ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


СТРУКТУРНО-МОДУЛЬНА СХЕМА Структура курсу за КМСОНП з навчальної дисципліни

"Економіко-математичне моделювання"

 

 

  № залікового кредиту № модуля Назва змістовного модуля (назва теми) Види навчальної діяльності Загальна кількість заходів/ годин Кількість балів за кожний вид діяльності
Поточний контроль: 60 б.   Заліковий кредит І 108 год / 3 кр     Модуль ЗМ1 "Оптимізаційні економіко- математичні моделі " Лекції 9/ 18 годин 9х1бл = 9бл
Лабораторні 6/16 годин 6х3бл=18бл
Колоквіум 1/2 години 1х9бл =8 бл
Всього за модуль   36 годин   35 бл
    Модуль ЗМ2 "Аналіз та управління ризиком в економіці" Лекції 8/16 годин 8х1бл = 8бл
Лабораторні 6/14 годин 6х3бл=18бл
Колоквіум 1/2 години 1х10бл=9бл
Всього за модуль   32 години   35 бл
  Наукова робота та поглиблене вивчення дисципліни (додаткові бали)      
     
     
  Всього: Підсумковий контроль   1/8 годин   1х30бл=30бл
Всього заліковий кредит   годин     100бл

 

ТЕМАТИКА ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ

 

 

  №   Тема роботи Кількість годин
Стаціонар Заочники
Модуль 1
Оптимізаційні економіко-математичні моделі
Типові задачі математичного програмування  
Задача лінійного програмування та методи її розв’язування
Графічний метод розв’язання ЗЛП  
Симплексний метод Постановка задачі, розв’язання задачі симплексним методом в симплексних таблицях, розв’язання оптимізаційної задачі в електронних таблицях Excel.
Побудова двоїстих задач та їх економічний зміст  
Постановка задачі цілочисельного програмування. Метод Гоморі  
Транспортна задача. Метод потенціалів. Постановка задачі, розв’язання задачі симплексним методом в симплексних таблицях, розв’язання оптимізаційної задачі в електронних таблицях Excel
Модуль 2
Аналіз та управління ризиком в економіці
Дослідження статистичних методів оцінки економічних ризиків  
Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику  
Принципи побудови економетричних моделей
Парна лінійна регресія
Лінійні моделі множинної регресії
Множинна лінійна регресія  
Узагальнені економетричні моделі
Мультиколінеарність: тестування наявності, методи усунення  
Економетричні моделі динаміки
Автоколеція: тестування наявності, методи усунення. Критерій Дарбіна-Уотсона  
  Всього годин
  Контрольні заходи:  
  Разом

 

ТЕМАТИКА ЛЕКЦІЙ

 

 

    №     Тема роботи Кількість годин
Стаціонар Заочники
Модуль 1
Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки. Предмет, метод і задачі курсу. Класифікація задач математичного моделювання економіки
Оптимізаційні економіко-математичні моделі. Типові задачі математичного програмування  
Задача лінійного програмування та методи її розв’язування Графічний метод розв’язання ЗЛП  
Симплексний метод Постановка задачі, розв’язання задачі симплексним методом в симплексних таблицях, розв’язання оптимізаційної задачі в електронних таблицях Excel.
Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Побудова двоїстих задач та їх економічний зміст Економіко-математичний аналіз оптимального розв’язку задачі  
Цілочисельне програмування. Постановка задачі цілочисельного програмування. Графічний метод розв’язання задачі цілочисельного програмування. Метод Гоморі.  
Транспортна задача. Метод потенціалів. Постановка задачі, розв’язання задачі симплексним методом в симплексних таблицях, розв’язання оптимізаційної задачі в електронних таблицях Excel
  Модуль 1  
  Всього модуль 1  
Модуль 2
Аналіз та управління ризиком в економіці  
Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику  
Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія
Лінійні моделі множинної регресії  

 

Узагальнені економетричні моделі  
Економетричні моделі динаміки  
  Модуль 2  
  Всього за модуль 2  
  Разом курс

 

Модуль 1

 

Лабораторна робота №1

“Типові задачі математичного програмування” (2 години)

 

Зміст завдання: Побудувати економіко- математичні моделі окремих явищ економічних систем сільськогосподарського виробництва.

