ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


НАХОЖДЕНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА В ДАННОМ БАЗИСЕ

Загрузка...

ЗАДАЧА № 8

В параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 К – середина ребра АА1, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = 2/3 ВС, О = А1С1 В1Д1. Найти координаты вектора ДО в базисе (ВК, ВА, ВМ) .

РЕШЕНИЕ

Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор ДО через векторы ВК, ВА, ВМ,поэтому будем действовать так же, как при решении задачи № 3.

1) ДО = ДД1 + Д1О = АА1 + ½ Д1В1 = 2 АК + ½ ДВ. Т.е.

ДО =2 АК + ½ ДВ. (1).

2) Выразим вектор АК через базисные векторы.

АК = АВ + ВК = -ВА + ВК (2)

3) Выразим вектор ДВ через базисные векторы.

ДВ = ДА + АВ = СВ + АВ = -3/2 ВМ – ВА(3)

4) Подставим (2) и (3) в (1), получим

ДО = 2(-ВА + ВК ) + ½ (-3/2 ВМ – ВА) = 2 ВК – 5/2 ВА – 3/4 ВМ

Следовательно, первая координата вектора ДО равна 2, вторая координата равна -5/2. третья координата равна -3/4, т.е. ДО(2, -5/2, -3/4 ).

ОТВЕТ. ДО (2, -5/2, -3/4)

 

33. АВСД – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСД и АДС, N – середина АВ, Р ВС и ВР : РС = 1 :2. Найти координаты векторов АМ, NР, КР, NМ в базисе (АВ, АС, АД) .

34. АВСД – тетраэдр. N и К середины ребер ВС и АС. Найти координаты векторов АД и СА в базисе (ДВ, Д N, ДК) .

35. В тетраэдре АВСД М- середина ВС, а N – точка пересечения медиан грани АДС. Найти координаты векторов ДС и ВN в базисе (АВ, АД, АМ).

36. В тетраэдре АВСД N - середина ВС, а М – точка пересечения медиан грани ВСД. Найти координаты векторов С N и МК в базисе ( АМ, АВ, АД).

37.АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед. А1С1 В1Д1 = М, К – середина ДД1, Р ВС и ВР = 2/3 ВС. Найти координаты векторов ВК, МС, А1Р в базисе (АВ, АД, АД1)

38. АВСД А1В1С1Д1 – параллелепипед. АС ВД = М . Найти координаты векторов В1СиАС1,в базисе (Д1М, Д1Д, Д1А).

39. АВСД А1В1С1Д1 – параллелепипед. А1С1 В1Д1 = М.Найти координаты векторов ДС, Д1В, С1А в базисе (МА, МВ, МС) .

40. SАВСД – правильная четырехугольная пирамида с основание АВС Д. К SА и SК = 1/3 SА , N – середина SС, АС ВД = М. Найти координаты векторов СР и А Nв базисе (SК, SД, SМ).

41. SАВСД – правильная четырехугольная пирамида с основание АВС Д. АС ВД = М, О – середина SМ, N – точка пересечения медиан грани ВСS. Найти координаты вектора Д N в базисе (АS, АО, АВ)

 

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведениемвекторов а и b называется число, равное произведения длин этих векторов и косинуса угла между ними

а b = │а││b│cos (аb).

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами. Для любых векторов а,b, c и любого числа λ

1) аb = b a, 2) (a + b) c = a c + b c, 3) (λ a) b = ab) = λ (a b).

Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе {i, j, k } а123), b(b1,b2,b3), то имеют место формулы

___________

a b = а1 b1 + а2 b2 + а3 b3, │а│= √а12 + а22 + а32

______а1 b1 + а2 b2 + а3 b3____

cos (а,b) = √а12 + а22 + а32 √b12 + b22 + b32

42. АВСД – ромб с углом А равным 60° и стороной АВ равной 4. Найти скалярное произведение ДА ДВ.

43. М – точка пересечения медиан равностороннего треугольника АВС со стороной равной 2. Найти скалярное произведение МА МВ.

44. АВСД – квадрат стороной равной 5. Найти скалярное произведение АВ СА.

 

ЗАДАЧА № 9

Даны неколлинеарные векторы аив.Дать геометрическое истолкование формулы (а + в)2 + (а – в)2 = 2(а2+ в2 )

РЕШЕНИЕ

От произвольной точки А отложим векторы АВ = а, АД = в и построим параллелограмм АВСД. Тогда АВ = ДС = а, АД = ВС = в , АС = а + в, ДВ = а – в. Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то (а + в)2 = |а + в|2 = | АС |2 =| АС |2, (а – в)2 = |а - в|2 = | ДВ |2 = | ДВ |2 ,

а2 =|а|2 = | АВ |2 =| АС |2 = | АВ |2 =| АС |2, в2 =|в|2 = | АД |2 =| ВС |2 =

| АД |2 =| ВС |2.

Следовательно, данное равенство(а + в)2 + (а – в)2 = 2(а2+ в2 )

можно переписать в виде | АС |2 + | ДВ |2 = | АВ |2 + | АС |2 +

+| АД |2 +| ВС |2 .Таким образом, данное в условии равенство имеет следующее геометрическое истолкование:

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. ■

 

45. Даны неколлинеарные векторы аив . Дать геометрическое истолкование формул 1) (а + в)2 - (а – в)2 = 4а в, 2) (а + в) (а – в) = а2- в2 .

46. Какие из следующих равенств являются верными для любых входящих в них векторов 1) |а| а = а2, 2) (а + в)2 = а2+ 2ав + в2 , 3) (а в)2 = а2в2 ?

ЗАДАЧА № 10

Дан базис {е123}. Зная координаты векторов а123), в123), длины базисных векторов и углы между базисными векторами, выразить скалярное произведение векторов а и вчерез их координаты в данном базисе.

РЕШЕНИЕ

Так как а123), в123), то по определению координат вектора, получим: а = а1 е1 + а2 е2 + а3 е3,в = в1 е1 + в2 е2 + в3 е3. Тогда, подставив в скалярное произведение а ввместо векторов а и в их разложение по базисным вектора и используя свойства скалярного произведения, получим

а в = (а1 е1 + а2 е2 + а3 е3)(в1 е1 + в2 е2 + в3 е3) = а1 в1 (е1е1) + а2 в2 (е2е2) +

а3в3( е3е3) + (а1в2 + а2в1)(е1е2) + (а1в3 + а3 в1)(е1е3) + (а2в3 + а3в2)(е2е3) = а1в1е12 + а2в2е22 + а3в3е32 + (а1в2 + а2в1)│е1││е2│Соs (е1,е2) + (а1в3 + а3в1)│е1││е3│Соs (е1,е3) +(а2в3 + а3в2)│е2││е3│Соs (е2,е3).

 

ОТВЕТ.

а в= а1в1е12 + а2в2е22 + а3в3е32 + (а1в2 + а2в1)│е1││е2│Соs (е1,е2) + (а1в3 + а3в1)│е1││е3│Соs (е1,е3) +(а2в3 + а3в2)│е2││е3│Соs (е2,е3).

Таким образом, чтобы найти скалярное произведение векторов, зная их координаты в произвольном базисе, надо знать еще длины базисных векторов и углы между ними.

 

Загрузка...

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти