ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


СУММА ВЕКТОРОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Программы письменных теоретических опросов(на 10 минут)

 

Первый теоретический опрос.

Знать определения: направленного отрезка, нулевого направленного отрезка, длины направленного отрезка, коллинеарных направленных отрезков, сонаправленных и противоположно направленных направленных отрезков, вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов, противоположных векторов, вектора параллельного плоскости, компланарных векторов. Суммы векторов, разности векторов, произведения вектора на число.

Знать формулировки: свойства сложения векторов, свойства произведения вектора на число, теорему о разности векторов, теорему о коллинеарных векторах, теорему о компланарных векторах.

 

Второй теоретический опрос.

Знать определения: системы линейно зависимых и линейно независимых векторов, базиса векторного пространства, ортонормированного базиса, координат вектора в данном базисе, угла между векторами, скалярного произведения векторов.

Знать формулировки: свойства систем линейно зависимых и линейно независимых систем векторов, теоремы 1, 2, 3 о линейной зависимости систем из одного двух и трех векторов и следствия из них, теорема о координатах вектора, теорему о вычислении скалярного произведения в ортонормированном базисе и следствия из нее, свойства скалярного произведения векторов.

 

 

ЗАДАЧА № 1

Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О. Построить вектор

АВEF +2ОF.

РЕШЕНИЕ

F

1) АВEF +2ОF = АВ + FE+2ОF

2) Рассмотрим направленный отрезок , от точки В отложим направленный отрезок из вектора FE,затем от точки С отложим направленный отрезок из вектора 2ОF.

Тогда АВEF +2ОF = АF.

 

ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору АF.

 

ЗАДАЧА № 2.

АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед. Построить вектор

- ½ С1А1 +СА1ДА + ½ (СВВ1А1)

 

РЕШЕНИЕ

 

 

1) – ½ С1А1 +СА1ДА + ½ (СВВ1А1) = ½ А1С1 +СА1 + АД+ ½ СВ + ½ А1В1

2) Поменяем местами слагаемые ½А1С1 +СА1 + АД+ ½ СВ + ½ А1В1 =

АД +½СВ +½А1В1 + ½А1С1 + СА1

3) Откладываем направленные отрезки из данных векторов следующим образом:

АД, ½СВ, ½А1В1, ½А1С1, СА1,где М – середина АД, О = АС ВД.

АД +½СВ +½А1В1 + ½А1С1 + СА1 = АА1.

 

Замечание. Задачи такого типа имеет разные пути решения, но ответ должен быть один и тот же.
При решении данной задачи можно было рассуждать следующим образом:

– ½ С1А1 +СА1ДА + ½ (СВВ1А1) = ½ А1 С1 +СА1 + АД + ½ (СВ +

А1 В1) = ½ АС + СА1 + АД + ½ (СВ + ДС) = ½ АС + СА1 + АД + ½ ДВ =

ОС + СА1 + АД + ДО = (ДО + ОС) + СА1 + АД = ДС + СА1 + АД=

ДА1 + А1Д1 = ДД1 = АА1.

Существуют и другие пути построения искомого вектора.

ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору АА1.

Решить следующие задачи.

 

1. Дан параллелограмм АВСД . Построить векторы: а) - 2/3 АВ, б) АД, в) АВ + АД, г) ¾ АВ + 1/3 АД –2/3 ДА – ¼ ВА, г) АД + ½ АВВС – ½ СД.

2. Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О. Построить векторы а) FА + ВС – ЕО,б)½ДЕ +¾ЕF –½В F +½ЕД.

3. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. N, К, М – середины ребер Д1С1, ВС, СС1. Построить Векторы а) АА1 + ДС – ДА –½АВ,б) С1С +1/3 АД + Д1С1 –2/3С1В1 – ½ Д1Д,в) СК + С1Д1 – NД + АД.

4. АМ – медиана треугольника АВС Доказать, что АМ =½(АВ + АС).

5. Дан тетраэдр АВСД. К – точка пересечения медиан грани ВСД. M, N, S – середины ребер СД, ВД, АС. Построить векторы

а) ВS +½АС –½КВ + 2/3 СN , б) 1/3 АС –1/3ВА –2/3СN+ 1/3 АД.

6. Дан параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. М и N – середины ребер Д1С1 и АД, , О = В1С ВС1. Построить векторы: а)½ВС + СС1½ С1А1,

б) А1Д1 +½АВ – ВС1 - С1М +½(ВВ1 + ВС),

в) С1О +½ СД – Д1А +1/6ВА –2/3В1А1½ ВС.

7. Пустьаив –произвольные векторы. Показать, что 1) |а + в| | а | +|в |, При каком условии в этом соотношении имеет место знак равенства,

2) |а - в| | а | +| в |. При каком условии в этом соотношении имеет место знак равенства, 3) Существуют ли векторы а и в,для которых

|а + в| < | а | и |а + в| < |в |, 4) Существуют ли векторы а и в,для которых

|а + в| > | а | и |а + в| > |в |.

а _

8. Доказать, что если вектор а 0,то вектор | а | единичной длины и сонаправлен с вектором а.

9. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, Р – середина АВ. Доказать, что для любой точке О пространства 1) ОР = ½ (ОА + ОВ) , в частности СР = ½ (СА + СВ), 2) ОМ =1/3 ( ОА + ОВ + ОС ).

10. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Доказать, что

ОА + ОВ + ОС = 0.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из этого свойства следует, что точка О является центром тяжести треугольника АВС. Поэтому точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести этого треугольника.

 

11. Основанием пирамиды МАВСД является параллелограмм АВСД, диагонали которого пересекаются в точке О. Доказать, что

МА + МВ + МС + МД =4МО.

12. В тетраэдре АВСД М, К, Р – середины ребер ВС, СД, ДВ. Доказать, что АВ + АД + АС = АМ + АК + АР.

13. В треугольной призме АВСА1 В1С1 М и М1 – точки пересечения медиан оснований АВС и А1В1С1. Доказать, что АА1 + ВВ1 + СС1 =

3ММ1.

14. АВСД параллелограмм, О – произвольная точка пространства. Доказать, что ОА + ОС = ОВ + ОД.

15. Доказать, что если для некоторого четырехугольника АВСД и некоторой точки О пространства выполняется векторное равенство ОА + ОС = ОВ + ОД,то АВСД – параллелограмм.

ЗАМЕЧАНИЕ.

1) Даны векторы с1, с2, . . .сп и числа α1,α2, …αп.Вектор

α1с1 +α2с2 + … +αпспназывается линейной комбинациейвекторов

с1 , с2 , … сп ,а числаα1,α2, …αп называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Если вектор аявляется линейной комбинацией векторов с1, с2, . . .сп, т.е.

а =α1с1 +α2с2 + … +αпсп, то будем говорить, что вектор а выражен через векторы с1, с2, …спили что вектора разложен по векторамс1, с2, …сп .

2) Если некоторый вектор надо выразить через данные векторы, то сначала вектор амы представляем как сумму некоторых векторов или как произведение некоторого вектора на число. Затем с каждым полученным таким образом вектором поступаем аналогично, пока не получим линейную комбинацию данных векторов. Проиллюстрируем это, решая задачу 3.

 

ЗАДАЧА № 3

Дан тетраэдр АВСД. К – середина ребра ВС, точка М принадлежит ребру АД и ДМ = 1/3 ДА. ДМ = а, СА = в, АК = с. Выразить вектор ВД через векторы а, в, с.

 

РЕШЕНИЕ.

 

 

1) Представим вектор ВД как сумму двух векторов: ВД = ВС + СД. (1)

2) Теперь постараемся вектор ВСпредставить в виде линейной комбинации векторов а, в, с.

ВС =2КС =2( КА + АС) =2 ( -с + в)(2).

3) Теперь выразим вектор СД как линейную комбинацию векторов а, в, с.

СД = СА + АД = в +3МД = в –3а.(3)

4) В равенство (1) подставит разложения векторов ВС и СД из равенств (2) и (3). ВД =2 ( -с + в) + в –3а = -3а +3в –2с.

ОТВЕТ. ВД = -3а +3в –2с.

16. Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О.

а) Выразить векторы ВС, ВЕ, АЕ через векторы FА и FО.

б) Выразить векторы ВС, ВЕ, через векторы ВА и ВД.

17. АВСД – тетраэдр. М, N, Р, Q – середины ребер АД, АВ, ВС, СД.

а) Выразить векторы МNи РАчерез векторы АВ, ВД, ДС.

б) Выразить векторы АР и Q Nчерез векторы АС, А N, АД.

18. АВСДА1В1С1Д1 – куб. О = В1С ВС1, М – середина АВ.

а) Выразить вектор АО через векторы АС, АД, ВД1.

б) Выразить векторы СМ, Д1О, СА1 через векторы АС, АД, АА1.

ЗАДАЧА № 4

Дан угол АОВ, выразить через векторы ОА и ОВ какой либо вектор, параллельный биссектрисе этого угла

С
РЕШЕНИЕ

b

 

Построим параллелограмм ОАСВ. По правилу параллелограмма вектор ОС = ОА + ОВ. Если длины векторов ОАи ОВне равны, то ОС не является биссектрисой угла АОВ. Если ж длины этих векторов равны, то ОАСВ – ромб, а т.к. диагонали ромба делят его углы пополам, то ОС будет

ОА ОВ

биссектрисой угла АОВ. По задаче 8 векторы | ОА | | ОВ| сонаправлены с векторами ОА и ОВ и каждый из них имеет длину единица, обозначим эти векторы аи b, сумма векторов а+ b = ОС1 будет параллельна биссектрисе угла АОВ.

 

ОТВЕТ. Вектор ОА + ОВ параллелен биссектрисе угла АОВ.

| ОА | | ОВ|

 

ЗАДАЧА № 5

Точка О не принадлежит прямой АВ. Доказать, что точка М принадлежит прямой АВ тогда и только тогда, когда существует единственное число λ такое , ОМ = (1 – λ) ОА + λ ОВ.

 

РЕШЕНИЕ.

І. Пусть точка М принадлежит прямой АВ. Тогда векторы АВ и АМколлинеарные и вектор АВ не нулевой, по теореме о коллинеарных векторах существует такое единственное число λ, что АМ = λАВ

По правилу треугольника ОМ = ОА + АМ = ОА + λ АВ = ОА + λ (АО + ОВ) = ОА + λАО + λОВ = ОА – λ ОА + λ ОВ = (1 – λ) ОА + λ ОВ. Таким образом

ОМ = (1 – λ) ОА + λ ОВ. (1)

Пусть существует число х такое, что

ОМ = (1 – х) ОА + х ОВ. (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что (1 – λ) ОА + λ ОВ = (1 – х) ОА + х ОВ.

Перенесем все векторы в левую часть и сгруппируем слагаемые

(1 – λ) ОА + λОВ - (1 – х) ОА – х ОВ = 0 или

(х – λ) ОА + (λ – х) ОВ = 0 (3)

Так как точка О не принадлежит прямой АВ, то векторы ОА и ОВ не коллинеарные, следовательно, система {ОА, ОВ} линейно независимая, тогда из равенства (3) и определения линейно независимой системы векторов следует, что х – λ = λ – х = 0, т.е. х = λ.

ІІ. Пусть выполняется равенство ОМ = (1 – λ) ОА + λ ОВ.

По правилу треугольника ОМ = ОА + АМ,из этих двух равенств получаем(1 – λ) ОА + λ ОВ = ОА + АМ . отсюда АМ = (1 – λ) ОА + λ ОВОА =

- λ ОА + λОВ = λ( – ОА + ОВ) = λ(АО + ОВ) = λАВ.

Мы получили, что АМ = λ АВ, следовательно, векторы АМ и АВ коллинеарны, поэтому точка М лежит на прямой АВ. ■

 

 

ЗАДАЧА № 6

Векторы а, в, сне компланарны.Выяснить, является ли следующая система векторов линейно зависимой а) { а +3в,2а – с,4а + 6в – с},

б) {а + в, в + с, с + а}.

 

РЕШЕНИЕ

 

Для того, чтобы выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой надо, исходя из определения линейно зависимой системы векторов, найти такие числа х, у, z, одновременно не равные нулю, что линейная комбинация данных вектор с коэффициентами х, у, z будет равна нулевому вектору. Если же таких чисел, одновременно не равных нулю, не найдется, то данная система векторов будет линейно независимой.