Мета завдання: Навчитись конструювати економіко-математичні моделі,

 

записувати їх в загально-математичній формі та в числовому виразі.

 

 

Порядок виконання:

 

 

Для кожної з наведених нижче задач виконати такі дії:

 

1. Постановка задачі.

 

2. Побудова числової моделі задачі.

 

3. Запис моделі в загально - математичній формі.

 

 


 

Задача 1.


Вихідні дані


 

Для вирощування сільськогосподарських культур сільськогосподарське підприємство має такі ресурси: ресурси праці -А1 люд.-год., матеріально - грошові ресурси - А2 грошових одиниць, земельні ресурси - А3 га., обсяг механізованих робіт - А4 умовних гектар. Вартість валової продукції складає(грошові одиниці за 1центнер):пшениця-18,овес-15,ячмінь-17,картопля-

10,кормові буряки-7,однорічні трави-2.

 

Витрати ресурсів на 1га кожної сільськогосподарської культури наведено в таблиці 1.

Скласти такий план вирощування сільськогосподарських культур, при якому вартість валової продукції буде максимальною. Значення Аi вибрати згідно з отриманим варіантом.


 

Таблиця 1

 

  Вид сільськогосподарської культури Витрати на 1 га посіву культури   Урожайність, ц/га
  Праці, люд.-год. Матеріально- грошові витрати, грошові одиниці   Механізованих робіт, умовні га.
Пшениця
Ячмінь
Овес
Картопля
Кормові буряки
Однорічні трави

Задача 2.

 

Для складання кормового раціону є такі види кормів та їх ціна (грошові одиниці за 1 кілограм): концентрати - 1.0, сіно - 0.28, силос - 0.22, кормові коренеплоди - 0.34,солома -0.14.Раціон необхідно збалансувати по кормових одиницях, перетравному протеїнові. Вміст кормових одиниць, перетравного протеїну та їх мінімальну потребу наведено в таблиці 2.

Скласти найбільш дешевий раціон, що повністю задовольняє потребу тварин в поживних речовинах. Значення Bi вибирати згідно з визначеним

варіантом.

 

Таблиця 2

 

Види Вміст в 1 кг корму
кормів кормових одиниць, кг перетравного протеїну, г
Концентрати 1,0
Сіно 0,42
Силос 0,17
Кормові коренеплоди 0,15
Солома 0,26
Мінімальна потреба в поживних речовинах B1 B2

Задача 3.

 

Два трактори виконують три види сільськогосподарських робіт. Інші умови задачі наведено в таблиці 3. Скласти такий план розподілу тракторів між видами робіт, щоб витрати були мінімальними, а термін роботи склав не більше

10 діб.

 

Таблиця 3

 

  Види робіт Продуктивність трактора за добу, умовні га Витрати за добу, грош.од. План, умовні га
МТЗ-80 Т-150 МТЗ-80 Т-150
Боронування 8,0 6,6 С1
Культивація 5,4 35,5 С2
Сівба 25,2 75,4 С3

 

Задача 4.

Для виготовлення брусків довжиною D1, D2, D3 метрів в співвідношенні D4:D5:D6 на розпил надходять 195 колод довжиною 6 метрів. Визначити такий план розрізу колод, щоб забезпечити максимальну кількість комплектів.

 

 

Варіанти завдань:

 

Варіанти
А1
А2
А3
A4
B1 16,5 15,6 18,2
B2
C1
C2
C3
D1 1,2 2,3 1,5 2,0 3,0
D2 3.2
D3
D4
D5
D6

 

Варіанти
А1
А2
А3
A4
B1 15,9 16,3 19,7 18,6 16,5 17,3 16,9 18,2
B2
C1
C2
C3
D1
D2
D3 5,1 3,2 1,5 1,6 0,8 0,5 4,6
D4
D5
D6

 

 

Теоретичні відомості

 

Процес побудови математичної моделі для розв’язування поставленої задачі можна почати з відповідей на три наступні запитання.

1. Для визначення яких величин повинна бути побудована модель?

 

Іншими словами, як ідентифікувати змінні (величини, які потрібно знайти )


 

даної задачі?

 

2. Які обмеження повинні бути накладені на змінні, щоб виконувалися умови, які характерні для системи, яку моделюють.

3. У чому суть мети, для досягнення якої з усіх допустимих значень змінних потрібно вибрати ті, котрі будуть відповідати оптимальному (найкращому) розв’язку задачі?

Конструктивний шлях формулювання відповідей на поставлені запитання полягає в тому, щоб словесно виразити суть проблем. Розглянуту ситуацію можна охарактеризувати в такий спосіб.

Фабриці потрібно визначити обсяги виробництва (у тонах) кожного виду плиток, які максимізують дохід (у тисячах ум. од.) від реалізації продукції, з урахуванням обмежень на попит і обмежень на витрати вихідних продуктів.

Труднощі побудови математичної моделі полягають в ідентифікації змінних і наступному представленні мети і обмежень у виді математичних функцій цих змінних. У розглядуваному випадку ми маємо наступне.

Змінні. Тому що потрібно визначити обсяги виробництва кожного виду

 

плитки, то змінними в моделі є:

 


x1

 

тонах),

 

x 2

 

тонах).


- добовий обсяг виробництва плитки для зовнішніх робіт „Зн” (у

 

 

- добовий обсяг виробництва плитки для внутрішніх робіт „Вн” (у


 

Цільова функція. Тому що вартість 1 т плитки „Зн” дорівнює 3 тис. ум.

 


од., добовий дохід від її продажу складе


3x1


тис. ум. од. Аналогічно дохід від


 


реалізації


x2 тон плитки „Вн” складе


2x2


тис. ум. од. на добу. При допущенні


 

незалежності обсягів збуту кожного виду плиток загальний дохід дорівнює сумі двох доданків — доходу від продажу плитки „Зн” и доходу від продажу плитки

„Вн”. Позначивши загальний дохід (у тис. ум. од.) через z. Можна дати

 

наступне математичне формулювання цільової функції: визначити (допустимі)

 


значення


x1 і


x 2 , які максимізують величину загального доходу


 

 

z 3x1


 

2x2 .


 

Обмеження. При розв’язуванні розглядуваної задачі повинні бути враховані обмеження на витрату вихідних продуктів і попит на плитку, яку виготовляють. Обмеження на витрати вихідних продуктів можна записати в

такому вигляді:

 


æÂèòðàòè âèõ³äíîãî

ç


ö

÷ æÌàêñèìàëüí


 

î ìîæëèâèé


 

çàïàñ ö


çïðîäóêòó

ç


äëÿ âèðîáíèöòâ à ÷

÷


ç

èäàíîãî


 

âèõ³äíîãî


÷

ïðîäóêòó ø


èäâîõ


âèä³â


ïëèòêè ø


 

 

Це приводить до наступних двох обмежень (див. умову задачі):


x1

2x1


2x 2 6 x 2 8


(для А), (для В).


Обмеження на величину попиту на продукцію мають вигляд:

 

 

Перевищення попиту на

плитку „Вн” відносно ≤ 1 тона/добу,

попиту на плитку „Зн”

 

 

Попит на плитку „Вн” ≤ 2 тони/добу.

 

 

Математично ці обмеження записуються в такий спосіб:

 


x 2

 

„Зн”),


x1 1


(співвідношення величин попиту на плитку „Вн” і плитку


 


x 2 2


(максимальна величина попиту на плитку „Вн”).


 

Неявне (очевидне) обмеження полягає в тім, що обсяги виробництва продукції не можуть приймати негативних значень (тобто бути менше нуля). Щоб запобігти одержанню таких недопустимих розв’язків, зажадаємо виконання умови невід’ємності змінних, тобто введемо обмеження на їхній

знак:

 


x1 0

 

x 2 0


(обсяг виробництва плитки „Зн”),

 

(обсяг виробництва плитки „Вн”).


 

Отже, математичну модель можна записати в такий спосіб.

 


Визначити добові обсяги виробництва ( x 2 і


x1 ) плитки „Вн” і плитки


 

„Зн” (у тонах), при яких досягається

 


max z


3x1


2x2


(цільова функція)


 

при обмеженнях:

 


x1

2x1


2x 2

x 2


6, ü

ï
8, ï


x1 x 2

x 2 2,


 

1, ýï ï


x1 0,x2


0.ïþ


 

Що визначає лінійний характер побудованої моделі?

 

З формальних позицій дана модель є лінійною тому, що усі функції, які в неї входять (обмеження і цільова функція), є лінійними, а лінійність допускає наявність двох властивостей – пропорційності й адитивності.

 

 

Контрольні питання:

 

1. Які етапи процесу моделювання Ви знаете?

 

2. Наведіть класифікацію економіко-математичних моделей.

 

3. З чого складається економіко-математична оптимізаційна модель?

 

4. Які типові задачі математичного програмування ви знаєте?

 

5. Наведіть типову задачу про використання ресурсів.

 

6. Наведіть типову задачу про «дієту».

 

7. Наведіть типову задачу про використання потужностей.

 

8. Наведіть типову задачу про розкрой матеріалу.


 

Лабораторна робота №2 “Графічний метод розв’язання ЗЛП”

(4 години)

 

Зміст завдання:Побудова та графічне розв’язування задачі лінійного програмування.

Мета завдання:Навчитися розв’язувати задачі лінійного програмування

 

графічним методом та розкрити економічний зміст розв’язку.

 


 

1. Постановка задачі.


Порядок виконання:


 

2. Побудова числової моделі задачі.

 

3. Розв’язок задачі.

 

4. Аналіз результатів.

 

Вихідні дані

 

Визначити площу саду та винограднику при використанні слідуючих ресурсів: рілля під багаторічні насадження - А га, трудові ресурси - В тис. люд- діб, грошові ресурси - С тис. грн. Площа під виноградником не менше за 75 га. Відомі витрати виробничих ресурсів на 1 га площі саду та винограднику

наведено в таблиці 1.

 

Таблиця 1

 

Ресурси Сад Виноградник
1.Трудові, тис. люд.-діб 0.05 0.1
2.Грошові, тис. грн. 0.28 0.4
3.Вартість продукції, тис. грн. 2.3 4.5

 

Значення параметрів A,B,C наведені у таблиці 2 згідно варіанту.

 

 

Варіанти завдань

Номер варіанту Параметри
A B C

 

Номер варіанту Параметри
A B C

 

Теоретичні відомості

 

 

Алгоритм графічного методу розв’язування задач лінійного програмування

1. Побудова багатокутника розв’язків.

 

Багатокутник розв’язків будується за системою обмежень та умовою невід’ємності змінних.

Визнчення 1. Багатокутником розв’язк5ів називається така фігура, у якій одночасно задовольняються всі обмеження моделі.

Шукана область (простір) розв’язків показана на мал. 2.1. Умови

 


невід’ємності змінних x1


0,x2


0 обмежують область їхніх допустимих


 

значень першим квадрантом. Інші границі простору розв’язків зображені на

 


площині


x1ox2


прямими лініями, які побудовані за рівняннями, які отримані


 

при заміні знака ≤ на знак = в усіх обмеженнях. Області, у яких виконуються відповідні обмеження у виді нерівностей, указуються стрілками, які направлені у сторону допустимих значень змінних. В такий спосіб отримано багатокутник розв’язків – багатокутник АВСDЕF, який на мал. 1 заштрихований.


 

x2

 

1 2 3 4 x1

 


Мал. 1. Обмеження x1


2x2


6 (1),


2x1


x2 8


(2),


x1 x2


1 (3),


 


x2 2


(4), x1


0 (5), x 2


0 (6).


 

У кожній точці, що належить внутрішній області або границям багатокутника розв’язків АВСDЕF, всі обмеження виконуються, тому розв’язки, що відповідають цим точкам, є допустимими.

2. Графічне відображення цільової функції.

 

Цільову функцію графічно можна представити у вигляді вектора -

 

градієнта та лінії рівня.

 

Визначення 2. Вектор–градієнт це вектор, який виходить з початку координат та направлений до точки з координатами, що є частинними похідними цільової функції по змінним. Вектор–градієнт показує напрямок зростання значень цільової функції.

Для нашого прикладу вектор–градієнт напрямлений до точки (3,2)

 

Визначення 3. Лінія рівня – це лінія, координати будь-якої точки якої при підстановці у цільову функцію визначають рівні значення. Лінія рівня завжди перпендикулярна до вектора-градієнта.


 

Багатокутник розв’язків містить нескінченне число таких точок, але,

 

незважаючи на це, можна знайти оптимальний розв’язок, якщо з'ясувати, у

 


якому напрямку зростає цільова функція моделі z


3x1


2x2 . На мал. 3.2


 

показано, як здійснюється така операція. На графік наносять ряд паралельних ліній, що відповідають рівнянню цільової функції при декількох довільно обраних і послідовно зростаючих значеннях z, що дозволяє визначити нахил цільової функції і напрям, у якому відбувається її збільшення (тобто зростання загального доходу). На мал. 2 використані наступні значення цільової функції:

z = 6 і z = 9.

 

 
x 2

 


 

Мал. 2. Функція мети: максимізувати z


 

3x1


х1

 

2x2 .


 


x 31 т; x


11 т; z


12 2 тис


 

Умод


Оптимальний розв’язок : 1 3 2 3


. . .


 

3. Визначення точки (або точок), де знаходиться оптимальний розв’язок задачі.

Щоб знайти оптимальний розв’язок, потрібно переміщувати пряму, що характеризує дохід (цільову функцію), у напрямку зростання цільової функції, тобто у напрямку вектора-градієнта, доти, поки вона не зміститься на межу допустимих і недопустимих розв’язків На мал. 3.2 видно, що оптимальному


 

розв’язку відповідає точка С. Тому що точка С є точкою перетинання прямих

 


(1) і (2) (див. мал. 3.1). Значення

 

наступної системи двох рівнянь:


x1 і x 2


в цій точці визначаються розв’язком


 


 

ìx1 í î2x1


2x 2 6,

x 2 8.


 


Розв’язок зазначеної системи рівнянь дає наступний результат: x1


10 / 3 ,


 

x2 4/ 3 . Отриманий розв’язок означає, що добовий обсяг виробництва плитки

 

„Зн” повинен дорівнювати 10/3 т, а плитки „Вн” – 4/3 т. Дохід, який

 

одержуватимуть у цьому випадку, складе:

 


z 3 10


2 4 12 2 òèñ.óì .îä .

3 3


 

Результати, що отримані при розв’язуванні задач графічним методом, виявили цікаву закономірність – оптимальний розв’язок завжди відповідає одній з допустимих кутових (або екстремальних) точок простору розв’язків (на мал. 3.2 це точки А, В, С, D, Е і F). Яка з цих точок виявиться оптимальною, залежить від нахилу прямої, що представляє цільову функцію (тобто від коефіцієнтів цільової функції). Відмітимо, що навіть для випадків, при яких оптимальний розв’язок досягається не в одній точці, всі альтернативні оптимальні розв’язки знаходяться після того, як визначені всі кутові точки

(вершини багатокутника).

 

Контрольні питання:

 

1. В якому випадку задачу математичного програмування можна розв’язати графічним методом?

2. Наведіть алгоритм графічного методу розв’язання задач математичного програмування.

3. Що називається багатокутником розв’язків та за якими даними він будується?

4. Що називається вектором-градієнтом та за якими даними він будується?

5. Що називається лінією рівня та за якими даними вона будується?


 

Лабораторна робота №3

 

“Симплексний метод. Постановка задачі, розв’язання задачі симплексним методом в симплексних таблицях, розв’язання оптимізаційної задачі в електронних таблицях Excel”

(4 години)

 

Зміст завдання:Побудувати економіко-математичну модель задачі, розв’язати отриману задачу лінійного програмування і зробити її аналіз.

Мета завдання: Навчитись розв’язувати задачу лінійного програмування симплексним методом з природним базисом.

 

 

Порядок виконання.

 

Для кожної з наведених нижче задач виконати такі дії:

 

1. Постановка задачі.

 

2. Побудова числової моделі задачі.

 

3. Розв’язок задачі.

 

4. Аналіз результатів розв’язку задачі.

 

5. Отримання оптимального розв’язку в електронній таблиці Excel.

 


 

Задача 1


Вихідні дані


 

В господарстві необхідно внести добрива на три ділянки. Знайти площі по кожній ділянці, під які треба внести добрива, так щоб приріст урожаю за рахунок внесення добрив був максимальним. Дані для розв’язання задачі

наведено в таблиці 1.

 

Таблиця 1

 

  Номер ділянки   Посівні площі, га     Витрати добрив на 1 га, ц Приріст урожайності на 1 га, ц
    фосфорні азотні калійні  
           

 

А1
А2 1,25
А3 1,5
Наявність добрив, ц А4 А5 А6  

 

 

Варіанти завдань:

 

Варіанти
А1,тис.га
А2 тис.га
А3 тис.га
A4,тис.ц
А5,тис.ц
А6,тис.ц

 

 

Варіанти
А1 тис.га
А2 тис.га
А3 тис.га
A4,тис.ц
А5,тис.ц
А6,тис.ц

 

 

Якщо в умові задачі біля числа стоїть знак “+”, то до такого числа необхідно додати номер свого варіанту.

 

 

Задача 2

 

Необхідно скласти на стійловий період оптимальний добовий раціон годівлі дійних корів живою вагою 550 кг і добовим надоєм 30 кг. На одну голову на добу необхідно не менше С1 кг кормових одиниць і С2 г перетравного протеїну. Раціон складається з трьох видів кормів - комбікорму, сіна та силосу.

Собівартість і вміст поживних речовин в 1кг корму наведено в табл. 1. Згідно біологічним властивостям тварин в раціоні повинно бути не менше 25 % концентрованих кормів і не більше 30% грубих кормів від загальної поживності раціону.


 

Таблиця 1

 

Показники Комбікорм Сіно Силос
Кормові одиниці, кг 0.5 0.2
Перетравний протеїн, г
Собівартість, гр.од.

 

Варіанти завдань:

 

Варіанти
C1 20,8 19,6 21,0 22,0 22,3 22,6 25,0 24,1
C2

 

 

Варіанти
C1 20,3 19,8 16,5 17,9 20,1 20,5 20,6 19,8
C2

 

 

Теоретичні відомості

 

 

Форми запису задач лінійного програмування. Визначення первинного допустимого базисного розв’язку

У розглянутих вище прикладах оптимальний розв’язок отриманий шляхом послідовного переходу від первинного допустимого базисного розв’язку до наступного, "кращого", і так – до досягнення критерію оптимальності. Однак не завжди на першому ж кроці виходить допустимий базисний розв’язок. У наступному прикладі розглянемо один з можливих алгоритмів одержання допустимого базисного розв’язку.

Визначення першого опорного плану починають із запису задачі лінійного програмування в канонічній формі.

Визначення. Канонічною формою запису задачі лінійного програмування називається така форма запису, система обмежень якої складається лише з рівнянь та праві частини цих рівнянь є невід'ємними.

Якщо в умові задачі присутні обмеження-нерівності, то перетворення їх на рівняння виконується за допомогою введення додаткових змінних, які


 

вводяться до лівої частини обмежень:

 

1. Якщо обмеження має тип «≤», то додаткова змінна вводиться з коефіцієнтом «+1», економічно вона позначає залишок або резерв відповідного ресурсу.

2. Якщо обмеження має тип «>», то додаткова змінна вводиться з коефіцієнтом «-1»,економічно вона позначає надлишок відповідного ресурсу або вміст речовини понад мінімальну потребу (отримання продукції понад план).

У цільовій функції задачі додаткові змінні мають коефіцієнт нуль.

 

Після зведення задачі до канонічного вигляду її записують у векторній формі. За означенням опорного плану задачі лінійного програмування його утворюють т одиничних лінійно незалежних векторів, які становлять базис m- вимірного простору (де т -кількість обмежень у задачі лінійного програмування).

На цьому етапі розв'язування задачі можливі такі випадки:

 

• після запису задачі у векторній формі в системі обмежень є необхідна кількість одиничних векторів. Тоді початковий опорний план визначається безпосередньо без додаткових дій;

• у системі обмежень немає необхідної кількості одиничних незалежних векторів. Тоді для побудови першого опорного плану застосовують метод штучного базису. Ідея його полягає в тому, що відсутні одиничні вектори можна дістати, увівши до відповідних обмежень деякі змінні з коефіцієнтом +1, які називаються штучними. У цільовій функції задачі лінійного програмування штучні змінні мають коефіцієнт (для задачі на min) або -M (для задачі на mах), де М – досить велике додатне число.

Штучні змінні економічного змісту не мають.

 

Визначені одиничні лінійно незалежні вектори утворюють базис, і змінні задачі, що відповідають їм, називають базисними, а всі інші змінні – вільними, їх прирівнюють до нуля та з кожного обмеження задачі визначають значення базисних змінних. У такий спосіб отримують початковий опорний план задачі


 

лінійного програмування.

 

Приклад 1.Продукція чотирьох видів А, В, С і Д проходить послідовну обробку на двох верстатах. Тривалість обробки одиниці продукції кожного виду

задано таблицею.

 

Верстат Тривалість обробки, год, одиниці продукції
А В С Д

 

 

Витрати на виробництво одиниці продукції кожного виду визначають як величини, прямо пропорційні до часу використання верстатів (у машино-годинах). Вартість однієї машино-год становить 10 дол. для верстата 1 і 15 дол. – для верстата

2. Можливий час використання верстатів обмежений: для верстата 1 він становить

 

450 машино-год, а для верстата 2 – 380 машино-год.

 

Ціна одиниці продукції кожного виду дорівнює відповідно 73, 70, 55 та 45

 


дол.


 

Визначити оптимальний план виробництва продукції всіх чотирьох видів,


 

який максимізує загальний чистий прибуток.

 

Побудова математичної моделі. Нехай xj – план виробництва продукції j-го виду, де j може набувати значень від 1 до 4.

Умовами задачі будуть обмеження на час використання верстатів для виробництва продукції всіх видів:

для верстата 1 2x1 + 3х2 + 4x3 + 2х4 < 450 (машино-год);

 

для верстата 2 3х1 + 2х2 + х3 + 2х4 < 380 (машино-год).

 

Цільова функція задачі визначається як загальний чистий прибуток від реалізації готової продукції і складається з різниці між ціною та собівартістю виготовлення продукції кожного виду:

Z = (73-(2· 10 + 3· 15))x1+(70-(3· 10 + 2· 15))x2 +

 

+ (55-(4· 10 + 1· 15))x3+(45-(2· 10 + 2· 15))x4; Z = 8x1+10x2+0xз-5x4.

Отже, математична модель поставленої задачі має такий вигляд:


 

 

mах (8x1 + 10x2-5x4);


 

ì2x 3x


 

4x 2x


 

 

;
450,


1 2 3 4

í


î3x1


2x2


x3 2x4


380,


x j 0, j


1,4.


 

Розв'язування. Розв'яжемо задачу симплекс-мето

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти