Результати досліджень занести в таблицю.

Вісь	Тіло 1	Тіло 2	Тіло 3
Т	ΔТ	Т	ΔТ	Т	ΔТ
1.1


середнє значення
2.2

10. Показати, виходячи із зв'язку між періодом коливань і моментом інерції, які осі є головними осями інерції кожного тіла.

11. Вказати, котрі з осей є осями стійкого обертання тіла і до якого типу дзиґ належить кожне тіло.

Контрольні запитання

1. Що називають моментом інерції тіла і матеріальної точки?

2. Які осі називають вільними осями обертання або головними осями інерції?

3. Які типи дзиґ розрізняють і за якими ознаками?

4. Чи залежить величина моменту інерції, відносно вісі обертання, від вибору вісі?

5. Які з осей називаються осями стійкого обертання?

Лабораторна робота № 8

Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 10 11 12 13 Следующая