ВІКІСТОРІНКА
Навигация:
Інформатика
Історія
Автоматизація
Адміністрування
Антропологія
Архітектура
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Військова наука
Виробництво
Географія
Геологія
Господарство
Демографія
Екологія
Економіка
Електроніка
Енергетика
Журналістика
Кінематографія
Комп'ютеризація
Креслення
Кулінарія
Культура
Культура
Лінгвістика
Література
Лексикологія
Логіка
Маркетинг
Математика
Медицина
Менеджмент
Металургія
Метрологія
Мистецтво
Музика
Наукознавство
Освіта
Охорона Праці
Підприємництво
Педагогіка
Поліграфія
Право
Приладобудування
Програмування
Психологія
Радіозв'язок
Релігія
Риторика
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Статистика
Технології
Торгівля
Транспорт
Фізіологія
Фізика
Філософія
Фінанси
Фармакологія


ЗАМЕЧАНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 59 - 64

Если дан многогранник, в котором известны длины трех некомпланарных ребер, выходящих из одной вершины, и углы между ними, то надо рассмотреть базис {а,в,с}, который порождается этими ребрам

 

60. В параллелепипеде АВСД А1В1С1Д1 |АВ|= 2, |АД|= |АА1| = 1, А1АВ = А1АД = 60°, ВАД = 30°. Найти длину ВД1.

61. В прямоугольном параллелепипеде АВСД А1В1С1Д1 |АВ|= а, |АД|=в, |АА1| = с. Найти угол между прямыми АС1 и В1Д1.

62. В тетраэдре АВСД |АВ|= |АС|= |АД| = 3, ВАД = САД = 90°,

САВ = 60°. Найти длину ВМ, где М – середина ДС.

63. В тетраэдре АВСД |ДА|= |ДВ|= |ДС| = 2, АДВ = АДС = 90°,

СДВ = 60°. Найти длину ДМ, где М – точка пересечения медиан грани АВС.

64. В тетраэдре АВСД |ДА|=1, |ДВ|= 2, |ДС| = 3, АДС = ВДС =

АДВ = 60°. Найти угол между ДМ и ВС.

65. В правильном тетраэдре АВСД, в котором |АВ| = 3, М – точка пересечения медиан грани АВС, Р – середина АД. Найти длину МР.

ВЕКТОРЫ ДВУМЕРНОГО ПОДРОСТРАНСТВА.

Двумерное векторное подпространство – это множество всех векторов, параллельных одной плоскости. Базис двумерного векторного подпространства состоит из двух неколлинеарных векторов {е1, е2}. Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы перпендикулярны. Ортонормированный базис обозначается так: {i, j}

Координатами вектора m в данном базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, т.е. если m = х е1 + у е2, то числи х и у это координаты вектора m, в этом случае будем записывать

m(х, у).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

Если вектор m= x а + y b и а12), b(b1,b2) m(m1,m2)

m1 =x a1 + y b1, m2 =x a2 + y b2.

Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе {i, j} а(а12), b(b1,b2), то имеют место формулы

_______

a b = а1 b1 + а2 b2 , │а│= √а12 + а22

______а1 b1 + а2 b2___

cos (а,b) = √а12 + а22 √b12 + b22

66. В правильном шестиугольнике АВСДEF векторы АВ= е1, АЕ = е2 выбраны в качестве базисных, Найти координаты векторов АС, АД, АF, EF.

67. В ромбе АВСД векторы АС= е1, ВД = е2 выбраны в качестве базисных. Найти координаты векторов АВ, ВС ДА.

68. В треугольнике АВС М, Р, К середины АВ, ВС, СА. Прямые ВК и МР пересекаются в точке О

а) Найти координаты векторов СМ, ОВ, КМ, СВ, РС, АР в базисе ОС = е1, ОМ = е2.

б) Найти координаты векторов СМ, ОВ, КМ, СВ, РС, АР в базисе КС = е1,

КР =е2.

