|
Действия над векторами, заданными своими координатами
Определение 3.4 Проекцией вектора на ось называется число, равное длине вектора (рис. 3.9), взятое со знаком «плюс», если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае. Точки - это точки пересечения оси с плоскостями, проходящими через точки и , перпендикулярно оси . Обозначение . Основные свойства проекции: 1) , где - угол между вектором и осью ; 2) ; 3) ; 4) . Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Построим на координатных осях и единичные векторы, обозначаемые соответственно (рис. 3.10). Единичные векторы , имеющие направление положительных координатных полуосей, называются ортами координатныхосей. Произвольный вектор пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации ортов координатных осей. Для разложения вектора совместим его начало с началом координат (рис. 3.10). Из конца вектора проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Обозначим , и точки пересечения этих плоскостей с осями соответственно. Тогда , , , . а значит, существуют числа , такие что , , и , , . Следовательно, вектор можно представить в виде: . (3.5) Формула (3.5) называется разложением вектора по ортам координатных осей или по базису . Коэффициенты линейной комбинации (3.5) называют прямоугольными координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. Векторное равенство (3.5) записывают в виде (3.6) Имеет место аналогичное разложение вектора по базису на плоскости (рис. 3.11). . (3.7) Длина вектора с координатами определяется по формуле . (3.8) Для плоского вектора . (3.9) Направление вектора в пространстве и на плоскости можно определить с помощью косинусов углов, которые образует вектор с осями координат. Их называют направляющими косинусами вектора. Обозначим - углы, которые составляет вектор с осями соответственно, тогда , , . (3.10) Справедливо равенство . (3.11) При выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергнутся и их проекции на координатные оси. Пусть даны два вектора и . При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на это число: , (3.12) . Векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: , , . (3.13) Векторы и коллинеарнытогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. . (3.14)
Радиус-вектором точки называется вектор (рис. 3.12), начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой . Координаты точки – это координаты её радиус-вектора . Для вектора , заданного координатами точки и , его координаты определяются из векторного равенства (3.15) Здесь и - радиус-векторы точек и , т.е. координаты вектора равны разностям одноименных координат конечной и начальной точек этого вектора. Деление отрезка в данном отношении Определим радиус-вектор точки , делящей отрезок в отношении . Вектор и одинаково направлен с , поэтому . Учитывая векторные равенства , получим , откуда (3.16) Из равенства векторов (3.16) следуют три координатных формулы , , . (3.17) Для ( - середина отрезка ) , , . (3.18)
Скалярное произведение векторов Определение 3.5 Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, обозначаемое , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 3.13). Таким образом (3.19) где . Из рисунка видно: , . (3.20) С учетом (3.20) можно записать равенства . (3.21)
Свойства скалярного произведения: 1) (коммутативный закон); 2) (дистрибутивный закон); 3) (ассоциативный по отношению к скалярному множителю); 4) , скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора. В частности . 5) Условие перпендикулярности векторов. Если векторы и ненулевые, то (3.22) В частности .
Скалярное произведение в координатной форме Пусть векторы и заданы своим разложением по базису ; и . Перемножая векторы как многочлены с учетом распределительного закона умножения и свойств скалярного произведения базисных векторов, получим: . (3.23) То есть, если векторы и заданы своими координатами в базисе , то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат. 12
|
|
|