а) Приравняем линейную комбинацию векторов данной системы к нулевому вектору

х(а +3в) +у(2а – с) +z (4а + 6в – с) = 0 ( 1)

Теперь исходя из свойств сложения векторов и свойств произведения векторов на число, раскроем скобки и найдем коэффициенты при векторах

а, вис.

Из (1) следует: х а +в +а –ус +4z а +6zв –zс = 0 и

(х + 2у + 4 z) а + (3х + 6 z) в + (-у – z) с = 0 (2)

Так как векторы а, в, сне компланарны, то система векторов {а, в, с} линейно независима, тогда из определения линейно независимой системы векторов следует что равенство (2) выполнятся только тогда, когда все три коэффициента при векторах а, в, содновременно равны нулю, следовательно,

х + 2у + 4 z =0 , 3х + 6 z = 0, -у – z = 0.

Выражая из второго и третьего из этих уравнений х и у через z, получим,

х = -2 z, у = - z.

Подставляя эти выражения для х и у в первое уравнение получим:

-2z + 2(-z) + 4 z = 0. Это равенство верно для любых значений z, следовательно, решением трех полученных уравнений являются любые числа х, у, z, удовлетворяющие условиям х = -2 z, у = - z. В частности, если

z = 1, то х = -2, у = -1.

Таким образом, мы нашли ненулевые коэффициенты х = - 2, у = - 1. z = 1, для который верно равенство (2), а значит и равенство (1). Следовательно, данная система векторов линейно зависима.

б) Приравняем линейную комбинацию векторов данной системы к нулевому вектору

х(а + в) + у(в + с)+z(с + а)= 0 ( 3)

Из (3) следует:

(х + z) а + (х + у) в + (у + z) с = 0 (4)

Так как векторы а, в, сне компланарны, то система векторов {а, в, с} линейно независима, тогда из определения линейно независимой системы векторов следует что равенство (4) верно только в одном случае, когда все коэффициенты при векторах а, b, с равны нулю

х + z =0 , х + у = 0, у + z = 0.

Выражая из второго и третьего из этих уравнений х и z через у, получим,

х = - у, z = -у.

Подставляя эти выражения для х и z в первое уравнение получим:

-у - у = 0. и значит у = 0, поэтому х = 0 и z = 0

Таким образом, мы выяснили. Что равенство (4 ), а значит и равенство (3) верны только в том случае, когда х = у = z = 0. Следовательно, данная система векторов линейно независима. ■

 

23. Векторы аи в не коллинеарные. Выяснить, являются ли данные системы векторов линейно независимыми: а) (2а, -1/3 в),

б) (1/7 а – в, -4в, а + в), в) (-3а,5в, а), г) (2а, 0,3в) .

24. Векторы а, в, сне компланарны. Являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми: а) (а + в, а - в, а), б) (4а, -6 в,3с),

в) (а, а + в, с), г) (3а + в, а + с, в -2с), д) (а + в +с,2а - 5 в,4а -3 в +2с)?

25. Векторы а, в, сне компланарны. Выяснить, при каких значениях х векторы (а + в), (в + с), (ха + с) также не компланарны.

 

Базисом векторного пространства называется такая линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.

В трехмерном векторном пространстве базис состоит из трех векторов, который обычно обозначается так: {е1, е2, е3 }

Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы попарно перпендикулярны. Ортонормированный базис обозначается так: {i, j, k }

Координатами вектора m в базисе {е1, е2, е3 }называются коэффициенты разложения вектора m по векторам базиса, т.е. если m = хе1 + уе2 + zе3, то числа х, у, z координаты вектора m. В этом случае будем записывать m(х, у, z).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

Если вектор m= x а + y b и а123), b(b1,b2,b3) m(m1,m2,m3)

m1 =x a1 + y b1, m2 =x a2 + y b2, m3 =x a3 + y b3.

26. Даны векторы а(2, 3, -1), в(0,1,4), с(1,0,-3). Найти координаты векторов: а) 2а - в -2с,б)а - в -3с,в)а +2в +3с),г) а - в – с,д) ½ (а+в), е) 1/3 (а - 2 в + с).