69. На плоскости даны векторыа(2,1), в(1,0). Найти коэффициенты разложения вектора с(9,1) по векторам а и в.

70. Даны векторы а(3,-2), в(-2,1), с(-9,6).Можно ли каждый из этих векторв разложить по двум другим ?

71. Даны векторы а(3,-1), в(1,-2), с(-1,7) Определить коэффициенты разложения вектора р = а + в + с по векторам а и в.

72. . Даны векторы а(2,3), в(1,-3), с(-1,3). Существует ли коэффициент х, для которого векторы а + хв и а + 2с коллинеарны ?

73. В треугольнике АВС АВ(1,3), АС(2,1). АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС, определить координаты этих трех векторов, АМ1, ВМ2, СМ3

74. Даны векторы. а(-1,-2), в(3,-5), с(4,-3). Существует ли треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны по длине данным векторам ?

75. Дан базис i, j.Найти координаты векторов а и в, если а)|а| =3,

(i,а) = 30°,б)|в| =5, (i,в) = 135°.

76. Дан ортонормированный базис. а(1,0), в(2,2),с(4,-4). Найти углы между парами этих векторов.

77. АМ – медиана треугольника АВС. Найти длину ВМ и угол АМС, зная координаты АВ(4,6), АС(8,-4) в ортонормированном базисе.

78. АН – высота треугольника АВС. Найти длину АН, зная координаты АВ(1,-1) и АС(-2,1) в ортонормированном базисе.

79. Дан базис (е1, е2). Зная координаты векторов а(а12) и в12), длины базисных векторов и угол между базисными векторами. , найти скалярное произведение а в.

80. В треугольнике АВС А = 120°,|АВ|= 2, |АС|= 1. Найти длину высоты АН.

81. В треугольнике АВС А = 90°,|АВ|= 2, |АС|= 3. Найти длину биссектрисы АД.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ

 

ЗАМЕЧАНИЕ

При решение задачи элементарной геометрии с помощью векторов надо сначала постараться сформулировать то, что нужно доказать, или то, что нужно найти, с помощью векторов. После этого ввести базис, связанный с условием задачи (если можно, то лучше ортонормированный базис или базис, для которого известны длины базисных векторов и углы между ними), затем выявить все векторы, связанные с задачей, и найти их координаты в данном базисе и после этого решить задачу.

 

ЗАДАЧА № 14

Найти угол между биссектрисами плоских углов прямого трехгранного угла.

 

РЕШЕНИЕ

Пусть ОАВС прямой трехгранный угол с вершиной О, т.е. АОВ, ВОС, СОА прямые углы. Найдем угол МОК между биссектрисами ОМ и ОК углов АОВ и ВОС. Для этого найдем векторы, параллельные этим биссектрисам и найдем косинус угла между этими векторами.

Рассмотрим такой ортонормированный базис i, j, kдля которого

i ↑↑ ОА, j ↑↑ ОВ, k ↑↑ ОС.Тогда по задаче № 4 вектор ( i + j)сонаправлен с вектором ОМ, в вектор ( j + k)сонаправлен с векторомОК.

Следовательно, МОК = (i + j, j + k ).

Найдем координаты этих векторов. Ясно, что( i + j) (1,1,0)а

(j + k)(0,1,1). Поэтому

Соs МОК = Соs (i + j, i + j) = = ,значит МОК = 60°.

ОТВЕТ. Угол между биссектрисами плоских углов прямого трехгранного угла равен 60°.

 

ЗАДАЧА № 15

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, начиная от вершин.

 

РЕШЕНИЕ

 

Пусть АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС. Обозначим через О1, О2, О3 точки, делящие медианы АА1, ВВ1, СС1 в отношении 2:1, начиная от вершин, тогда АО1 = 2/3 АА1, ВО2 = 2/3 ВВ1, СО3= 2/3 СС1. Докажем, что три точки О1, О2, О3 совпадают. Две точки О1 и О2 совпадают тогда и только тогда, когда вектор О1О2 = 0

 

Введем базис {а,в} , где АВ = а, АС = в.Тогда

АА1 = ½ (АВ + АС) = ½ (а + в), ВВ1 =ВА + АВ1 = + ½ в, а значит

АО1 =1/3 (а + в), ВО2 = 2/3 ( + ½ в).

Выразить вектор О1О2 через векторыаив.

О1О2 = О1А + АВ + ВО2 = -1/3(а + в) + а +2/3 ( + ½ в) = 0.Т.е. О1О2 = 0, следовательно точки О1 и О2 совпадают.

Аналогично доказывается, что точки О2 и О3 совпадают.

Таким образом, три точки О1, О2, О3 совпадают, следовательно, медианы АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке О1, которая делит их в отношении 2:1, начиная от вершин. ■

 

ЗАДАЧА № 16

Доказать, что если в тетраэдре две пары противоположных репер попарно перпендикулярны, то и третья пара противоположных ребер перпендикуляра.

 

РЕШЕНИЕ

 

Пусть в тетраэдре АВСД ребра АВ и СД перпендикулярны и ребра АС и ВД перпендикулярны. Докажем, что ребра АД и ВС перпендикулярны, т.е. скалярное произведение векторов АД иВСравно нулю.

 

Введем базис {а,в,с} , где а = АВ, в = АС, с = АД, тогда СД= с – в,

ВД = с – а, ВС = в –а.

Так как АВ СД и АС ВД, то скалярные произведения АВ СД = 0иАС ВД = 0, значит а(с – в) = 0, в(а – с) = 0,отсюда получаем, что

ас – ав = 0, ва – вс = 0илиас = авиав = вс.Из этих двух равенств следует, что

ас = вс(1)

Найдем скалярное произведениеАД ВС .Подставив вместо векторовАДиВСих разложения по базисным векторам, получим

АД ВС = с (в – а) = св – са = вс – ас ,

отсюда, учитывая равенство (1), получаем, что АД ВС = 0,следовательно, векторы АДиВСперпендикулярны, и значит ребра АД и ВС перпендикулярны. ■

 

 

82. Доказать, что в правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.

83. Найти углы между скрещивающимися медианами граней правильного тетраэдра.

84. Доказать, что в кубе АВСДА1В1С1Д1 диагональ АС1 перпендикулярна плоскости А1ВД.

85. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

86. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

87. Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

88. Доказать, что медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

 

ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

РАБОТЫ (на 45 мин.)

Варианты первого уровня.

1. АВСДEF – правильный шестиугольник. Построить вектор AB – ½ FC + AD – ½ BE. 2. А …Д1 – параллелепипед. АВ = е1, АД = е2, АА1 = е3. О – точка пересечения диагоналей грани А1В1С1Д1, М – середина ВС. Найти координаты вектора ОМ. 3. Дан ортонормированный базис. В треугольнике АВС АВ(2,3,-1), АС(4,-1,3). Найти длину медианы АМ 4. Даны векторы а (1,-1,0), b (2,3,2), c (3,2,2) найти координаты вектора m = 2 a + 3b – 4 c     1. АВСДEF – правильный шестиугольник центром О. Построить вектор 2ВО + FО – ½ АД + АВ. 2. А …Д1 – параллелепипед. О и О1 точки пересечение диагоналей граней АВСД и А1В1С1Д1. ОС = е1, ОВ = е2, ОО13. Найти координаты вектора АД 1. 3. Дан ортонормированный базис. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСД. АВ(2,-1,3), АД(4,2,-1). Найти угол СОД. 4. а (1, 2, -6), b(х, 1, 3),существует ли число, для которого векторы а и b коллинеарны.

Варианты второго уровня

1. АВСД – тетраэдр. М – точка пересечения медиан грани АВС. Найти координаты вектора СВ в базисе ДА, ДВ, ДМ.   2. Является ли система векторов а(1,2,-1), в(3,4,-2), с(5,8,-4) линейно зависимой ?   3.В треугольнике АВС АВ = 3, АС = 4, °. Найти угол АМВ, где АМ – медиана.   4. Параллелограмм АВСД - основание пирамиды МАВСД. АС Ç ВД = О. Доказать, что МА + МВ + М С + МД = 4 МС.   1. АВСД – тетраэдр. М – точка пересечения медиан грани ВСД. Найти координаты вектора ДС в базисе АВ, АД, АМ.   2. Даны векторы а(3,6,13), в(2,1,5), с(-1,4,3) Можно но ли вектор с разложить по векторам аи в?   3.В параллелограмме АВСД М и К середины сторон ВС и СД. АВ(2,4,-2) АД(-4,- 2,2). Найти угол МАК.   4. М. К. Р - середины сторон треугольника АВС. Доказать, что ОА + ОВ + ОС = ОМ + ОК + ОР.  

Варианты третьего уровня.

1. АВСДА1В1С1Д1 - параллелепипед, М - центр грани ВСС1В1. АВ = е1, СА1 = е2, ДД1 = е3. Найти координаты вектора АА1. 2. Выяснить компланарны ли векторы: а (2,0,3), в (-1,-2,1), с (6,0,2). 3. Дан треугольник АВС и базис (i, j, k), АВ(0,4,3), АС(-2 ,0,0). Найти угол между медианой АМ и высотой АН. 4 . Дан четырехугольник АВСД и точка О. Доказать, что если ОА + ОС = ОВ + ОД, то АВСД - параллелограмм.   1. АВСДА1В1С1Д1 - параллелепипед. М - середина АА1. СВ1= е1, АД= е2, ВД1= е3. Найти координаты вектора МД1. 2. а (-1,2,-2),в (2,-3,4), с(0,1,0), р(4,-1,2). Можно ли вектор р представить в виде линейной комбинации векторов а, в, с. 3. Дан треугольник АВС и базис (i, j, k).АВ(0,4,0), АС(2,0,0). Найти длину высоты АН. 4. Дан треугольник АВС. Доказать, что если АМ= ½ АВ + ½ АС, то М – середина ВС.  

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ТЕМЫ 1

1. в)АС,г)АС, д)АВ

2. а)FВ,б)ДВ.

3. а)АN,б)А1М, в)КN.

5. а)ВМ, б)АС

6. а)АМ, б)А1О, в)0

7. 1) Соотношение имеет знак равно, если векторы а и в сонапрапвлены. 2) Соотношение имеет знак равно, если или хотя бы один вектор нулевой, или векторы а и в противоположно направлены. 3)Да, например, если в треугольнике АВС сторона АВ меньше и стороны АС и стороны ВС и ВС = а, АС = в

4) Да, например, если в треугольнике АВС сторона АВ больше и стороны АС и стороны ВС и ВС = а, АС = в.

16. а) ВС = -FА + FО, ВЕ = -2FА , АЕ = -2FА +FО

б) ВС = -½ВА + ВД, ВЕ = ВА +ВД, FД = -3/2ВА +½ВД.

17.а)МN = -½ВД, РА = - АВ –½ВД –½ДС,

б) АР= ½ АС + АN , QN = -½АС + АN –½АД.

18. АО =3/2АВ –3/2АД +½ ВД1, СМ = -½АС – ½АД,

Д1О = АС –3/2АД – ½АА1, СА1 = - АС + АА1.

19. Нет, если а 0, в = 0.

20. Нет, если векторы а и в коллинеарны, а векторыа и с не коллинеарны.

21. Если векторы а и в ненулевые коллинеарные.

22. Если векторы а, в, с компланарны и попарно не коллинеарны.

23. а) линейно независимы, б), в), г) - линейно зависимы.

24. а) линейно зависимы, б), в), г) - линейно независимы.

25. х 1.

26. а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3), е) (1,1/3,-4)

27. а), с) линейно зависимы.

28. 1) d = а + в + с, 2) d = 5а + 4в, 3) d = 4ас.

29. Нет.

30. Да, х = - 3/5, у = 20/3.

31. 1) Да. 2) Нет, 3) Нет. 4) Да.

33. АМ(1/6, 1/3, 0), КР(2/3 ,0, - 1/3), (- 1/6, 1/3, 1/3)

34. АД(-1,2,-2), СА(2,-4,2)

35. ДС(-1,-1,2), ВN(-3/4, 1/3, 2/3)

36. СN(-3/2, 1, ½), МК(-1, 1/3, 1/3)

37. ВК(-1,1,1/2), МС(1/2, ½. -1), А1Р(1, 2/3, -1).

38. В1С(0,2,-1), АС1(2,0,-3).

39. ДС(-1,1,0), Д1В(-1/2, 2, -1/2), С1А(3/2, 0, -1/2)

40. СР(4, -2/3, -2/3), АN(-9/2, 0,1)

41. ДN(-7/3, 2/3, 4/3).

42. 8.

43. -2/3.

44. -25.

45. 1) Разность квадратов диагоналей параллелограмма равна учетверенному произведению смежных сторон на косинус угла между ними. 2) Произведение диагоналей параллелограмма и косинуса угла между ними равно разности квадратов его смежных сторон.

46. 2) – верное равенство.

47. 1) -17, 2) , 3) - , 4) -166, 5)63.

48. – 24/50.

49. Соs (i, а) =5/6,Соs (j, а) =- , Соs ( k,а) = ½.

50. ,

51. 1) 6 , 2) 2/3.

54. АМ = 3, Соs АМВ ,

55. Равенство выполняется, если а) хотя бы один из векторов а, в, с нулевой, б) а,в,с –ненулевые коллинеарные векторы, в) а,в,с –ненулевые векторы и а в, в с,г) а,в,с- ненулевые векторы аи с коллинеары, вектор в не перпендикулярен ни вектору а, ни вектору с.

56. АД = , АН = 12/5,

57. Соs АМН = .

58. Соs МАД = .

59. АМ = , Соs НАД = .

60. .

________________

61. Соs (АС1, В1Д1) = (в2 – а2) /√(а2 +в2 + с2)(а2 + в2)

62.

63. 4/3.

64. . Соs (ДМ, ВС) = 1/14.

65. 3/2.

66.АС(3/2, ½), АД(1,1), А F(-1/2, ½) Е F(-1/2, -1/2).

67. АВ(1/2, -1/2), ВС(1/2, ½), СД(-1/2, ½) ДА(-1/2, -1/2).

68. а) СМ(-1,1), ОВ(-1,-2), КМ(-!,-1), СВ(-2,-2), РС(1,-1), АР(1,1).

б)СМ(-2,1), ОВ(-1/2,1), КМ(-1,1), СВ(-2,2), РС(1,-1), АР(1,1).

69. с = а +7в.

70. а =2в + с, в =½а –½с, с = а –2в.

71. р = 2а – 3в.

72. х = 2.

73. АМ1(3/2, 2), ВМ2(0, -5/2), СМ3(-3/2, ½).

74. Да, так как а –в + с = 0.

75. а( , 3/2), в(- , ).

76. (а,в) = 45°, (а,с) = 45°, (в,с)= 90°.

77. ВМ = , Соs АМС = - .

78. АН = .

79. а в = (а1в1) │е12 + (а2в2) │е22 + (а1в2 + а2 в1) │е1││е2│ Соs (е12).

80. АН =

81. АД = .

83. Соs х = 2/3.

 

© 2013 wikipage.com.ua - Дякуємо за посилання на wikipage.com.ua | Контакти