ЗАДАЧА № 7

Даны векторы а(1,1,2), в(-2, 3 5), с(5, -5, -8), d (0, -1, 3) Можно ли вектор dпредставить в виде линейной комбинации векторов а, в, с? Если да, то найти коэффициенты этой линейной комбинации.

 

РЕШЕНИЕ

 

Выясним, существуют ли такие числи х, у, z, что

d =ха +ув +z с.(1)

По теореме о координатах линейной комбинации векторов из равенства (1) получаем выражение для первой координаты вектора dчерез первые координаты векторов а, в, с, и аналогичные выражения для вторых и третьих координат

0 = х - 2у + 5 z (2)

-1 = х + 3у - 5 z (3)

3 = 2х + 5у -8 z (4)

Выясним, имеет ли эта система решение. Сложив (2) и (3), получим, что

у = -1 - 2х (5)

Затем, сложив уравнение (2), умноженное на 8, и уравнение (4), умноженное на 5, мы получим

у = 5/3 – 2х (6)

Система, состоящая из уравнений (2), (3), (4), равносильна системе, состоящей из уравнений (2), (5), (6). Ясно, что последняя система не имеет решений, следовательно, и данная система не имеет решений,. Поэтому вектор dнельзяпредставить в виде линейной комбинации векторов а, в, с.

 

27. Определить, какие из данных троек векторов линейно зависимы:

а) а(-3,0, 2), в(2, 1, -4), с(11, -2, -2), б) а(1, 0, 7), в(-1, 2, 4),

с(3, 2, 1), в) а(5, -1,4),в(3,-5, 2), с(-1,-13, -2).

28. Представить вектор d как линейную комбинацию векторов а, в, с:1)а(2,3,1), в(5, 7, 0), с(3, -2, 4), d (4, 12, -3),

2) а(5, -2, 0), в(0, -3, 4), с(-6, 0, 1), d (25, -22, 16),

3)а(3, 5, 6), в(2, -7, 1), с(12, 0, 6), d (0, 20, 18).

29. Можно ли вектор d (1,1,1) представить в виде линейной комбинации векторов а(1,-1,0), в(2,2,1), с(1,-5,-1)?

30. Даны векторы а(х, 3, 4), в(-1, 5, у).Существуют ли такие числа х и у, для которых система векторов {а, в}линейно зависима ?

31. Векторы а, в, сне компланарны. Будут ли коллинеарны следующие пары векторов: 1) а - 2 в и а-6 в, 2) 2а + в и а + 2в, 3) 7а и 8в,

4) а- 2 в + с и а -4 в + 2 с ?

32. Доказать, что для любых векторов а, в, си для любых чисел α, β, γ векторы (α а– β в), (γ в – α с), (β с - γ а) компланарны.

 

ЗАДАЧА № 8

В параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 К – середина ребра АА1, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = 2/3 ВС, О = А1С1 В1Д1. Найти координаты вектора ДО в базисе (ВК, ВА, ВМ) .

РЕШЕНИЕ

Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор ДО через векторы ВК, ВА, ВМ,поэтому будем действовать так же, как при решении задачи № 3.

1) ДО = ДД1 + Д1О = АА1 + ½ Д1В1 = 2 АК + ½ ДВ. Т.е.

ДО =2 АК + ½ ДВ. (1).

2) Выразим вектор АК через базисные векторы.

АК = АВ + ВК = -ВА + ВК (2)

3) Выразим вектор ДВ через базисные векторы.

ДВ = ДА + АВ = СВ + АВ = -3/2 ВМ – ВА(3)

4) Подставим (2) и (3) в (1), получим

ДО = 2(-ВА + ВК ) + ½ (-3/2 ВМ – ВА) = 2 ВК – 5/2 ВА – 3/4 ВМ

Следовательно, первая координата вектора ДО равна 2, вторая координата равна -5/2. третья координата равна -3/4, т.е. ДО(2, -5/2, -3/4 ).

ОТВЕТ. ДО (2, -5/2, -3/4)

 

33. АВСД – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСД и АДС, N – середина АВ, Р ВС и ВР : РС = 1 :2. Найти координаты векторов АМ, NР, КР, NМ в базисе (АВ, АС, АД) .

34. АВСД – тетраэдр. N и К середины ребер ВС и АС. Найти координаты векторов АД и СА в базисе (ДВ, Д N, ДК) .

35. В тетраэдре АВСД М- середина ВС, а N – точка пересечения медиан грани АДС. Найти координаты векторов ДС и ВN в базисе (АВ, АД, АМ).

36. В тетраэдре АВСД N - середина ВС, а М – точка пересечения медиан грани ВСД. Найти координаты векторов С N и МК в базисе ( АМ, АВ, АД).

37.АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед. А1С1 В1Д1 = М, К – середина ДД1, Р ВС и ВР = 2/3 ВС. Найти координаты векторов ВК, МС, А1Р в базисе (АВ, АД, АД1)

38. АВСД А1В1С1Д1 – параллелепипед. АС ВД = М . Найти координаты векторов В1СиАС1,в базисе (Д1М, Д1Д, Д1А).

39. АВСД А1В1С1Д1 – параллелепипед. А1С1 В1Д1 = М.Найти координаты векторов ДС, Д1В, С1А в базисе (МА, МВ, МС) .

40. SАВСД – правильная четырехугольная пирамида с основание АВС Д. К SА и SК = 1/3 SА , N – середина SС, АС ВД = М. Найти координаты векторов СР и А Nв базисе (SК, SД, SМ).

41. SАВСД – правильная четырехугольная пирамида с основание АВС Д. АС ВД = М, О – середина SМ, N – точка пересечения медиан грани ВСS. Найти координаты вектора Д N в базисе (АS, АО, АВ)

 

ЗАДАЧА № 9

Даны неколлинеарные векторы аив.Дать геометрическое истолкование формулы (а + в)2 + (а – в)2 = 2(а2+ в2 )

РЕШЕНИЕ

От произвольной точки А отложим векторы АВ = а, АД = в и построим параллелограмм АВСД. Тогда АВ = ДС = а, АД = ВС = в , АС = а + в, ДВ = а – в. Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то (а + в)2 = |а + в|2 = | АС |2 =| АС |2, (а – в)2 = |а - в|2 = | ДВ |2 = | ДВ |2 ,

а2 =|а|2 = | АВ |2 =| АС |2 = | АВ |2 =| АС |2, в2 =|в|2 = | АД |2 =| ВС |2 =

| АД |2 =| ВС |2.

Следовательно, данное равенство(а + в)2 + (а – в)2 = 2(а2+ в2 )

можно переписать в виде | АС |2 + | ДВ |2 = | АВ |2 + | АС |2 +

+| АД |2 +| ВС |2 .Таким образом, данное в условии равенство имеет следующее геометрическое истолкование:

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. ■

 

45. Даны неколлинеарные векторы аив . Дать геометрическое истолкование формул 1) (а + в)2 - (а – в)2 = 4а в, 2) (а + в) (а – в) = а2- в2 .

46. Какие из следующих равенств являются верными для любых входящих в них векторов 1) |а| а = а2, 2) (а + в)2 = а2+ 2ав + в2 , 3) (а в)2 = а2в2 ?

ЗАДАЧА № 10

Дан базис {е123}. Зная координаты векторов а123), в123), длины базисных векторов и углы между базисными векторами, выразить скалярное произведение векторов а и вчерез их координаты в данном базисе.

РЕШЕНИЕ

Так как а123), в123), то по определению координат вектора, получим: а = а1 е1 + а2 е2 + а3 е3,в = в1 е1 + в2 е2 + в3 е3. Тогда, подставив в скалярное произведение а ввместо векторов а и в их разложение по базисным вектора и используя свойства скалярного произведения, получим

а в = (а1 е1 + а2 е2 + а3 е3)(в1 е1 + в2 е2 + в3 е3) = а1 в1 (е1е1) + а2 в2 (е2е2) +

а3в3( е3е3) + (а1в2 + а2в1)(е1е2) + (а1в3 + а3 в1)(е1е3) + (а2в3 + а3в2)(е2е3) = а1в1е12 + а2в2е22 + а3в3е32 + (а1в2 + а2в1)│е1││е2│Соs (е1,е2) + (а1в3 + а3в1)│е1││е3│Соs (е1,е3) +(а2в3 + а3в2)│е2││е3│Соs (е2,е3).

 

ОТВЕТ.

а в= а1в1е12 + а2в2е22 + а3в3е32 + (а1в2 + а2в1)│е1││е2│Соs (е1,е2) + (а1в3 + а3в1)│е1││е3│Соs (е1,е3) +(а2в3 + а3в2)│е2││е3│Соs (е2,е3).

ЗАДАЧА № 11

АД – биссектриса треугольника АВС. Выразить вектор АД через векторы АВ и АС.

 

РЕШЕНИЕ.

1) АД = АВ + ВД = АВ + х ВС = АВ+ х (АС – АВ) или

АД = АВ + х (АС - АВ ) (1)

2) Найдем коэффициент х, для которогоВД = х ВС.Так как векторы

ВД и ВСсонаправлены, то коэффициент х положителен. Из определения произведения вектора на число получим, что |ВД| =│х│ | ВС | = х | ВС |, а отсюда следует, что

х = (2)

3) Так как АД – биссектриса треугольника АВС, то по свойству биссектрисы треугольника получаем, что

= (3)

= = - 1 или

= + 1 (4)

Из (3) и (4) следует, что = + 1 = , отсюда и из (2) получаем, что х = . Поставляем это значение х в (1) и получаем

АД = АВ + . (АС - АВ ) = ( 1 - ) АВ + АСили

АД = АВ + АС(5)

 

ОТВЕТ. Если АД - биссектриса треугольника АВС, то

АД = АВ + АС.

ЗАДАЧА № 12

АН – высота треугольника АВС. Выразить вектор АН через векторы АВ и АС.

 

РЕШЕНИЕ.

В

1) АН = АВ + ВН = АВ + х ВС = АВ+ х (АС – АВ) или

АН = АВ + х (АС - АВ ) (1)

2) Найдем коэффициент х, для которогоВН = х ВС.

Так какАН – высота треугольника АВС, то АН ВС, значит АН ВС,поэтому скалярное произведение АН ВС =0. Подставим в это соотношение вместо АН его выражение из (1), получим

[АВ + х (АС - АВ ) ] ВС = 0 , по свойству скалярного произведения можно раскрыть квадратные скобки АВ ВС + х (АС - АВ ) ВС = 0, отсюда

АВ ВС АВ(АС-АВ)

х = ------------------- или х = - ----------------- (2)

(АС – АВ) ВС (АС _ АВ)2

Подставим это значение х в формулу (1), получим

 

АВ(АС-АВ)

АН = АВ - ---------------- (АС – АВ) (3)

(АС – АВ)2

 

ОТВЕТ.Если АН –высота треугольника АВС, ТО

АВ(АС –АВ)

АН = АВ - ----------------- (АС – АВ)

(АС – АВ)2

 

ЗАМЕЧАНИЕ.

1) Если вам хочется упростить формулу (2), то этого делать нельзя, т.к если числитель и знаменатель дроби есть скалярные произведения а в и в в,то это числа, равные произведению длин векторов на косинус угла между ними, кроме того в векторной алгебре нет действия деления вектор на вектор.

2) Если вам хочется упростить формулу (3), то этого делать нельзя, т.к

второе слагаемое можно переписать так:

[ АВ(АС –АВ)](АС - АВ )

------------------------------------- ,

(АС –АВ)2

но для скалярного произведения [а в] с а [в с]., поэтому квадратные скобки во втором слагаемом формулы (3) переставить нельзя.

 

ЗАДАЧА № 13

Дан ортонормированный базис. В треугольнике АВС АВ(3,0,4), АС(8,0,-6) Найти а ) длину высоты АН, б) угол между медианой АМ и биссектрисой АД.

 

РЕШЕНИЕ

 

1) Найдем координаты вектора АН и его длину. По задаче № 10

АВ(АС-АВ)

АН = АВ - ------------------ (АС – АВ). Сначала найдем, чему равно число х=

(АС – АВ)2

АВ(АС-АВ)

(АС – АВ)2 .Так какАВ(3,0, 4) АС(8, 0,-6), то (АС – АВ)(5,0,-10), то

 

х = =

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти